重難點(diǎn)04一次函數(shù)模型應(yīng)用之“幾何”問(wèn)題

重難點(diǎn)04一次函數(shù)模型應(yīng)用之“幾何”問(wèn)題【知識(shí)梳理】幾何圖形的應(yīng)用1.借助與一次函數(shù)圖像性質(zhì)解決與面積有關(guān)問(wèn)題在平面坐標(biāo)系中，將一次函數(shù)的圖像與面積結(jié)合在一起的問(wèn)題是考查學(xué)生綜合能力和熱點(diǎn)的問(wèn)題，它充分體現(xiàn)的數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想，整體思想和轉(zhuǎn)化思想．解決這類(lèi)問(wèn)題的基本步驟是：（1）確定交點(diǎn)坐標(biāo)（可用參數(shù)表示）；（2）求出有關(guān)線段的長(zhǎng)度；（3）將有關(guān)圖形的面積化歸為坐標(biāo)軸有聯(lián)系的幾個(gè)基本圖形的和差倍分，然后根據(jù)題目特點(diǎn)利用圖像與面積間的關(guān)系綜合求解.（4）一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的面積可以推到出相應(yīng)公式：2.坐標(biāo)系下的等腰三角形（1）如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．（2）已知腰長(zhǎng)畫(huà)等腰三角形用圓規(guī)畫(huà)圓，已知底邊畫(huà)等腰三角形用刻度尺畫(huà)垂直平分線．（3）解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．（4）幾何法一般分三步：分類(lèi)、畫(huà)圖、計(jì)算．（5）代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類(lèi)列方程，解方程并檢驗(yàn)．（兩點(diǎn)間距離公式）3.坐標(biāo)系下的直角三角形（1）解直角三角形的存在性問(wèn)題，一般分三步走：第一步尋找分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．（2）一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類(lèi)，然后按照勾股定理列方程．（3）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式常常用得到．（4）有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一般列方程更簡(jiǎn)便．【考點(diǎn)剖析】一、解答題1．（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與直線相交于點(diǎn)．(1)求，的值；(2)垂直于軸的直線與直線，分別交于點(diǎn)，，若線段的長(zhǎng)為，求的值．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）把點(diǎn)代入，把代入，即可求解；（2）分別表示出的坐標(biāo)，根據(jù)，列出絕對(duì)值方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，得，把代入得，解得．（2）解：由（1）知直線的解析式為，直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵，∴，即，∴或，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽宿州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)A、，點(diǎn)、均在函數(shù)圖象上．(1)判斷點(diǎn)是否在直線上，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使得的面積為3？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)在直線上，見(jiàn)解析(2)(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）在中，令得，即知，在直線上；（2）在中，令得，得，令得，得，然后問(wèn)題可求解；（3）求出，的坐標(biāo)，由的面積為3，可得，從而可得的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：，在直線上，理由如下：在中，令得，，在直線上；（2）解：在中，令得，解得，令得，解得，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；（3）解：存在點(diǎn)P，理由：由（1）知：點(diǎn)，由（2）知：點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，解得，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足函數(shù)解析式．3．（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）學(xué)完第七章平面直角坐標(biāo)系和第十九章一次函數(shù)后，老師布置了這樣一道思考題：已知：如圖，在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)求的面積．小明同學(xué)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，順利地解決了此題，他的思路是這樣的：建立適當(dāng)?shù)摹捌矫嬷苯亲鴺?biāo)系”，寫(xiě)出圖中一些點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)“一次函數(shù)”的知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得的面積．請(qǐng)你按照小明的思路解決這道思考題．【答案】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)、為軸、為軸建立直角坐標(biāo)系，由此可得出點(diǎn)、A、、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出直線、的解析式，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出的面積．【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、、．設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)、代入，，解得：，直線的解析式為；設(shè)直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為．聯(lián)立直線、的解析式成方程組，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，建立合適的直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出直線、的解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽安慶·八年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線：與軸交于點(diǎn)直線和直線相交于點(diǎn)A，已知A點(diǎn)縱坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)及的值．(2)點(diǎn)在直線上，軸，交軸于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，(2)或【分析】點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，由直線：得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，將點(diǎn)A代入，即可求解；由已知條件得出、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出的坐標(biāo)．【詳解】（1）直線和直線相交于點(diǎn)A，A點(diǎn)縱坐標(biāo)為，，解得，，代入得，，解得，，；（2），直線：，直線：和直線：中，令，則與，，，，設(shè)，由軸，得，，解得或，或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)結(jié)合圖象，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍；(3)C為x軸上點(diǎn)A右側(cè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線，與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)D，與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)B點(diǎn)坐標(biāo)為．(2)時(shí)，；(3)．