第02講 勾股定理的逆定理（知識解讀+達(dá)標(biāo)檢測）（解析版）-A4

第頁第02講勾股定理的逆定理【題型1：勾股定理的逆定理的運(yùn)用】【題型2：直角三角形的判斷】【題型3：勾股定理的逆定理應(yīng)用】【題型4：勾股數(shù)的應(yīng)用】考點(diǎn)1：勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【題型1：勾股定理的逆定理的運(yùn)用】【典例1】（2023春?懷柔區(qū)期末）以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）A．3，4，6 B．2，， C．1，2， D．6，8，10【答案】D【解答】解：A、∵32+42＝25，62＝36，∴32+42≠62，∴不能組成直角三角形，故A不符合題意；B、∵22+（）2＝7，（）2＝5，∴22+（）2≠（）2，∴不能組成直角三角形，故B不符合題意；C、∵12+（）2＝3，22＝4，∴12+（）2≠22，∴不能組成直角三角形，故C不符合題意；D、∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴能組成直角三角形，故D符合題意；故選：D．【變式1-1】（2023春?郾城區(qū)期末）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形是（）A．，， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．，，【答案】C【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B、12+22≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C、0.32+0.42＝0.52，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；D、（）2≠（）2+（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．故選：C．【變式1-2】（2023春?臨潼區(qū)期末）在以下列數(shù)值為邊長的三角形中，不是直角三角形的是（）A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17【答案】C【解答】解：A、因?yàn)?2+122＝132，所以是直角三角形，不符合題意；B、因?yàn)?2+82＝102，所以是直角三角形，不符合題意；C、因?yàn)?2+232≠252，所以不是直角三角形，符合題意；D、因?yàn)?2+152＝172，所以是直角三角形，不符合題意；故選：C．【變式1-3】（2023春?長壽區(qū)期末）若△ABC的三邊長為a，b，c，則下列不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝6，b＝7，c＝8 B．a(chǎn)＝1，， C．a(chǎn)＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5【答案】A【解答】解：A、∵a2+b2＝62+72＝85，c2＝82＝64，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故A符合題意；B、∵a2+c2＝12+（）2＝3，b2＝（）2＝3，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故B不符合題意；C、∵a2+b2＝1.52+22＝6.25，c2＝2.52＝6.25，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故C不符合題意；D、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合題意；故選：A．【題型2：直角三角形的判定】【典例2】（2023春?廬陽區(qū)期末）△ABC的三邊長分別為a，b，c．下列條件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判斷△ABC是直角三角形的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：①由∠A＝∠B﹣∠C，可知：∠B＝90°，是直角三角形．②由a2＝（b+c）（b﹣c），可得a2+c2＝b2，是直角三角形．③由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可知不是直角三角形．④由a：b：c＝5：12：13，根據(jù)勾股定理的逆定理可知是直角三角形．故選：C．【變式2-1】（2023春?江津區(qū)期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．下列條件中，不能說明△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)：b：c＝1：2：3 B．a(chǎn)2＝b2+c2 C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3【答案】A【解答】解：A、∵a：b：c＝1：2：3，設(shè)a＝x，b＝2x，c＝3x，∵（x）2+（2x）2≠（3x）2，∴不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；B、∵a2＝b2+c2，∴△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；C、∵∠B+∠C＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝90°，∴△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．【變式2-2】（2023春?山亭區(qū)期中）對于下列四個條件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；故①正確；②∵a：b：c＝3：4：5，設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝c2，∴△ABC是直角三角形；故②正確；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；故③正確；④∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴5∠C＝180°，∴∠C＝36°，∴∠A＝∠B＝2∠C＝72°，∴△ABC不是直角三角形；故④錯誤；綜上：能確定△ABC是直角三角形的條件有①②③；故選：A．【變式2-3】（2023春?北京期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c．下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 D．