第02講 探索三角形相似的條件（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-A4

第頁(yè)第02講探索三角形相似的條件1.掌握平行線等分線段及平行線分線段成比例定理的內(nèi)容；2.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；3.進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類(lèi)比”思想的自覺(jué)性，提高推理能力；知識(shí)點(diǎn)1平行線分線段成比例類(lèi)型1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.幾何語(yǔ)言：圖一拓展：.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；.經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線平分第三邊；圖二3）經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)并平行于底邊的直線必過(guò)另一腰中點(diǎn)并等于兩底和的一半。圖三類(lèi)型2平行線分線段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.圖四圖五（2）定理2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)線段成比例知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的相關(guān)概念在和中，如果我們就說(shuō)與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.注意：

(1)書(shū)寫(xiě)兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說(shuō)明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.知識(shí)點(diǎn)3相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.3．判定方法（3）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（4）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

注意：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

【題型1平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用】【典例1】（2022秋?惠安縣期末）如圖，直線l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，則DF的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：∵根據(jù)l1∥l2∥l3，∴，∴，解得EF＝4，∴DF＝DE+EF＝2+4＝6，故選：C．【變式1-1】（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，AC＝9，EF＝4，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．9【答案】A【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝4，AC＝9，EF＝4，∴BC＝5，∴，解得：DE＝，故選：A．【變式1-2】（2023春?張店區(qū)期末）如圖，直線a∥b∥c，直線a，b，c分別交直線m，n于點(diǎn)A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC＝2，CE＝4，BD＝1，則DF＝（）A．2 B．3 C． D．【答案】A【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，∵AC＝2，CE＝4，BD＝1，∴＝，解得：DF＝2，故選：A．【典例2】（2023春?任城區(qū)期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝3，∴BC＝3CE，∴CE＝BE＝×12＝3，故選：A．【變式2-1】（2023春?羅定市校級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝2：3，若CE＝6，則BC的長(zhǎng)為（）?A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BC＝4．故選：B．【變式2-2】（2023?寧化縣模擬）如圖，已知一組平行線a∥b∥c，被直線m、n所截，交點(diǎn)分別為A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，則DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4【答案】C【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，DE＝3.6，故選：C．【典例3】（2023?市中區(qū)一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；故選：C．【變式3-1】（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，AE＝2k，EC＝k，DE＝4，那么BC等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴ED：CB＝AE：AC設(shè)DB＝AE＝x∵AE＝2k，EC＝k，DE＝4，∴4：BC＝2k：（2k+k），解得BC＝6．故選：C．【變式3-2】（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．【變式3-3】（2023?三明模擬）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，AC＝10，則AE的長(zhǎng)為（）A． B．4 C．6 D．【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴，∵AC＝10，∴，∴AE＝4．故選：B．【題型2相似三角形的概念】【典例4】（2022秋?郯城縣校級(jí)期末）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，在B、C、D選項(xiàng)中的三角形都沒(méi)有135°，而在A選項(xiàng)中，三角形的鈍角為135°，它的兩邊分別為1和，因?yàn)椋?，所以A選項(xiàng)中的三角形與△ABC相似．故選：A．【變式4】（2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列兩個(gè)三角形不一定相似的是（）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)頂角是120°的等腰三角形 C．兩個(gè)全等三角形 D．兩個(gè)直角三角形【答案】D【解答】解：A、兩個(gè)等邊三角形，所有的角都是60°，相等，可以判定兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩個(gè)頂角是120°的等腰三角形，兩個(gè)底角一定都是30°，可以判定兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、全等是相似的特殊情況，兩個(gè)全等三角形一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、兩個(gè)直角三角形，只有一個(gè)直角對(duì)應(yīng)相等，無(wú)法判定相似，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【題型3三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似】【典例5】如圖，已知．求證：．【解答】證明：，在中，，,在中，在△ABC和△DEF中，三邊對(duì)應(yīng)成比例,．【變式5】（2023?瑤海區(qū)三模）如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝135°，BC＝2；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，BC＝＝＝2；故答案為：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．