第一單元 圓柱與圓錐（易錯梳理）-六年級下冊數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講義 北師大版

??圓柱與圓錐??學(xué)問盤點(diǎn)??學(xué)問點(diǎn)1：面的旋轉(zhuǎn)?留意面的外形不同，快速旋轉(zhuǎn)后形成的立體圖形也不同。1、?留意面的外形不同，快速旋轉(zhuǎn)后形成的立體圖形也不同。2、將一個長方形以長（寬）為軸，快速旋轉(zhuǎn)后可以形成一個圓柱。3、將一個直角三角形沿一條直角邊快速旋轉(zhuǎn)，會形成一個圓錐。??學(xué)問點(diǎn)2：圓柱和圓錐的特征?留意圓柱?留意圓柱有很多條高，圓錐只有一條高。2、圓柱的上、下兩個圓面叫作圓柱的底面，圓柱的曲面叫作圓柱的側(cè)面；圓柱的兩個底面之間的距離叫作圓柱的高。?留意圓柱或圓錐的高都是一條垂直于底面的線段。3、圓錐的圓面叫作圓錐的底面，圓錐的曲面叫作圓錐的側(cè)面；?留意圓柱或圓錐的高都是一條垂直于底面的線段。4、測量圓錐的高的方法：把圓錐放在水平面上，在圓錐的頂點(diǎn)上放一個平面的東西，比如一塊木板，并與底面的平行，測量一下這兩個平面間的距離，這兩個平面間的距離就是圓錐的高。??易錯點(diǎn)剪開圓柱的側(cè)面時肯定要沿高剪開才可以得到一個長方形。5、測量圓柱的高的方法：把圓柱放在水平面上，選一把直尺和一個直角三角板，使圓柱的底面與直尺的0刻度線對齊，使三角板與直尺垂直并靠緊圓柱的底面，此時圓柱的另一個底面對準(zhǔn)的刻度值即是圓柱的高。??學(xué)問點(diǎn)3：圓柱的表面積?易錯點(diǎn)?易錯點(diǎn)在解決圓柱的表面積的問題時，要依據(jù)不同實(shí)物的表面積狀況進(jìn)行計算。圓柱的側(cè)面假如沿高剪開得到一個長方形。長方形的面積=長方形的長×長方形的寬↓↓↓圓柱的側(cè)面積=圓柱的底面周長×圓柱的高用字母表示：S側(cè)=Ch或S側(cè)=πdh或S側(cè)=2πrh2、圓柱的表面積圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個底面積?留意把圓柱剪拼成一個近似的長方體后，它的體積大小不變，表面積增加。?留意把圓柱剪拼成一個近似的長方體后，它的體積大小不變，表面積增加。??學(xué)問點(diǎn)4：圓柱的體積1、意義：圓柱形物體所占空間的大小叫作圓柱的體積。2、圓柱的體積的計算公式。把一個圓柱的底面平均分成若干個相等的扇形，再把這些扇形依據(jù)等分線沿高剪開，等分成若干份，就可以拼成一個近似的長方體。長方體的體積=長×寬×高↓↓↓↓圓柱的體積=底面周長的一半×半徑×高底面積用字母表示：V=S×hV=πr2×h3、求不規(guī)章物體的體積計算不規(guī)章物體的體積，可以借助圓柱形容器和水，給圓柱形容器里裝適量的水，量出水的高度，把不規(guī)章物體放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，這時測量水的高度，上升的水的體積就是不規(guī)章物體的體積。??學(xué)問點(diǎn)5：圓錐的體積1、意義：圓錐形物體所占空間的大小叫作圓錐的體積。2、圓錐的體積公式一個圓錐和一個圓柱的底面積和高都相等，將圓錐形容器裝滿沙子，再倒入圓柱形容器，3次可以倒?jié)M。所以說圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的13。??留意推斷圓柱和圓錐的關(guān)系，肯定要在等底等高的條件下。圓錐的體積=圓柱的體積×1用字母表示：V=13Sh或V=πr2h×??易錯題集合??易錯點(diǎn)1：圓錐的特點(diǎn)?點(diǎn)撥生疏圓錐的基本特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵。