第4章三角形單元測試（能力提升）（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊(北師大版)2

第4章三角形單元測試（能力提升）一、單選題1．中，中線AD，BE相交于點F，若的面積為2，則的面積為（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【解析】【分析】連接CF，過點F作，交AE于點H，得出，同理,，可得，所以可求結(jié)果．解：如圖，連接CF，過點F作，交AE于點H，∵點E是AC中點，∴AE=CE，則，，∴，∴，同理，，由，∴，則，同理，∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．故選：A．【點睛】本題考查了三角形中線的定義及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線平分三角形的面積．2．三角形三條高的交點一定在A．三角形內(nèi)部 B．三角形外部C．三角形內(nèi)部或外部 D．以上說法都不完整【答案】D【解析】【分析】分別指出銳角三角形，直角三角形，和鈍角三角形的三條高線交點的位置即可求解．解：銳角三角形三角形三條高的交點在三角形內(nèi)部，直角三角形三角形三條高的交點在三角形直角頂點，鈍角三角形三角形三條高所在直線的交點在三角形外部，綜上所述，、、說法都不完整．故選：．【點睛】本題考查三角形的高的交點，掌握三角形中銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形高的畫法與交點的位置是解題關(guān)鍵．3．如圖，在中，，AE是的外角的平分線，BF平分與AE的反向延長線相交于點F，則為（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】C【解析】【分析】設(shè)∠ABF=x，根據(jù)BF平分得到∠ABC=2x，求出∠DAB=90°+2x，利用AE是的平分線，得到∠EAB=45°+x，結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到答案．解：設(shè)∠ABF=x，∵BF平分，∴∠ABC=2∠ABF=2x，∵，∴∠DAB=∠C+∠ABC=90°+2x，∵AE是的平分線，∴∠EAB=45°+x，∵∠EAB=∠ABF+∴=45°故選：C．【點睛】此題考查了角平分線計算，三角形的外角性質(zhì)，綜合考查了分析能力及推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題型．4．根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．AB=3，BC=4，AC=8 B．∠A=100°，∠B=45°，AB=5C．AB=3，BC=5，∠A=75° D．∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°【答案】B【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三邊關(guān)系分別判斷得出即可．解：A、3+4<8，不符合三角形三邊關(guān)系定理，不能畫出三角形，故本選項錯誤；B、根據(jù)∠A=100°，∠B=45°，AB=5能畫出唯一△ABC，故此選項正確；C、AB=3，BC=5，∠A=75°，不能畫出唯一三角形，故本選項錯誤D、∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，不能畫出唯一三角形，故本選項錯誤；故選B．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定以及三角形三邊關(guān)系，正確把握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．5．如圖，已知，平分，若，，則的度數(shù)是（

）A．50° B．44° C．34° D．30°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠D＝∠A＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠BCD,再求出∠B,然后利用全等三角形的性質(zhì)求∠E即可．解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝30°，∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，∴∠BCA＝116°，∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝34°，故選：C．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．6．如圖，，BC的延長線交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，則∠DGB的度數(shù)為（

）A．66° B．56° C．50° D．45°【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得的度數(shù)，然后根據(jù)對頂角相等可得的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．，，，，，，解得，，在中，，，，解得，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、對頂角相等，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．將一副直角三角尺如圖放置，已知∠EAD=∠E=45°，∠C=30°，AE∥BC，求∠AFD的度數(shù)，以下是打亂的推理過程：①∵∠E=45°，②∴∠AFD=∠E＋∠EAC=45°＋30°=75°；③∵∠C=30°，AE∥BC，④∴∠EAC=∠C=30°．推理步驟正確的是（）A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④【答案】C【解析】【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系．