證明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠ABC＝∠DEF．∵AB＝2，BC＝2，F(xiàn)E＝2，DE＝∴＝＝，＝＝．∴△ABC∽△DEF．【題型4兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似】【典例6】（2022秋?銅仁市期末）如圖，D，E分別為AB，AC邊上兩點(diǎn)，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求證：△ADE∽△ACB．【答案】見(jiàn)解析．【解答】證明：∵AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6，∴AB＝AD+BD＝8，AC＝AE+CE＝10，∴，，∴，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．【變式6-1】（2022秋?泉州期末）如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，已知OA＝3，OD＝4，OB＝2，OC＝1.5．求證：△AOD∽△COB．【答案】見(jiàn)解析．【解答】證明：∵，，∴，又∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD∽△COB．【變式6-2】（2023?海淀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求證：△ADE∽△ACB．【答案】見(jiàn)解析．【解答】解：∵AB＝12，AC＝8，BD＝8，EC＝2．∴AD＝AB﹣BD＝12﹣8＝4，AE＝AC﹣CE＝8﹣2＝6，∴，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．【變式6-3】（2022秋?商南縣期末）如圖，AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，且AB＝6，AE＝3，AC＝12．（1）求CD的長(zhǎng)．（2）求證：△ABE∽△ACB．【答案】（1）18；（2）見(jiàn)解析．【解答】（1）解：∵AE＝3，AC＝12∴CE＝AC﹣AE＝12﹣3＝9；∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴＝，∴CD＝＝＝18；（2）證明：∵＝，＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB【題型5兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似】【典例7】（2023?平潭縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．求證：△ADF∽△DEC．【答案】證明見(jiàn)解析．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC．【變式7-1】（2023?鳳慶縣二模）如圖，AC為菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．求證：△ACD∽△ABE．?【答案】見(jiàn)解析．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠D，又∠E＝∠ABC，∴∠D＝∠E，∵AC為菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠BAC＝∠DAC，∴△ACD∽△ABE．【變式7-2】（2023?涵江區(qū)一模）如圖，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于點(diǎn)O，OB＝OC，求證：△ABC∽△DCB．【答案】見(jiàn)解析．【解答】證明：∵BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，∴∠A＝∠D，又∵∠AOB＝∠DOC，∴∠ABO＝∠DCO，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠DCB，∴△ABC∽△DCB．【變式7-3】（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：△CDE∽△AFD．【答案】證明見(jiàn)解析．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AF，∠C＝∠A，∴∠CDE＝∠F，∴△CDE∽△AFD．1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．2．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過(guò)C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，故選：C．3．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴，∴，∴EC＝．故選：C．4．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．【答案】．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案為：．5．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是△MCB．【答案】△MCB．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BMN＝∠A＝90°，∴∠DMN+∠CMB＝90°，∴∠DNM＝∠CMB，∴△NDM∽△MCB，故答案為：△MCB．6．（2023?岳陽(yáng)）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長(zhǎng)是π（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．【答案】（1）π；（2）．【解答】解：（1）如圖，連接OC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠BOC＝60°，OB＝3，∴的長(zhǎng)＝＝π；故答案為：π；（2）如圖，連接OC，∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴＝，∴OC⊥BD，又∵EC是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∴EC∥BD，∵＝，∴，設(shè)EB＝x，則AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x，∴EC＝＝＝2x，∴＝＝．故答案為：．7．（2022?襄陽(yáng)）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為5．【答案】5．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．∵AE平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，設(shè)AD＝DC＝a，則AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案為：5．1．（2023秋?西安期中）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，則與△ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，A：三角形三邊分別為：3，，2，B：三角形三邊分別為：，3，2，C：三角形三邊分別為：2，4，2，D：三角形三邊分別為：4，，，根據(jù)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似．∴C中的三角形與△ABC相似．故選：C．2．（2023秋?西安期中）如圖，DE∥BC，AD：DB＝1：2，EC＝6，則AE的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】A【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝3．故選：A．3．（2023?