a(chǎn)＝b＝1，c＝【答案】B【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，∴△ABC是直角三角形，故A不符合題意；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故B符合題意；C、∵a：b：c＝3：4：5，∴設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故C不符合題意；D、∵a2+b2＝12+12＝2，c2＝（）2＝2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合題意；故選：B．【典例3】（2023春?北京期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形網(wǎng)格的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上．（1）判斷△ACD的形狀，并說明理由；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）△ACD為直角三角形，理由見解答；（2）四邊形ABCD的面積為．【解答】解：（1）△ACD為直角三角形，理由：由題意得：AC2＝32+32＝18，CD2＝22+22＝8，AD2＝12+52＝26，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD為直角三角形，∴∠ACD＝90°；（2）在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC＝90°，∴SRt△ABC＝AB?BC＝×3×3＝；在Rt△ACD中，AC＝，CD＝，∴SRt△ACD＝AC?CD＝×3×2＝6∴S四邊形ABCD＝SRt△ABC+SRt△ACD＝+6＝，∴四邊形ABCD的面積為．【變式3-1】（2023春?良慶區(qū)期末）計(jì)算：如圖，方格中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上．（1）請判斷三角形ABC是否是直角三角形，并說明理由；（2）求點(diǎn)C到AB邊的距離．【答案】（1）三角形ABC不是直角三角形，理由見解答；（2）點(diǎn)C到AB邊的距離為．【解答】解：（1）三角形ABC不是直角三角形，理由：由題意得：AC2＝12+22＝5，AB2＝22+32＝13，BC2＝12+32＝10，∴AC2+BC2≠AB2，∴三角形ABC不是直角三角形；（2）設(shè)點(diǎn)C到AB邊的距離為h，由（1）可得AB＝，∵△ABC的面積＝AB?h＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3，∴h＝9﹣1﹣﹣3，解得：h＝，∴點(diǎn)C到AB邊的距離為．【變式3-2】（2023春?綿陽期中）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．（1）求證：△ABC是直角三角形；（2）求點(diǎn)D到AC、BC的距離之和．【答案】（1）見解析；（2）16.8．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2，∴BC＝15；在Rt△ADC中，CD2+AD2＝AC2，即122+AD2＝202，∴AD＝16，∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）解：過點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，S△ADC＝S△ADE+S△CDE，，即20DE＝16×12，∴DE＝9.6，，即15DF＝9×12，∴DF＝7.2，∴DE+DF＝9.6+7.2＝16.8．【變式3-3】（2023春?瀘縣校級期中）如圖所示，每個網(wǎng)格正方形的邊長為1cm，△ABC的三個頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，求：（1）求△ABC的周長．（2）判斷△ABC的形狀，并求其面積．（3）求邊AB上的高．【答案】（1）；（2）銳角三角形，3.5；（3）．【解答】解：（1）由勾股定理得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝，則△ABC的周長為；（2）∵AC＝，AB＝，BC＝，∴AC2+BC2≠AB2，如圖，△ACD中，AC2+CD2＝（）2+（）2＝10，AD2＝（）2＝10，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠DCA＝90°，∴∠ACB＜90°，∴△ABC是銳角三角形，△ABC的面積S＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣﹣×2×3＝3.5；（3）設(shè)C到AB的距離為a，則×AB×a＝3.5，∵AB＝，∴a＝，∴點(diǎn)C到AB邊的距離是．【題型3：勾股定理的逆定理應(yīng)用】【典例4】（2023春?虞城縣期末）如圖，等腰三角形ABD的腰長為13cm，底邊BD＝10cm，C為其內(nèi)部一點(diǎn)，且BC＝8cm，CD＝6cm．（1）判斷△BCD的形狀并說明理由；（2）求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）36cm2．【解答】解：（1）直角三角形，理由如下：在△BCD中，CD＝6，BC＝8，BD＝10，∴CD2+BC2＝62+82＝100＝102＝BD2，∴△BCD是直角三角形；（2）由（1）知：△BCD是直角三角形且∠C＝90°，∴，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，根據(jù)等腰三角形“三線合一”可知：點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，∴BE＝DE＝5，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得：AE＝＝12，∴，∴陰影部分面積為＝S△ABD﹣S△BCD＝36（cm2）．【變式5-1】（2023春?惠城區(qū)校級期中）如圖，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，AB⊥BC，求四邊形ABCD的面積．【答案】四邊形ABCD的面積為36．【解答】解：如圖所示，連接AC，∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，∴△ABC是直角三角形，∴，，∵CD＝12，DA＝13，AC＝5，52+122＝132，即AC2+AD2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，∴，∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD，∴S四邊形ABCD＝6+30＝36，∴四邊形ABCD的面積為36．【變式6-2】（2023春?南開區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）求證：∠D＝90°；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）見解析；（2）234．