典例?點(diǎn)撥生疏圓錐的基本特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵。解析圓錐的高：從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離。圓錐只有一個頂點(diǎn)和一個圓心，所以圓錐只有一條高。解答×?針對練習(xí)1填空：①圓柱上、下兩個底面都是（），而且大?。ǎ?、下底面之間的距離叫作圓柱的（）。②圓錐的底面是（），側(cè)面是一個（）。從圓錐的（）到底面（）的距離是圓錐的高。③圓柱有（）條高，圓錐有（）條高。??易錯點(diǎn)2：依據(jù)圓柱形罐子求包裝盒的長、寬、高典例某種飲料罐的外形為圓柱形，底面直徑為6.5cm，高為11cm。將24罐這種飲料每行擺6罐，擺4行放入箱內(nèi)，這個箱子內(nèi)部的長、寬、高至少是多少？解析箱子中飲料罐每行擺6罐，擺4行，剛好是24罐，說明只擺放了一層，由此可知長方體箱子的長至少相當(dāng)于6個圓柱形飲料罐底面直徑的和，長方體箱子的寬至少相當(dāng)于4個圓柱形飲料罐底面直徑的和，長方體箱子的高至少相當(dāng)于1個圓柱形飲料罐的高。解答6.5×6＝39（cm）6.5×4＝26（cm）答：這個箱子內(nèi)部的長至少是39cm、寬至少是26cm、高至少是11cm。?針對練習(xí)2有一種圓柱形的飲料罐，底面直徑為7厘米，高為12厘米。將20罐這樣的飲料放入一個長方體紙箱內(nèi)（如右圖）。這個長方體紙箱的長、寬、高至少是多少厘米？??易錯點(diǎn)3：實(shí)際問題求解圓柱形物體求表面積?點(diǎn)撥求圓柱形物體的表面積時，易受思維定式的影響，直接用側(cè)面積加兩個底面的面積求解。在解決實(shí)際問題時，要具體問題具體分析。典例?點(diǎn)撥求圓柱形物體的表面積時，易受思維定式的影響，直接用側(cè)面積加兩個底面的面積求解。在解決實(shí)際問題時，要具體問題具體分析。解析題目中重要的信息為：無蓋水桶。從這個信息可以得知一個這樣的水桶所用的鐵皮的面積應(yīng)是圓柱的側(cè)面積加一個底面積。解答3.14×4×5+3.14×（4÷2）2=75.36（平方分米）答：至少需要75.36平方分米的鐵皮。?針對練習(xí)3一個圓柱形的蓄水池，底面周長是25.12米，高是3米，要在蓄水池的四周及底部抹水泥。假如每平方米用水泥20千克，一共需要水泥多少千克？??易錯點(diǎn)4：求圓柱形的物體在平面上滾過的面積?點(diǎn)撥圓柱形的物體在平面上滾一圈，壓過的面積與圓柱的側(cè)面有關(guān)系。典例壓路機(jī)前輪直徑是1.6m，寬是2?點(diǎn)撥圓柱形的物體在平面上滾一圈，壓過的面積與圓柱的側(cè)面有關(guān)系。解析壓路機(jī)推動著前輪碾壓路面，前輪與路面接觸的部分是前輪的側(cè)面，所以求壓路機(jī)前輪轉(zhuǎn)動一周壓路的面積就是求壓路機(jī)前輪的側(cè)面積。解答3.14×1.6×2=10.048（m2）答：壓路的面積是10.048m2。?針對練習(xí)4一臺壓路機(jī)，前輪直徑為1米，寬為1.5米，工作時每分鐘轉(zhuǎn)動20周。這臺壓路機(jī)工作1分鐘，前輪壓過的路面面積是多少平方米？??易錯點(diǎn)5：圓柱形木料鋸成小段表面積增加問題典例把一個底面半徑為2分米、長為1.5米的圓柱形木料鋸成3小段，表面積增加多少平方分米？?點(diǎn)撥每鋸一次將增加兩個底面積，鋸成3段需要鋸兩次，增加了2×2=4（個）底面。?點(diǎn)撥每鋸一次將增加兩個底面積，鋸成3段需要鋸兩次，增加了2×2=4（個）底面。解答3.14×22×4=50.24（平方分米）答：表面積增加50.24平方分米。?針對練習(xí)5把一根直徑是20厘米、長2米的圓柱形木材鋸成同樣4段小圓柱，表面積增加了多少平方厘米？?