桂林一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4，l5被直線l1，l2，l3所截，截得的線段分別為AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．4.5 C．7.5 D．6【答案】B【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，∴，∴EF＝4.5，故選：B．4．（2022秋?順德區(qū)期末）如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵a∥b∥c，∴，，，，∴選項(xiàng)A、C、D正確，故選：B．5．（2023秋?成都期中）同學(xué)們?cè)谖锢碚n上做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，當(dāng)蠟燭火焰的高度AB為1.6cm時(shí)，所成的像A′B'的高度為（）A．0.8cm B．2.4cm C．3.2cm D．4.8cm【答案】C【解答】解：如圖：∵AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′＝OM：OM′，∵OM：OM′＝1：2，∴AB：A′B′＝1：2，∵AB＝1.6cm，∴A′B′＝2×1.6＝3.2cm，故答案選：C．6．（2023秋?晉江市期中）如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點(diǎn)，連接EF，若AO：AD＝2：7，AB＝4，則EF的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO，∴，∵AO：AD＝2：7，∴AO：OD＝2：5，∴CD＝10，∵點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，∴EF＝CD＝5，故選：B．7．（2022秋?路南區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC?CD D．【答案】C【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需滿足的條件有：①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分線；②＝；故選：C．8．（2023秋?萊西市期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，請(qǐng)?zhí)砑右粭l件使△BCD∽△BAC，則下列條件中不正確的是（）A．AC2＝AD?AB B．BC2＝BD?BA C．∠A＝∠BCD D．∠ADC+∠BCA＝180°【答案】A【解答】解：由AC2＝AD?AB，∠CBD＝∠ABC，不能判定△BCD∽△BAC，故A符合題意；∵BC2＝BD?BA，∴＝，又∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，故B不符合題意；∵∠A＝∠BCD，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，故C不符合題意；∵∠ADC+∠BCA＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠BCA，又∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，故D不符合題意；故選：A．9．（2023秋?包河區(qū)校級(jí)期中）如圖，，下列添加的條件不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠BAD＝∠CAEB．C．D．∠ABD＝∠ACE【答案】D【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵＝，∴＝，∴△ABC∽△ADE，故A不符合題意；∵＝，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△ABC∽△ADE，故B不符合題意；∵＝，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，又＝，∴△ABC∽△ADE，故C不符合題意；由＝，∠ABD＝∠ACE，不能判定△ABC∽△ADE，故D符合題意；故選：D．10．（2023秋?泗縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，P，Q分別是BC，CD上的點(diǎn)，CQ＝4，若△ABP與△PCQ相似，則BP的長(zhǎng)為（）A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或【答案】D【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝9，BC＝AD＝15，∵△ABP與△PCQ相似，∴分△ABP∽△PCQ與△ABP∽△QCP兩種情況求解：①當(dāng)△ABP∽△PCQ時(shí)，設(shè)BP＝x，則PC＝15﹣x，∴，即，解得：x＝3或x＝12，②當(dāng)△ABP∽△QCP時(shí)，設(shè)BP＝x，則PC＝15﹣x，∴，即，解得：，綜上所述，BP的長(zhǎng)為3或12或．故選：D．11．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）兩個(gè)相似三角形的相似比是4：9，則它們的面積比是（）A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：3【答案】B【解答】解：∵相似三角形的相似比是4：9，∴面積比為：，故選：B．12．（2023秋?西安期中）如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)在線段BD上，AB∥DE，，求證：△ABC∽△EDF．【答案】見(jiàn)解析過(guò)程．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，∵，∴△ABC∽△EDF．13．（2023秋?西安期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EB⊥AB，垂足為點(diǎn)B，交AC于點(diǎn)E．（1）求證：．（2）若AE＝6，AB＝5，求EC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC，∵EB⊥AB，∴∠EOB＝∠EBA，∵∠OEB＝∠BEA，∴△EOB∽△EBA，∴＝，∵AB＝BC，∴＝；（2）解：∵∠AOB＝∠ABE＝90°，∠OAB＝∠BAE，∴△AOB∽△ABE，∴＝，∵AE＝6，AB＝5，∴＝，解得：OA＝，∴EC＝2OA﹣AE＝﹣6＝．14．（2023秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）如圖，DE∥BC，且∠ABE＝∠C．（1）求證：AE2＝AD?AB；（2）如果AE＝4，BD＝6，求AD．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AD＝2．【解答】（1）證明：∵∠ABE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB，∴，∴AC＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，整理得：AE2＝AD?AB；（2）解：∵BD＝6，∴AB＝BD+AD＝6+AD，由（1）知，AE2＝AD?AB，∴42＝AD（6+AD），解得：AD＝2或AD＝﹣8（不合題意，舍去），∴AD＝2．15．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB?AD，∠ADC＝90°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．（1）求證：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）．【解答】（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB?AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）解：由（1）知：△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴＝＝＝，∴＝．16．（2023秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）我們把頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如下9