【解答】（1）證明：連接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D＝90°；（2）解：∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC，∴S四邊形ABCD＝?BC+AD?CD，＝＝234．【變式4-3】（2023春?休寧縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．（1）求AC的長；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）AC的長為5；（2）四邊形ABCD的面積為36．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵AB＝17，BC＝8，∴AC＝＝＝5，∴AC的長為5；（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠D＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝△ADC的面積+△ABC的面積＝AD?CD+AC?BC＝×4×3+12×5＝6+30＝36，∴四邊形ABCD的面積為36．考點(diǎn)2：勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數(shù)【題型4：勾股數(shù)】【典例5】（2023秋?南明區(qū)期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13【答案】A【解答】解：A、∵32+42＝52，∴3，4，5是勾股數(shù)，符合題意；B、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵82+102≠162，∴8，10，16不是勾股數(shù)，不符合題意；D、∵52+102≠132，∴5，10，13不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：A．【變式5-1】（2023秋?福田區(qū)校級期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10【答案】D【解答】解：A、22+32≠42，故不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、42+52≠62，故不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、72+82≠92，故不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、82+62＝102，故是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式5-2】（2023秋?六盤水期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．，， B．1，， C．7，24，25 D．2，3，4【答案】C【解答】解：A．因?yàn)?，不是整?shù)，所以不是勾股數(shù)，此項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)?，不是整?shù)，所以不是勾股數(shù)，不符合題意；C．因?yàn)?2+242＝252，所以是勾股數(shù)，此項(xiàng)符合題意；D．因?yàn)?2+32≠42，所以不是勾股數(shù)，此項(xiàng)不符合題意．故選：C．【題型5：勾股定理的應(yīng)用】【典例6】（2022秋?古縣期末）如圖，小旭放風(fēng)箏時，風(fēng)箏掛在了樹上．他先拉住風(fēng)箏線，垂直于地面，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米；把風(fēng)箏線沿直線BC向后拉5米，風(fēng)箏線末端剛好接觸地面．求風(fēng)箏距離地面的高度AB．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)AB＝x米，則AC＝（x+1）米，由圖可得，∠ABC＝90°，BC＝5，∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，答：風(fēng)箏距離地面的高度AB為12米．【變式6-1】（2023秋?肇東市校級期末）一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理：梯子距離地面的高度為：＝24（米）；（2）梯子下滑了4米，即梯子距離地面的高度為A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），根據(jù)勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑動了8米．【變式6-2】（2022秋?撫州期末）長清的園博園廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所，某校七年級（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE；（2）如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】（1）21.6米；（2）8米．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，所以，CD＝20（負(fù)值舍去），所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米；（2）由題意得，CM＝12米，∴DM＝8米，∴BM＝＝＝17（米），∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），∴他應(yīng)該往回收線8米．【變式6-3】（2023秋?東臺市期中）如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等．問：（1）在離A站多少km處？（2）判定三角形DEC的形狀．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km；（2）△DEC是直角三角形，理由如下：∵△DAE≌△EBC，∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，∠DEA+∠D＝90°，∴∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，即△DEC是直角三角形．一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?秦淮區(qū)期末）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，12，13【答案】D【解答】解：A、12+22＝5≠32，故不能組成直角三角形，不符合題意；B、22+32＝13≠42，故不能組成直角三角形，不符合題意；C、42+52＝41≠62，故不能組成直角三角形，不符合題意；D、52+122＝169＝132，故能組成直角三角形，符合題意．