【分析】（1）聯(lián)立可直接得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的取值范圍；（3）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，由求出，即可得的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：令，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：由（1）知，由圖象由可得，當(dāng)時(shí)，；（3）解：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，，，，，解得．，，．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與一元一次不等式，兩點(diǎn)的距離等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．6．（2021秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥38中?？茧A段練習(xí)）如圖，A、B分別是x軸上位于原點(diǎn)左右兩側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)P(2，p)在第一象限，直線PA交y軸與點(diǎn)C(0，2)，直線PB交y軸于點(diǎn)D，△AOP的面積為6，(1)求△COP的面積；(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及p的值；(3)若△BOP與△DOP的面積相等，求直線BD的函數(shù)解析式．【答案】(1)2；(2)A(4，0)，p=3；(3)【分析】(1)已知P的橫坐標(biāo)，即可知道△OCP的邊OC上的高長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可求解；(2)求得△AOC的面積，即可求得A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得p的值；(3)根據(jù)△BOP與△DOP的面積相等得出3OB=2OD，進(jìn)而求出B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式即可．【詳解】解：(1)作PE⊥y軸于E，如下圖所示：∵P的橫坐標(biāo)是2，則PE=2，∴,故答案為：2；(2)由題意知：∵S△AOC=S△AOPS△COP=62=4，且，故，代入OC=2，解得AO=4，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，設(shè)直線AP的解析式是y=kx+b，代入A(4,0)和C(0,2)，，解得，∴直線AP的解析式為，代入P(2,p)，∴，故答案為：A坐標(biāo)為(4，0)，p=3；(3)設(shè)D(0，n)，則OD=n，∵P(2，3)，且，,由題意知：△BOP與△DOP的面積相等，∴3OB=2OD，又OD=n，故OB=，∴，設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，代入，∴，解得，∴BD的解析式為：，代入點(diǎn)P(2，3)，即：，解得，∴直線BD的解析式為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，涉及到三角形的面積的相關(guān)知識(shí)，正確求得A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．7．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．(1)求直線與的表達(dá)式及點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)x軸上是否存在點(diǎn)P，使的面積為24，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F，求出當(dāng)長(zhǎng)為4時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，，，(2)，(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出直線與的表達(dá)式，在中，分別令和可解出、的坐標(biāo)；（2）由的面積為24可求出的長(zhǎng)度，即可得的坐標(biāo)；（3）設(shè)，可得，根據(jù)長(zhǎng)為4列方程即可得答案．【詳解】（1）解：把代入中，得，解得，，把代入，得，解得，，在中，令得，，在中，令得，；（2）解：存在，理由如下：如圖：在軸上，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12，，，點(diǎn)可以在點(diǎn)的左邊，也可以在點(diǎn)的右邊，，；（3）解：如圖：設(shè)，則，，，根據(jù)題意得：，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及三角形面積、待定系數(shù)法、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征等，解題的關(guān)鍵是用含的式子表示、的坐標(biāo)及的長(zhǎng)度．8．（2021秋·安徽滁州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度沿軸向左移動(dòng)．（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積與點(diǎn)的移動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）求當(dāng)為何值時(shí)，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)t=1秒時(shí)，△COM≌△AOB，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)是；當(dāng)t=3秒時(shí)，△COM≌△AOB，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】（1）由直線l的函數(shù)解析式，令x=0求B點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0求A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由面積公式SOM?OC求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）由于OC=OA=4，∠COM=∠AOB=90°，要使△COM≌△AOB，必有OM=OB，然后分兩種情況討論即可得到M點(diǎn)坐標(biāo)，由t秒內(nèi)移動(dòng)了AM，可算出t值．【詳解】解：（1）對(duì)于直線當(dāng)時(shí)，，∴B（0，2）；當(dāng)時(shí)，，解得：，∴A（4，0），∴兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；（2），．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上所述：；（3）∵OC=OA=4，∠COM=∠AOB=90°，∴當(dāng)OM=OB=2時(shí)，△COM≌△AOB．設(shè)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則AM=2t．分為兩種情況：①當(dāng)M在OA上時(shí)．∵OM=OB=2，∴．∵AM=OAOM，∴2t=42，解得：t=1．所需要的時(shí)間是秒；②當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)．∵OM=OB=2，∴．∵AM=OA+OM，∴2t=4+2=6，解得：t=3，所需要的時(shí)間為3秒．綜上所述：當(dāng)t=1秒時(shí)，△COM≌△AOB，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)是；當(dāng)t=3秒時(shí)，△COM≌△AOB，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)是．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和三角形的面積公式，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，理解全等三角形的判定定理是關(guān)鍵．9．