因為∠AFD是△AFE的一個外角，已知∠E度數(shù)，利用平行線性質(zhì)求出∠EAC即可求解．解：∵∠C＝30°，AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝30°，∵∠E＝45°．∴∠AFD＝∠E＋∠EAC＝45°＋30°＝75°．故選：C【點睛】解題關(guān)鍵是要熟練掌握平行線的性質(zhì)以及三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系．8．如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法，從①②③④中找出能夠判定三角形全等的條件即可；解：∵∴，即，當(dāng)①時；在和中，∴，故①符合條件；當(dāng)②時在和中，不能判定全等，故②不符合條件；當(dāng)③時；在和中，∴，故③符合條件；當(dāng)④時在和中，∴，故④符合條件；故①③④都符合條件，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定定理，添加一個條件能夠使，關(guān)鍵是要熟練掌握三角形全等的判定定理：，，，，記住它們代表的意義．9．在數(shù)學(xué)課上，老師讓每個同學(xué)拿一張三角形紙片，，設(shè)，要求同學(xué)們利用所學(xué)的三角形全等的判定方法，剪下兩個全等的三角形．下面是四位同學(xué)的裁剪方法，如圖，剪刀沿著箭頭方向剪開，能得到兩個全等三角形小紙片的有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理一一排查即可．如圖1中，∵AB=AC，∴∠B=∠C，，BE=FC=2，∠B=∠C，BF=CG=3，△EBF≌△FCG（SAS），剪刀沿著箭頭方向剪開，能得到兩個全等三角形小紙片的有，，如圖2，∵AB=AC，∴∠B=∠C，BE=CG=3，∠B=∠C，BF=CF=2.5，△BEF≌△CGF（SAS），剪刀沿著箭頭方向剪開，能得到兩個全等三角形小紙片，，如圖3，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EFG=，∴∠BEF+∠EFB=180oxo=∠EFB+∠GFC，∴∠BEF=∠GFC，BE的對應(yīng)邊是FC，相等情況不確定，△BEF與△CGF全等不確定，如圖4，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EFG=，∴∠BEF+∠EFB=180oxo=∠EFB+∠GFC，∴∠BEF=∠GFC，EB=FC=2，∠B=∠C，△BEF≌△CFG（ASA），剪刀沿著箭頭方向剪開，能得到兩個全等三角形小紙片．故選擇：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，從圖形中找到三角形全等的條件是否充足，夠條件可以斷定，條件不夠或不確定就不斷定．10．如圖，在中，平分，過點作，交于點，交于點，作的平分線交于點，交于點，若，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)兩條角平分線和∠B的度數(shù)，得出∠APC的度數(shù)，隨后即可得出∠PCD的度數(shù)，即可判斷①正確；根據(jù)角的等量轉(zhuǎn)換得出，然后根據(jù)已知可得出∠BAD+∠BCP的度數(shù)，即可得出∠AFC+∠DCG的和，即可判斷②正確；由題目中的已知條件無法證明③；在上截取一點H，使AH=AF，然后根據(jù)已知條件，證明和，從而得到，即可得到所求，即④正確；作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PN=PQ，然后即可推出，則⑤正確．解析：①∵AD平分∠BAC，CF平分∠ACB，∠B=60°，∴，，∴，故①正確；②∵CF平分∠ACB，AD平分∠BAC，∴∵∴，故②正確；③由題目中的已知條件無法證明BG=AE，故③錯誤；④在上截取一點H，使AH=AF∵AD為∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠CAD∴由②知∴∴∴∴，∴，故④正確；⑤作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，則PM=PN=PQ，∵S△APF=AF×PM，S△CPG=CG×PQ，S△APC=AC×PN，∴S△APF+S△CPG=S△APC，故⑤正確；故選：C．【點睛】本題主要考查了學(xué)生的推理論證能力，解題關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)和已知條件．二、填空題11．如果△ABC中，兩邊a＝7cm，b＝3cm，則c的取值范圍是_________；第三邊為奇數(shù)的所有可能值為_________；周長為偶數(shù)的所有可能值為_________．【答案】

4cm＜c＜10cm

5cm、7cm、9cm

16cm或18cm【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得7cm?3cm<c<7cm+3cm，即4cm<c<10cm；當(dāng)?shù)谌吺瞧鏀?shù)時，則第三邊所有可能值為5cm、7cm、9cm；若周長是偶數(shù)，其它兩邊之和是10，則第三邊應(yīng)取偶數(shù)，即6cm、8cm，則c=16cm或18cm.故答案為4cm<c<10cm；5cm、7cm、9cm；16cm或18cm.12．如圖，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，則∠ACE的度數(shù)是______．【答案】45°【解析】∵△ABC中,∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∵CM平分AB，∴AM=BM=CM，∴∠BCM=∠B，∴∠BCM=∠ACD，∵CE平分∠DCM，∴∠DCE=∠MCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCM+∠MCE=∠ACB=12×90°=45°，故答案為45°.點睛：本題考查了直角三角形的性質(zhì)及角分線的定義.