1.4.1空間中點直線平面的向量表示教學設計-2024-2025學年高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

包頭市景泰高級中學數(shù)學教案本2024包頭市景泰高級中學數(shù)學教案本2024包頭市景泰高級中學教務處包頭市景泰高級中學教務處包頭市景泰高級中學高一數(shù)學教案課題空間中點線面的向量表示授課教師授課班級授課時間9月份課時安排1課時教學背景分析（一）課題及教學內(nèi)容分析本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第一冊第一章第四節(jié)第一課時的內(nèi)容，主要研究空間向量的應用。從本節(jié)知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)看,這樣空間向量可表示空間中點的位置，直線和平面的方向。根據(jù)其方向的特點，空間中的直線與平面，平面與平面的位置關系轉(zhuǎn)化為向量的相關問題.對于“平行”與“垂直”兩種特殊的位置關系，以向量的運算為工具，可證明空間中線面間的平行與垂直的關系，并能解決直線與平面、平面與平面和異面直線的夾角問題.本節(jié)的核心內(nèi)容是探求利用空間向量解決立體幾何問題的一般方法?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學重點：用向量表示空間幾何中的點、直線和平面；利用向量共線定理、平面向量基本定理推導直線和平面的向量表達式以及求平面法向量的方法?？傮w學生情況分析已具備的認知基礎:學生在“立體幾何初步”的學習中，已經(jīng)能夠解決立體幾何中的點線面的位置關系和度量問題,學生經(jīng)歷過運用平面向量解決平面幾何的問題，自然能提出運用空間向量解決立體幾何的問題。景泰的學生整體上數(shù)學成績不高，基礎比較弱，思維薄弱，計算能力比較差，對抽象的數(shù)學知識理解困難，記憶有限，積極性不足，空間想象能力不足，應用方面易失誤，缺少綜合的分析能力。（三）本班學生情況分析教學目標1.會將空間中的點、直線、平面用規(guī)范的向量語言表示出來，通過學會空間中的點、直線、平面的向量表示再來研究空間的直、平面的平行、垂直的關系；2.通過恰當選取幾何體中的一個向量基底，加深理解向量基本定理，能夠用向量規(guī)范表示空間中的點、直線、平面，體悟數(shù)學“元”思想，發(fā)展學生的數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng)。教學重難點重點：點、直線和平面的向量表示，以及平面法向量的求法。難點：點、直線和平面的向量表示的探究過程。通過問題引導，讓學生經(jīng)歷“痛苦”的思考過程，使學生逐步發(fā)現(xiàn)為什么“向量可以代替點、直線和平面”，“如何借助向量來表示點、直線和平面”，繼而通過抓主線——點的位置向量，轉(zhuǎn)化、類比，最后得到正確的結(jié)論。教學資源和教學方法本節(jié)課采用“問題導學”教學模式，通過設置聯(lián)系性問題、理解性問題、歸納性問題、拓展性問題實現(xiàn)學生的深度學習。引導學生獨立思考，主動探究，合作交流，利用小組匯報，學生講解，學生小結(jié)等多種方式，借助動態(tài)實物圖將空間中點、直線和平面的向量表示制作成動態(tài)圖形，通過創(chuàng)設物理情境，數(shù)學情境，落實重點，突破難點，倡導學生主動參與，在師生互動、生生互動中，通過對空間中點、直線和平面的向量表示的探究，使學生學會空間中點、直線和平面的向量表示方法,進一步提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng).讓學習過程成為學生心靈愉悅的主動認知過程.不斷地提升學生學習能力，努力實現(xiàn)學習的目標。教學中以引導學生和學生活動為主，提高學生們自主學習的積極性和能力，加強學生們對內(nèi)容的理解和分析，實際操作中需要高質(zhì)量的做一些試題來鞏固新的知識，從而得到掌握本節(jié)課的內(nèi)容。教學設計一、創(chuàng)設情境，提出問題2024年巴黎奧運會開幕式上的1100架中國無人機表演震撼全世界。無人機編織的光影，在埃菲爾鐵塔上舞動，讓巴黎的夜晚比平時更加璀璨耀眼。隨著節(jié)奏，它們迅速變換著各種圖案，首先是奧運五環(huán)，在空中勾勒出五個閃亮的環(huán)，每一個環(huán)都閃耀著不同的顏色，仿佛象征著世界五大洲的團結(jié)和友誼。接著，五環(huán)變幻成巴黎奧運會的會徽，那細致的圖案在空中綻放，仿佛一幅巨大的畫卷展開在夜空中。隨后，無人機又迅速排列成火炬手的形象，一位高舉火炬的運動員躍然于天際，她手中的火炬仿佛真的在燃燒。無人機在空中靈活飛行，仿佛被賦予了生命一樣，全世界所有的觀眾都被這精準、優(yōu)美變換而鼓掌和歡呼。把無人機看作一個點的話，根據(jù)1100架無人機所組成的不同空間結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)回答下列問題：【問題1】：你能確定每一架無人機在空中的位置嗎？