（2021秋·安徽滁州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，在y軸上有一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向左移動(dòng)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的面積S與點(diǎn)M的移動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求當(dāng)t為何值時(shí)，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)秒時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)是或秒時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】（1）由直線l的函數(shù)解析式，令y＝0求A點(diǎn)坐標(biāo)，x＝0求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分情況求出OM，由面積公式S＝×OM×OC求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若△COM≌△AOB，則OM＝OB，分情況求出AM，可算出t值，并得到M點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，；（2）∵，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)t＝2時(shí)，無(wú)法組成三角形；當(dāng)時(shí)，，∴；（3）解：分為兩種情況：①當(dāng)M在OA上時(shí)，∵，∴，∴，∴t＝2÷2＝1秒，；②當(dāng)M在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，∴，∴，∴t＝6÷2＝3秒，；即秒時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)是或秒時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)是．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積計(jì)算，全等三角形的性質(zhì)等，正確分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線y=kx+6與x軸分別交于E，F(xiàn)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），P（x，y）是直線y=kx+6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求k的值；(2)當(dāng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試寫(xiě)出三角形OPA的面積s與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(3)探究：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形OPA的面積為，并說(shuō)明理由【答案】(1)(2)(3)當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，三角形OPA的面積為，理由見(jiàn)解析【分析】（1）將點(diǎn)代入解析式即可求出；（2）由A點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)可得出的底和高，用面積公式即可求出解析式，再由P點(diǎn)在第二象限，即可求出x取值范圍；（3）根據(jù)三角形面積公式，底OA=6，高是P點(diǎn)縱坐標(biāo)y的絕對(duì)值，代入求解即可．【詳解】（1）解：將代入直線解析式，可得：，解得：；（2）由（1）可知直線解析式為：，P（x，y）是第二象限內(nèi)直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，，，，，∴三角形OPA的面積s與x的函數(shù)關(guān)系式：；（3）三角形OPA的面積==，即：，則可得：，，當(dāng)時(shí)，即：，解得：，當(dāng)時(shí)，即：，解得：，或，∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為：或時(shí)，三角形OPA的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形面積公式，函數(shù)圖像上點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·安徽安慶·八年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)，，，且．(1)若，求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)(2)在（1）下，過(guò)點(diǎn)作平行軸，交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】（1）利用乘方和二次根式的性質(zhì)，求出，即可；（2）求出直線的解析式，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，根據(jù)列出方程，聯(lián)立，求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：，解得，所以，，（2）設(shè)直線的解析式為將，代入得，解得即直線的解析式為由題意可得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為即（3）過(guò)點(diǎn)作軸，如圖則：，，，聯(lián)立得，，解得故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及了二次根式的非負(fù)性，三角形面積的求解，待定系數(shù)法求解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．12．（2023秋·安徽安慶·八年級(jí)安慶市第二中學(xué)校考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸的正半軸交于點(diǎn)、，一次函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)，且交于軸于點(diǎn)．(1)求的值及點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)求的面積；(3)若點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，，；(2)2(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得的解析式，根據(jù)函數(shù)值為零，可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（3）設(shè)，可得，然后根據(jù)時(shí)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，解得，一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸的正半軸交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，即，，，；（2）解：把點(diǎn)一次函數(shù)，得，解得，，當(dāng)時(shí)，，即．，；（3）解：點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，，，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題，一次函數(shù)的性質(zhì)，（1）利用了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，（2）利用了三角形的面積公式，（3）利用了分類(lèi)討論的方法，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，以為邊作正方形，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的解析式；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）點(diǎn)，點(diǎn)；（2）；（3）點(diǎn)，點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線的解析式是：，進(jìn)而求出，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，易證，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證得：，進(jìn)而得，根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到答案；（3）分兩種情況：點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可．