先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ACD=∠B，AM=BM=CM，故可得出∠BCM=∠B，所以∠BCM=∠ACD，再由CE平分∠DCM可知∠DCE=∠MCE，故∠ACD+∠DCE=∠BCM+∠MCE=∠ACB，故可得出結(jié)論．13．已知：如圖，中，分別是和的平分線，過O點的直線分別交、于點D、E，且．若，則的周長為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及角平分線性質(zhì)，可△OBD，△EOC為等腰三角形，由此把△ADE的周長轉(zhuǎn)化為AC+AB.∵，∴，又∵是的角平分線，∴，∴，∴，同理，∴的周長．故答案為：14cm【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定，正確證明△OBD，△EOC均為等腰三角形是關(guān)鍵.14．如圖，是一個的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=________．【答案】180°.【解析】【分析】仔細分析圖中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，進而得出答案．解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案為：180．【點睛】此題主要考查了全等圖形，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用．15．如圖所示，，，，，，則的度數(shù)是______．【答案】58°【解析】【分析】根據(jù)角的和差可得∠1=∠EAC，然后利用SAS證明ΔBAD≌ΔCAE，得到∠ABD=∠2=30°，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠1=∠EAC，在ΔBAD與ΔCAE中，，∴ΔBAD≌ΔCAE(SAS)，∴∠ABD=∠2=30°，∵，∴∠3=∠ABD+∠1=30°+28°=58°．故答案為：58°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設(shè)PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，則m+n_____b+c．（填>、≥、<、≤、=、≠）．【答案】＞【解析】【分析】在BA的延長線上取點E，使AE=AC，連接EP，證明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊即可得到m+n＞b+c．解：在BA的延長線上取點E，使AE=AC，連接EP，∵AD是∠BAC的外角平分線，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．故答案為：＞．【點睛】本題主要考查了三角形全等的證明，全等三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，作輔助線構(gòu)造以m、n、b、c的長度為邊的三角形是解題的關(guān)鍵，也是解本題的難點．17．如圖，，分別是的邊，上的點，連接，將沿DE折疊得到，交于點，過點作，交于點，已知，，那么______°．【答案】50【解析】【分析】由折疊可得，由可知，由為的外角，得出，故，得出，，即可求出的度數(shù)．解：∵，且∴∵為的外角∴由折疊可得∴∴解得：，故答案為：50．【點睛】本題考查圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用方程思想來解決問題．18．如圖，直線PQ經(jīng)過Rt△ABC的直角頂點C，△ABC的邊上有兩個動點D、E，點D以1cm/s的速度從點A出發(fā)，沿AC→CB移動到點B，點E以3cm/s的速度從點B出發(fā)，沿BC→CA移動到點A，兩動點中有一個點到達終點后另一個點繼續(xù)移動到終點．過點D、E分別作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分別為點M、N，若AC=6cm，BC=8cm，設(shè)運動時間為t，則當(dāng)t=__________s時，以點D、M、C為頂點的三角形與以點E、N、C為頂點的三角形全等．【答案】1或或12【解析】【分析】由以點D、M、C為頂點的三角形與以點E、N、C為頂點的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置決定，故需要對E，D的位置分當(dāng)E在BC上，D在AC上時或當(dāng)E在AC上，D在AC上時，或當(dāng)E到達A，D在BC上時，分別討論．解：當(dāng)E在BC上，D在AC上，即0＜t≤時，CE=（83t）cm，CD=（6t）cm，∵以點D、M、C為頂點的三角形與以點E、N、C為頂點的三角形全等．∴CD=CE，∴83t=6t，∴t=1s，當(dāng)E在AC上，D在AC上，即＜t＜時，CE=（3t8）cm，CD=（6t）cm，∴3t8=6t，∴t=s，當(dāng)E到達A，D在BC上，即≤t≤14時，CE=6cm，CD=（t6）cm，∴6=t6，∴t=12s，故答案為：1或或12．【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是對動點所在的位置進行分類，分別表示出每種情況下CD和CE的長．三、解答題19．已知的三邊長均為整數(shù)，的周長為奇數(shù)．（1）若，，求AB的長．（2）若，求AB的最小值．【答案】（1）7或9；（2）6．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出AB的取值范圍，再由AB為奇數(shù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)AC﹣BC=5可知AC、BC中一個奇數(shù)、一個偶數(shù)，再由△ABC的周長為奇數(shù)，可知AB為偶數(shù)，再根據(jù)AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值．