【問題2】：多架無人機在空中能組成一條直線或一個平面嗎？【問題3】：你會用空間向量法來表示空間中變幻的無人機嗎？【設計意圖】用無人機的精彩表演做情境，無人機表演的各種圖案，學生們印象深刻，有利于學生的理解和分析，并且為接下來學習的空間向量研究直線、平面的位置奠定基礎。二、分析問題，引入新課師生活動：分析上面的例子，讓學生復習空間直角坐標系的建立，點的坐標表示。要想學會表示，請認真學習本節(jié)內(nèi)容用空間向量研究直線、平面的位置關系。【設計意圖】引導學生思考，從多個具體的實例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學語言，并通過實際例子讓學生更好地理解本節(jié)課所要學習的內(nèi)容。三、探究新知，形成概念師生活動：板書1探究1：如何用空間向量表示空間中的一個點P？師：想象一下，平常我們打的時候，有人問你“你現(xiàn)在在哪里？”，你是怎樣回答的呢？通過看書：在空間中選一個起點O作為基點，則空間中任意一個點P就可以用向量OP來表示。我們把向量OP稱為點P的位置向量。這樣的表示往往比較隨意，需要學生認真理解基點O。圖形語言向量語言空間中一點【設計意圖】通過空間內(nèi)任意點的向量來表示，即主要確定點的位置，這樣去讓學生體會點與“基”點的一一對應關系，這樣空間中的向量就可以表示出來了。探究2：如何用空間向量表示空間中的一條直線？師：用向量表示直線，就是要利用點和直線的方向向量表示直線上的任意點？在直線上取非零向量a，我們把向量a稱為直線l的方向向量，設是直線上的任意一點，由向量共線的條件可知，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使得，即。取定空間中任意一點，可以得到點是直線上的任意一點，的充要條件是存在實數(shù)，使得，①將代入①，即，②。①和②都稱為空間直線的向量表示式。由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定?！驹O計意圖】：在空間向量表示空間直線的基礎上，得出“空間中的一點和一個方向也可以確定空間中的一條直線”，引導學生利用共線定理尋找向量表示直線方法，學生在探究問題的過程中體悟數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想，提升學生的數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)。圖形語言向量語言直線直線探究3：一個點和兩個定方向能否確定一個平面？如何用向量來表示這個平面？設兩條相交直線的交點為，它們的方向向量分別為向量和向量，那么，由平面向量基本定理得到，這個平面的任意一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使得向量①這樣，點與向量和向量，不僅可以確定平面，還可以具體表示出內(nèi)的任意一點，這種表示在解決幾何問題時有著重要作用。師：我們可以回憶平面向量的基本定理，來聯(lián)想空間向量的任意一向量分解。進一步，取定空間任意一點為，可以得到，空間一點位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)，使得，③。我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式，所以，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定?！驹O計意圖】：通過平面內(nèi)的任意一點的向量表示，對“存在實數(shù)x,y,使xAB+yAC”有了更深刻的理解，能夠得出空間一點位于平面ABC內(nèi)的充要條件是：存在實數(shù)x,y,使OP=OA+xAB+yAC。探究4：給定空間一點A和一條直線l，則過點A且垂直直線l的平面是唯一確定的。由此得到啟發(fā)，我們可以點A和直線l的方向向量來確定平面。如果另有一條直線，在直線m上任取向量，向量與向量有什么關系呢？師：①垂直于平面虛線叫法線。②數(shù)學中把垂直于平面的直線方向向量叫平面的法向量。③平面是點的集合，如何用點A和平面α的法向量a表示平面內(nèi)所有的點P構(gòu)成的集合？直線，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面的法向量，給定一個點A和一個向量，那么過點A為法向量的平面完全確定，可以表示為滿足集合?！驹O計意圖】通過直線垂直平面的方法，來引導學生在直線上取一個方向向量，這樣很容易得到一個平面的法向量，圖形語言向量語言平面平面平面板書2：四、例題分析，理解鞏固例:如圖,在長方體中，,,是的中點，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。(1)求直線的方向向量(2)求平面的法向量(3)求平面的法向量.(4)求平面的法向量.師生活動：下面由學生分組對上述例題進行改編或變式。五、課堂小結(jié)，復習回顧空間中一個點如何用向量表示二、空間中一條線如何用向量表示三、空間中一個面如何用向量表示四、如何表示一個平面的法向量六、達標檢查，鞏固提示1.如圖，在三棱錐ABC