【詳解】（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線的解析式是：，當(dāng)時(shí)，，解得：，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，在正方形中，，，，，，，在和中，∵，∴，，點(diǎn)；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同上可證得：，∴CM=OB=3，BM=OA=4，OB=3+4=7，∴，設(shè)直線得解析式為：（為常數(shù)），代入點(diǎn)得：，解得：，∴直線的解析式是：；（3）存在，理由如下：點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)；點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，則點(diǎn)C是BP的中點(diǎn)，CMPN，∴CM是的中位線，∴PN=2CM=6，BN=2BM=8，∴ON=3+8=11，∴點(diǎn)綜上所述：在直線上存在點(diǎn)，使為等腰三角形，坐標(biāo)為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．14．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A、B，與直線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)．(1)求n和k的值；(2)若點(diǎn)P在射線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)觀察函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式的解集．【答案】(1)，(2)P(3)【分析】（1）把點(diǎn)C代入解析式中，可直接求出n的值；再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入中，即可求出k的值；（2）先根據(jù)解析式可求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的值，進(jìn)而可求出的面積，則可求出的面積和的面積，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，表示出的面積，建立方程即可；（3）根據(jù)圖象即可求得．【詳解】（1）把點(diǎn)C代入解析式中，得，∴C，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入中，則，解得；（2）∵直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A、B，∴A，B，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)M，∴，∴，∴，∵點(diǎn)P在射線上，∴，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)N，∴，∴，∴，令，則，解得，∴P；（3）由圖象可知，不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積以及函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2021秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知等腰三角形周長(zhǎng)為40，則腰長(zhǎng)y關(guān)于底邊長(zhǎng)x的函數(shù)圖象是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形和三角形的周長(zhǎng)公式可寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合x(chóng)和y的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：等腰三角形的周長(zhǎng)為40，其中腰長(zhǎng)為y，底邊長(zhǎng)為x，∵x+2y=40，∴y=，∵20<2y<40，∴自變量x的取值范圍是0<x<20，y的取值范圍是10<y<20．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象、一次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的周長(zhǎng)公式．2．（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)在第一象限，且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若的面積為16，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，把△OPA的面積=16代入函數(shù)關(guān)系即可得出x的值，進(jìn)而得出y的值．【詳解】解：∵A和P點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，∴=×8×y=4y，∵x+y=10，∴y=10x，∴=4（10x）=404x，當(dāng)=16時(shí)，404x=16，解得x=6．∵x+y=10，∴y=106=4，即P的坐標(biāo)為；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2020秋·安徽滁州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．若直線與的邊至少有兩個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫(huà)出圖像，分別求出直線y=3x+b時(shí)的b值，結(jié)合圖像可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，將C（1，3）代入，解得：b=0，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，將B（2，1）代入，解得：b=5，可知：當(dāng)5＜b＜0時(shí)，直線y=3x+b與△ABC有兩個(gè)交點(diǎn)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是注意利用數(shù)形結(jié)合思想解題．4．（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）八（1）班同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在王伯伯的指導(dǎo)下，要圍一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方形菜園，菜園的一邊利用足夠長(zhǎng)的墻，用籬笆圍成的另外三邊的總長(zhǎng)恰好為12m，設(shè)邊的長(zhǎng)為m，邊的長(zhǎng)為m．則與之間的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菜園的三邊的和為12m，即可得出一個(gè)與的關(guān)系式．【詳解】解：根據(jù)題意得，菜園三邊長(zhǎng)度的和為12m，，，，，，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，即菜園三邊的長(zhǎng)度和為12m，列出關(guān)于，的方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2022秋·安徽·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A．（0，0） B．（，） C．（，） D．（，）【答案】B【分析】線段AB最短，說(shuō)明AB此時(shí)為點(diǎn)A到y(tǒng)=x的距離．過(guò)A點(diǎn)作垂直于直線y=x的垂線AB，由題意可知：△AOB為等腰直角三角形，過(guò)B作BC垂直x軸垂足為C，則點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，有OC=BC=，由此即可確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】解：過(guò)A點(diǎn)作垂直于直線y=x的垂線AB，∵點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，∴∠AOB=45°，∴△AOB為等腰直角三角形，過(guò)B作BC垂直x軸垂足為C，則點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，則OC=BC=，由作圖可知B在x軸下方，y軸的左方，∴橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為負(fù)，所以當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂線段最短，等腰直角三角形等知識(shí)，熟練掌握垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（0，0），（6，2），（8，8），（2，6），若一次函數(shù)y＝mx﹣6m+2（m≠0）圖象將四邊形ABCD的面積分成1：3兩部分，則m的值為（）A．﹣4 B．，﹣5 C． D．，﹣4【答案】B【分析】由題意直線y＝mx﹣6m+2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B（6，2），又直線L把菱形ABCD的面積分成1：3的兩部分．