故選：D．2．（2023秋?公主嶺市期末）如圖，一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，木桿折斷之前的高度為（）A．7米 B．8米 C．9米 D．12米【答案】B【解答】解：∵一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，∴折斷的部分長為＝5（米），∴折斷前高度為5+3＝8（米）．故選：B．3．（2023秋?南明區(qū)期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13【答案】A【解答】解：A、∵32+42＝52，∴3，4，5是勾股數(shù)，符合題意；B、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵82+102≠162，∴8，10，16不是勾股數(shù)，不符合題意；D、∵52+102≠132，∴5，10，13不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：A．4．（2022秋?運(yùn)城期末）已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25【答案】B【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC為直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，故△ABC為直角三角形；D、∵72+242＝252，∴△ABC為直角三角形；故選：B．5．（2022秋?古縣期末）如圖，為了測量池塘的寬度DE，在池塘周圍的平地上選擇了A，B，C三點(diǎn)，且A，D，E，C四點(diǎn)在同一條直線上，∠C＝90°，已測得AB＝100m，BC＝60m，AD＝20m，EC＝10m，則池塘的寬度DE是（）A．80m B．60m C．50m D．40m【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝100m，BC＝60m，∴AC＝＝＝80（m），∴DE＝AC﹣AD﹣EC＝80﹣20﹣10＝50（m），∴池塘的寬度DE為50米．故選：C．6．（2022秋?薩爾圖區(qū)期末）如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少為（）A．4米 B．7米 C．8米 D．9米【答案】B【解答】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度＝＝4，∵地毯鋪滿樓梯時其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長度至少是3+4＝7米．故選：B．7．（2022秋?普寧市期末）如圖，某小區(qū)有一塊長方形花圃，為了方便居民不用再走拐角，打算用瓷磚鋪上一條新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根據(jù)勾股定理求得，AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故選：D．8．（2023春?益陽期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米）．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．故選：A．9．（2022秋?東臺市期末）如圖，長為8cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C垂直向上拉升3cm到D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉長了2cm．故選：A．10．（2023秋?法庫縣期中）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高5米，兩樹相距12米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A．8米 B．10米 C．13米 D．14米【答案】C【解答】解：建立數(shù)學(xué)模型，兩棵樹的高度差A(yù)C＝10﹣5＝5m，間距AB＝DE＝12m，根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離BC＝＝13m．故選：C．二．填空題（共5小題）11．（2023秋?豐順縣期末）如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個感應(yīng)器，離地AB＝2.5米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時，感應(yīng)門就會自動打開．一個身高1.6米的學(xué)生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（BC＝1.2米），感應(yīng)門自動打開，則AD＝1.5米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，則AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）故答案為：1.5．12．（2023秋?法庫縣期末）如圖是一種飲料的包裝盒，其長、寬、高分別為4cm，3cm，12cm，現(xiàn)有一長為16cm的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的長度為hcm，則h的取值范圍為3≤h≤4．【答案】3≤h≤4．【解答】解：當(dāng)吸管放進(jìn)盒里垂直于底面時露在盒外的長度最長＝16﹣12＝4（cm），當(dāng)吸管放進(jìn)盒里露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，底面對角線長＝＝5（cm），高為12cm，由勾股定理得：盒里面吸管長度＝＝13（cm），∴吸管露在盒外的長度最短＝16﹣13＝3（cm），∴吸管露在盒外的部分h（cm）的取值范圍是3≤h≤4，故答案為：3≤h≤4．13．（2023秋?龍港區(qū)期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠CAB+∠ACB＝45°．【答案】45°．【解答】解：如圖，作AD⊥BC，交CB的延長線于D，又∵AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．故答案為：45°．14．（2023?雙流區(qū)開學(xué)）如圖，強(qiáng)大的臺風(fēng)使一根旗桿斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部4米處，斷裂前旗桿總長為8米，則旗桿在離地面3米處折斷倒下．【答案】3．【解答】解：設(shè)旗桿在離地面x米處折斷倒下．由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，故答案為：3．15．（2022秋?河南期末）如圖，直角△ABC中，AC＝