（1）∵由三角形的三邊關(guān)系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2，∴6＜AB＜10，又∵△ABC的周長為奇數(shù)，而AC、BC為偶數(shù)，∴AB為奇數(shù)，故AB=7或9；（2）∵AC﹣BC=5，∴AC、BC中一個奇數(shù)、一個偶數(shù)，又∵△ABC的周長為奇數(shù)，故AB為偶數(shù)，∴AB＞AC﹣BC=5，∴AB的最小值為6．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．20．如圖，A，D，E三點在同一直線上，且△BAD≌△ACE，試說明：(1)BD=DE+CE；(2)△ABD滿足什么條件時,BD∥CE．【答案】（1）證明見解析；（2）∠ADB=90°．【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根據(jù)平行線的判定求出即可．解：(1)∵△BAD≌△ACE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=DE+CE；(2)△ABD滿足∠ADB=90°時,BD∥CE，理由是：∵△BAD≌△ACE，∴∠E=∠ADB=90°，∴∠BDE=180°?90°=90°=∠E，∴BD∥CE．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定等的應(yīng)用，關(guān)鍵是通過三角形全等得出正確的結(jié)論，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題的能力．21．如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線，過點E作EF垂直BC，垂足為點F．（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度數(shù)；（2）若△ABC的面積為30，EF＝5，求CD的長度．【答案】（1）47°；（2）3【解析】【分析】（1）先求出∠ABE的度數(shù)，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，從而可求∠BED的度數(shù)；（2）由AD，BE是三角形的中線，可得到S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，再由S△BDF＝，可求得BD的長度，從而可求CD的長度．解：（1）∵∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∴∠ABE＝35°﹣18°＝17°，∴∠BED＝∠ABE＋∠BAD＝17°＋30°＝47°；（2）∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ABC．又∵S△ABC＝30，∴S△ABD＝×30＝15．又∵BE為△ABD的中線，∴S△BDE＝S△ABD＝×15＝．∵EF⊥BC，且EF＝5，∴S△BDE＝?BD?EF，∴?BD×5＝，∴BD＝3，∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD＝3．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，以及三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中線把三角形分成的兩個三角形面積相等是解答本題的關(guān)鍵．22．如圖所示的A、B是兩根呈南北方向排列的電線桿，A、B之間有一條小河，小剛想估測這兩根電線桿之間的距離，于是小剛從A點開始向正西方向走了20步到達一棵大樹C處，接著又向前走了20步到達D處，然后他左轉(zhuǎn)90°直行，當(dāng)他看到電線桿B、大樹C和他自己現(xiàn)在所處的位置E恰在同一條直線上時，他從D位置走到E處恰好走了100步，利用上述數(shù)據(jù)，小剛測出了A、B兩根電線桿之間的距離．(1)請你根據(jù)上述的測量方法在原圖上畫出示意圖；(2)如果小剛一步大約60厘米，請你求A、B兩根電線桿之間的距離并簡述理由．【答案】(1)圖略(2)AB＝60m【解析】分析：（1）認真讀題，根據(jù)題意畫出示意圖；（2）結(jié)合題意分別求出AC、DC、DE的長，易得：AC=DC，∠BAC=∠EDC，∠DCE=∠ACB，根據(jù)全等三角形的判定定理可得△ABC≌△DEC，進而得到AB=DE，據(jù)此，可得出結(jié)果.本題解析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示.（2）A、B兩根電線桿之間的距離大約為36m.理由如下.∵∠BAC=∠EDC=90°，60cm=0.6m，∴AC=20×0.6=12m，DC=20×0.6=12m，DE=100×0.6=60m.∵點E、C、B在一條直線上，∴∠DCE=∠ACB.∵∠BAC=∠EDC=90°，AC=DC，∠DCE=∠ACB，∴△ABC≌△DEC.∴AB=DE.∵AB=DE，DE=60m，∴AB=60m.故A、B兩根電線桿之間的距離大約為60m.點睛：本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確畫出示意圖，得到△ABC≌△DEC是解答此題的關(guān)鍵.23．如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，CE交BA于點D，CE交BF于點M．求證：（1）EC＝BF；（2）EC⊥BF．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）先利用SAS證明△ABF≌△AEC即可得到EC＝BF；（2）根據(jù)（1）中的全等推得∠AEC＝∠ABF，根據(jù)∠BAE＝90°，∠AEC+∠ADE＝90°，再根據(jù)對頂角相等，等量代換后，推得∠BMD＝90°．【解答】證明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中，，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；（2）如圖，由（1）得：△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BDM（對頂角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝90°，∴EC⊥BF．