即可推出L經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M（1，3）或經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)N（5，7），利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖：∵A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，6），∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∴四邊形ABCD是菱形，∵直線y＝mx﹣6m+2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B（6，2），又∵直線L把菱形ABCD的面積分成1：3的兩部分．∴L經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M（1，3）或經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)N（5，7），∴m﹣6m+2＝3或5m﹣6m+2＝7，∴m＝或﹣5，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)直線L經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B（6，2），屬于中考填空題中的壓軸題．7．（2022秋·安徽·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在一次函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)依次為，，，分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A，D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出、的長(zhǎng)，利用三角形的面積計(jì)算公式可求出的面積，同理可得出另外兩個(gè)小三角形的面積均為，再將三個(gè)小三角形的面積相加即可求出結(jié)論．【詳解】設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，如圖所示．當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，，∴，∴．同理，可求出另兩個(gè)三角形的面積均為（陰影部分組成的小三角形），∴陰影部分面積之和為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)及三角形的面積，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及三角形的面積公式，求出每個(gè)小三角形的面積是解題的關(guān)鍵．8．（2020秋·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，、、點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上移動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)的直線也隨之移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒，若點(diǎn)分別位于的異側(cè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由l的解析式和M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得直線l從M點(diǎn)移動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中l(wèi)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步可由題意得到t的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)l經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的時(shí)候，有4=3+b，即b=7，所以y=x+7，令x=0，可以得y=7，P點(diǎn)移動(dòng)距離為71=6，所用時(shí)間為6s；當(dāng)l經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的時(shí)候，有6=5+b，即b=11，所以y=x+11，令x=0，可以得y=11，P點(diǎn)移動(dòng)距離為111=10，所用時(shí)間為10s；所以t的取值范圍為6<t<10故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直線運(yùn)動(dòng)、直線與坐標(biāo)軸相交的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知條件求得直線的解析式并算出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．二、填空題9．（2022秋·安徽·八年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)A（1，2），B（0，1）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，則△AOC的面積為_(kāi)___．【答案】1【分析】根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式，代入y＝0求出與之對(duì)應(yīng)的x值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)及OC的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式即可求出△AOC的面積．【詳解】解：將A（1，2），B（0，1）代入y＝kx＋b，得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x＋1．當(dāng)y＝0時(shí)，x＋1＝0，解得：x＝?1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（?1，0），OC＝1，∴S△AOC＝OC?yA＝×1×2＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積，根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋·安徽滁州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，將沿x軸向右平移后得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)知＝，由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以求得點(diǎn)的坐標(biāo)，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得線段的長(zhǎng)度，即的長(zhǎng)度，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；【詳解】解：如圖，連接、，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，沿x軸向右平移后得到，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，又∵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上一點(diǎn)，∴，解得x＝4，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴＝4，∴根據(jù)平移的性質(zhì)知＝＝4，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，△OAB沿x軸向右平移后得到，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、坐標(biāo)與圖形變化??平移，根據(jù)平移的性質(zhì)得到＝是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)C（0，6）的直線AC與直線OA相交于點(diǎn)A（4，2），動(dòng)點(diǎn)M在直線AC上，且△OMC的面積是△OAC的面積的，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】（1，5）或（1，7）【分析】利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，得到OC、OB的長(zhǎng)．設(shè)M的坐標(biāo)為，用OC作底，用含m的式子表示和的面積，利用已知條件求得m的值，即可得到M的坐標(biāo)．