點(diǎn)撥圓柱的高不變，底面直徑或半徑擴(kuò)大到原來的n倍，那么這個圓柱的體積就擴(kuò)大到原來的n2倍。??易錯點(diǎn)?點(diǎn)撥圓柱的高不變，底面直徑或半徑擴(kuò)大到原來的n倍，那么這個圓柱的體積就擴(kuò)大到原來的n2倍。典例推斷：圓柱的高不變，底面直徑擴(kuò)大到原來的2倍，它的體積就擴(kuò)大到原來的8倍。（）解析直徑擴(kuò)大到原來的2倍，則半徑也擴(kuò)大到原來的2倍，由于S底=πr2，所以底面積就擴(kuò)大到原來的4倍。又由于V=Sh，而高不變，所以它的體積就擴(kuò)大到原來的4倍。解答×?針對練習(xí)6推斷：①一個圓柱的底面積擴(kuò)大3倍，高也擴(kuò)大3倍，它的體積就擴(kuò)大到9倍。（）②圓柱的高擴(kuò)大2倍，體積就擴(kuò)大2倍。（）?點(diǎn)撥物體浸沒在水中，水面上升的體積等于物體的體積。留意物體要完全浸沒在水中。??易錯點(diǎn)7?點(diǎn)撥物體浸沒在水中，水面上升的體積等于物體的體積。留意物體要完全浸沒在水中。典例一個圓柱形容器的底面積直徑是10厘米，水面高5厘米，把一個小鐵塊浸沒在水中，這時水面高7厘米，求出小鐵塊的體積。解析小鐵塊浸沒在水中，水面上升所增加的體積就是小鐵塊的體積，水面上升的部分是一個底面直徑為10厘米，高位2厘米的圓柱，計算出該圓柱的體積就是所求小鐵塊的體積。解答3.14×（10÷2）2×（7-5）=157（立方厘米）答：小鐵塊的體積的體積為157立方厘米。?針對練習(xí)7一個圓柱形水槽的底面半徑是8厘米，水槽中完全浸沒一個鐵塊，當(dāng)鐵塊取出時，水面下降了5厘米，這個鐵塊的體積是多少立方厘米？易錯點(diǎn)8：圓錐體積公式的逆應(yīng)用?點(diǎn)撥圓錐的體積公式是V＝13Sh，在計算式不要遺忘?點(diǎn)撥圓錐的體積公式是V＝13Sh，在計算式不要遺忘1解析要透徹地理解圓錐體積公式的推導(dǎo)過程，圓錐的體積公式是借助圓柱的體積公式得到的，當(dāng)圓錐與圓柱等底等高時，圓錐的體積是圓柱的13。由于圓柱的體積公式是V＝Sh，所以圓錐的體積公式是V＝1解答24×3÷12=6（米）答：這個圓錐的高是6米。?針對練習(xí)8一個圓錐與一個圓柱等底等高，已知它們的體積之和是56立方分米，圓錐、圓柱的體積分別是多少立方分米？?點(diǎn)撥學(xué)會利用題目中給的已知信息推算出你所需要的解題信息。??易錯點(diǎn)9：利用圓錐的體積公式解決實(shí)際問題?點(diǎn)撥學(xué)會利用題目中給的已知信息推算出你所需要的解題信息。典例張大伯家有一堆小麥，堆成了圓錐形，張大伯量得它得底面周長是9.42m，高是2m，著堆小麥得體積是多少立方米？假如每立方米小麥得質(zhì)量為700千克，這堆小麥得質(zhì)量為多少千克？解析先依據(jù)底面周長求出小麥得底面積，再利用圓錐的體積公式求出小麥堆得體積，最終依據(jù)每立方米小麥得質(zhì)量為700千克，求出這堆小麥得總質(zhì)量。解答13×3.14×（9.42÷3.14÷2）2×2=4.71（m34.71×700=3297（千克）答：這堆小麥得質(zhì)量為3297千克。?針對練習(xí)9李師傅要將一堆圓錐形的沙土運(yùn)到建筑工地。量得沙堆底面周長為12.56米，高1.5米，假如用一輛一次能運(yùn)1.3m3的小推車運(yùn)，那么要多少次才能運(yùn)完？?點(diǎn)撥“等積變形”問題即物體的外形發(fā)生了轉(zhuǎn)變，但體積未轉(zhuǎn)變，可依據(jù)前后兩個物體的體積相同來求解未知量。??易錯點(diǎn)10：“等積變形”的應(yīng)用?點(diǎn)撥“等積變形”問題即物體的外形發(fā)生了轉(zhuǎn)變，但體積未轉(zhuǎn)變，可依據(jù)前后兩個物體的體積相同來求解未知量。