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，對頂角的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．24．如圖所示，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E在的內(nèi)部，連接EB，EC，說明：（1）；（2）；（3）若，，，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）在△ABO和△DCO中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，列出不等式，相加即可得到結(jié)論；（2）延長BE交AC于點F．在△ABF和△CEF中根據(jù)兩邊之和大于第三邊，列出不等式，相加即可得到結(jié)論；（3）由（2）可知，EB+EC＜13．在△EBC中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，即可得到結(jié)論．（1）在△ABO中，AB＜AO+BO，①在△DCO中，CD＜CO+DO，②①+②得：AB+CD＜AO+BO+CO+DO，即AB+CD＜AC+BD．（2）如圖所示，延長BE交AC于點F．∵在△ABF中，AB+AF＞BF=BE+FE，①在△CEF中，F(xiàn)E+FC＞EC，②由①+②得：AB+(AF+FC)+FE＞BE+EC+FE即AB+AC＞EB+EC．（3）由（2）可知，EB+EC＜13，在△EBC中，EB+EC＞BC，且BC=11，∴11＜EB+EC＜13．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．25．如圖，在四邊形中，，點E、F分別在直線、上，且．(1)當(dāng)點E、F分別在邊、上時（如圖1），請說明的理由．(2)當(dāng)點E、F分別在邊、延長線上時（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)不成立，，見解析【解析】【分析】（1）延長EB至G，使BG＝DF，連接AG，通過證明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，進而可說明EF＝BE+DF；（2）在BE上截取BM＝DF，連接AM，通過證明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，進而可得EF＝BE﹣FD．(1)EF＝BE+DF，理由：延長EB至G，使BG＝DF，連接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；(2)（1）中結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，在BE上截取BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在△ABC中，AC=BC，點D在邊AB上，AB=4BD，連接CD，點E，F(xiàn)在線段CD上，連接BF，AE，∠BFC=∠AEC=180°∠ACB．（1）①∠FBC與∠ECA相等嗎？說明你的理由；②△FBC與△ECA全等嗎？說明你的理由；（2）若AE＝11，EF＝8，則請直接寫出BF的長為；（3）若△ACE與△BDF的面積之和為12，則△ABC的面積為．【答案】（1）①見解析；②全等，理由見解析；（2）3；（3）48【解析】【分析】（1）①連接BC，由已知及∠AEC=180°∠AED，可得到∠ACB=∠AED．再證明∠CAE=∠BCF，由三角形內(nèi)角和定理可得∠FBC=∠ECA；②利用“ASA”證明△FBC≌△ECA；（2）由（1）中全等三角形的結(jié)論及已知可得到BF的長；（3）由（1）中結(jié)論可得S△FBC=S△ECA，所以S△ECA+S△BDF=12=S△FBC+S△BDF=S△DBC，根據(jù)AB=4BD，可得到S△DBC=S△ABC=12，從而可得△ABC的面積．解：（1）①∠FBC=∠ECA，理由如下：∵∠BFC=∠AEC=180°∠ACB，且∠AEC=180°∠AED，∴∠ACB=∠AED．由外角定理可得∠AED=∠ACD+∠CAE，又∠ACB=∠ACD+∠BCF，∴∠CAE=∠BCF，由三角形內(nèi)角和定理可得∠FBC=∠ECA；②△FBC與△ECA全等，理由如下：在△FBC和△ECA中，，∴△FBC≌△ECA（ASA）；（2）由（1）中②可知，F(xiàn)C=AE=11，BF=CE，又EF=8，∴CE=FCEF=118=3，∴BF=3，故答案為：3；（3）由（1）中結(jié)論可知S△FBC=S△ECA，∴S△ECA+S△BDF=12=S△FBC+S△BDF=S△DBC，又AB=4BD，∴S△DBC=S△ABC=12，∴S△ABC=48．故答案為：48．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積計算，三角形外角定理等知識，證明△FBC≌△ECA是解題關(guān)鍵．27．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，證明見解析；（3）EF＝2AD，證明見解析．【解析】【分析】（1）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，根據(jù)題意證明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根據(jù)AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，進而可知AC∥BM；（3）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）（2）的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD與EF的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．28．【問題】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