【詳解】設(shè)直線AC的解析式為：，解得：直線AC的解析式為：B點(diǎn)的坐標(biāo)為：M在直線AC上設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)在中，OC=6，M到OC的距離在中，OC=6，A到OC的距離或的坐標(biāo)為（1，5）或（1，7）．故答案為：（1，5）或（1，7）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及三角形的面積求法．利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式：①設(shè)出一次函數(shù)解析式的一般形式；②把已知條件代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組；③解方程組，求出待定系數(shù)的值，代入解析式得到一次函數(shù)解析式．12．（2021春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線y1＝﹣x＋3和直線y2＝的圖象交于點(diǎn)M．（1）點(diǎn)M坐標(biāo)為：________；（2）將函數(shù)y1的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折至x軸上方，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．點(diǎn)A（0，a）是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作x軸平行直線l，與新圖象交于B（x1，y1）、C（x2，y2），與直線y2＝交于點(diǎn)P（x3，y3），若x1＜x3＜x2，則a的范圍為_(kāi)______．【答案】，【分析】（1）解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求得直線與新圖象的交點(diǎn)，觀察圖象即可求得時(shí)的范圍．【詳解】解：（1）由解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，，故答案為，；（2）根據(jù)題意新圖象的函數(shù)解析式為，由解得，直線與新圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為，，由圖象可知，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，兩條直線相交問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求得交點(diǎn)坐標(biāo)．13．（2022秋·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（－2，4），點(diǎn)B（4，2），點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA＋PB的值最小時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________．【答案】（2，0）【分析】作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB′交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．此時(shí)，PA+PB的值最小，可得出B′（4，2），利用待定系數(shù)法求出AB′的解析式，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB′交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．此時(shí)，PA+PB的值最小，∵點(diǎn)B（4，2）．∴B′（4，2），設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，∵點(diǎn)A（2，4），點(diǎn)B′（4，2）．∴，解得：，∴直線AB′的解析式為y=x+2，當(dāng)y=0時(shí)，x+2=0，解得：x=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，0）；【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路線問(wèn)題；若兩點(diǎn)在直線的同一旁，則需作其中一點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．14．（2022秋·安徽安慶·八年級(jí)校考期末）一次函數(shù)y=ax+3a+2（a為常數(shù)）．請(qǐng)指出此圖象必過(guò)一定點(diǎn)A的坐標(biāo)________；平面內(nèi)還有兩點(diǎn)B(1，2)，C(2，1)，此圖象與線段BC有交點(diǎn)，直接寫(xiě)出a的取值范圍___________．【答案】（3，2）1≤a＜0【分析】由y=ax+3a+2=a（x+3）+2，即可得到y(tǒng)=ax+3a+2必過(guò)點(diǎn)（3，2），即可證得結(jié)論；把B（1，2），C（2，1）分別代入y=ax+3a+2求得a的值，根據(jù)圖象即可求得．【詳解】解：∵y=ax+3a+2=a（x+3）+2，∴y=ax+3a+2必過(guò)點(diǎn)（3，2）；把B（1，2）代入y=ax+3a+2得，2=a+3a+2，解得a=0；把C（2，1）代入y=ax+3a+2得，1=2a+3a+2，解得a=1，∴若一次函數(shù)y=ax+3a+2的圖象與線段BC有交點(diǎn)，則1≤a＜0．故答案為：（3，2）；1≤a＜0．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在軸上有點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作軸（使點(diǎn)在第二象限），且，連接當(dāng)一次函數(shù)的圖象與有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為_(kāi)_____【答案】．【分析】先求得A的坐標(biāo)，然后把A、B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)，求得相應(yīng)的b的值，即可求得符合題意的b的取值范圍．【詳解】解∶由題意可知，把代入得，，解得；把代入得，，解得；當(dāng)一次函數(shù)的圖像與有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象和系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝5，BC＝1．剛開(kāi)始時(shí)AB與y軸重合．將長(zhǎng)方形ABCD沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向右平移，在平移過(guò)程中，邊AB與直線交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)N，邊CD與直線交于點(diǎn)P，與直線交于點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）當(dāng)0≤t≤4時(shí)，用含t的表達(dá)式表示MN的長(zhǎng)______；（2）當(dāng)|MN﹣PQ|為定值時(shí)，時(shí)間t的取值范圍為_(kāi)______．【答案】或或【分析】（1）先求得兩直線的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)在直線上，分別求得的坐標(biāo)，根據(jù)縱坐標(biāo)之差即可求解；（2）同理求得的坐標(biāo)，計(jì)算，進(jìn)而求得特殊位置時(shí)，重合，時(shí)，點(diǎn)位于軸，與點(diǎn)重合，即可求解．【詳解】（1）解：解得，∴直線與直線的交點(diǎn)為∴當(dāng)0≤t≤4時(shí)，在點(diǎn)上方，∵將長(zhǎng)方形ABCD沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向右平移，在平移過(guò)程中，邊AB與直線交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)N，邊CD與直線交于點(diǎn)P，與直線交于點(diǎn)Q，∴的橫坐標(biāo)為，∴，∴故答案為：（2）當(dāng)0≤4時(shí)，∵∴即，∴∴當(dāng)解得∴當(dāng)時(shí)兩點(diǎn)重合，同理，當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)重合，∵當(dāng)時(shí)，即時(shí)，點(diǎn)在軸上，∴當(dāng)時(shí),同理可得，為定值，綜上所述，或時(shí)，，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，求得的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，直線的表達(dá)式是．（1）求證：；（2）求的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4．【分析】（1）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，從而得出OA和OB，利用SSS可證明全等；（2）根據(jù)可得面積．【詳解】解：（1）∵直線的表達(dá)式是．當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=2，∴A（0,4），B（2,0），∴OA=4，OB=2，∵，∴OA=BC，OB=AC，在△BAO與△ABC，∵,∴（SSS）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何圖形，主要考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、全等三角形的判定定理．能正確求出一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)是解題關(guān)鍵．18．（2022秋·安徽宿州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：交y軸于點(diǎn)A，直線：與交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)在y軸左側(cè)，有一條平行于y軸的動(dòng)直線，分別與，交于點(diǎn)M、N，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，當(dāng)時(shí)，求△BMN的面積．【答案】(1)B點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，2）；(2)【分析】（1）解兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)平行于y軸的動(dòng)直線為：直線x＝m，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸，交直線x＝m于點(diǎn)D，得到M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m＋4），N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，－m），由MN=2求出m，利用三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵直線l2：y＝－x與直線l1：y＝x+4交于點(diǎn)B，∴聯(lián)立方程組可得，解得：，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，2）；（2）如圖，設(shè)平行于y軸的動(dòng)直線為：直線x＝m，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸，交直線x＝m于點(diǎn)D，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m＋4），N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，－m），∴MN＝m＋4－（－m）＝2，解得：m＝－1，又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，2），∴BD＝－1－（－2）＝1，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組的關(guān)系，求一次函數(shù)圖象構(gòu)成的三角形的面積，正確掌握一次函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組的關(guān)系求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)E重合）．(1)求k的值；(2)若的面積為3，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）點(diǎn)E（4，0）在直線y=kx+3上，則4k+3=0，解得；（2）由題意得，△OPA的面積為3得×3×|y|=3，解得y=±2，進(jìn)而求解．【詳解】（1）點(diǎn)在直線上，，．（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，．的面積為3，，，

當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得，的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，確定P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·安徽安慶·八年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)C，且的面積為．(1)則A點(diǎn)的坐標(biāo)為；a＝；(2)求直線的解析式；(3)若點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出a的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為H，則，利用三角形的面積公式結(jié)合的面積為可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由軸交直線PC于點(diǎn)E，，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為，代入直線的解析式為，求出t的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．故答案為：；；（2）過(guò)點(diǎn)P作\軸，垂足為H，如圖：由（1）得：，∴，即，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)、代入得：，解得：，∴直線PC的解析式為；（3）如圖：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵軸交直線PC于點(diǎn)E，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，代入直線的解析式為得，，解得，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)幾何綜合題，考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2020秋·安徽宣城·八年級(jí)校考期中）閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)與的“非常距離”，給出如下定義：若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為；若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為．例如：點(diǎn)，點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)為垂直于軸的直線與垂直于軸的直線的交點(diǎn)）．（1）已知點(diǎn)，為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①若點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為_(kāi)_____；②若點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為2，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；③直接寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”的最小值______；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖2，求點(diǎn)與點(diǎn)“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）①3；②或；③；（2）；．【分析】（1）①根據(jù)若|x1x2|＜|y1y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1y2|解答即可；②根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定|0y|=2，據(jù)此可以求得y的值；③設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．因?yàn)閨0|≥|0y|，即可求出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，x0+3）．根據(jù)材料“若|x1x2|≥|y1y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1x2|”知，C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為x0=x0+2，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）①∵，|03|=3，∴，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為3．故答案為：3；②∵B為y軸上的一