典例把一個底面直徑是4厘米，高是6厘米的圓柱形鋼材熔鑄成一個底面直徑是8厘米的圓錐形零件，這個圓錐形零件的高是多少厘米？解析將一個圓柱形的鋼材熔鑄成一個圓錐形的零件，其外形發(fā)生了轉(zhuǎn)變，但體積沒有轉(zhuǎn)變，即V圓柱=V圓錐，依據(jù)這個關(guān)系列式求解。解答方法1：V圓柱=3.14×（4÷2）2×6=75.36（立方厘米）V圓柱=V圓錐h圓錐=V圓柱×3÷S圓錐底=75.36×3÷[（8÷2）2×3.14]=4.5（厘米）方法2：解：設(shè)這個圓錐形零件的高是x厘米。3.14×（4÷2）2×6=13×3.14×（8÷2）x=4.5答：這個圓錐形零件的高是4.5厘米。?針對練習(xí)10將一個底面半徑為5厘米，高為2米的圓柱形鋼材熔鑄成一個底面直徑為4分米的圓錐，圓錐有多高？??跟蹤訓(xùn)練一、選擇題1、下圖中，圓錐的體積與圓柱（）的體積相等。2、一個圓柱的底面半徑是2厘米，高是12.56厘米，它的側(cè)面沿高剪開是（）。A、長方形B、正方形C、平行四邊形3、如圖示，把一張長5厘米、寬4厘米的長方形紙分別繞它的長和寬旋轉(zhuǎn)一周，形成兩個圓柱，它們的體積相比，（）。A、第一個大B、其次個大C、一樣大D、不能確定4、甲圓柱的底面直徑是8厘米，高是10厘米；乙圓柱的底面直徑是10厘米，高是8厘米。它們的表面積相比較，（）。A、甲＞乙B、甲=乙C、甲＜乙D、無法確定5．兩個圓柱的底面積相等，高之比是2：3，則體積之比是（）。A、2：3B、4：9C、8：27D、4：6二、填空題1、等體積等底面積的圓錐和圓錐，假如圓柱高為6米，圓錐的高是（）米。2、求壓路機(jī)滾筒滾動一周能壓多少平方米的路面，就是求滾筒的（）。3、一個圓錐的體積是75.36dm3，底面半徑是2dm，高是（）dm。4、（）繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周可以形成圓柱；（）繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周可以形成圓錐。5、有一個底面直徑是10厘米，高20厘米的圓柱，假如把它沿底面直徑垂直切成兩半，表面積增加了（）平方厘米。6、學(xué)校有一個圓柱形的噴水池，它的底面周長是25.12米，它最多能裝25.12平方米的水，這個噴水池深（）米。三、推斷題1、圓柱的側(cè)面開放圖肯定是長方形或正方形。()2、圓柱的高不變，底面直徑擴(kuò)大到原來的5倍，體積也擴(kuò)大到原來的5倍。()3、圓柱的底面直徑可以和高相等。()4、把一個圓柱切成兩部分，它的表面積不變。()5、兩個圓柱的底面積相等，那么它們的側(cè)面積也肯定相等。（）四、按要求完成練習(xí)。1、把第一行圖形沿虛線旋轉(zhuǎn)一周后會得到哪一個圖形？連一連。2、按要求求出下面圖形的表面積或體積。（單位：cm）（1）表面積+體積（2）體積（3）表面積（4）體積五、解決問題1、一根竹筒，從里面量直徑是4厘米，長是10厘米。把大米裝至竹筒的352、一種圓柱形的油桶高48厘米，底面直徑是20厘米，做這個油桶至少要用多少平方厘米的鐵皮？3、一個裝滿糧食的圓錐形屯糧倉，底面直徑是10米，高9米，貨車運(yùn)走13，剩下的用每次能裝7.854、一個無蓋的圓柱形水桶，高是6分米，底面半徑是2分米。（1）這個水桶可以裝多少升的水？（2）假如給這個水桶表面刷上油漆（里外都刷），每平方米用油漆0.5千克，那么粉刷這個水桶大約需要多少千克的油漆？（得數(shù)保留整數(shù)）5、林同學(xué)測量一個土豆的體積，他找來一個底面直徑為10厘米的圓柱形玻璃容器，放入土豆后再注入一些水（完全浸沒），量的水面高度為9厘米。取出土豆后，又量得水面高度為6厘米。這個土豆體積是多少立方厘米？6、把一個底面半徑是6厘米，高是10厘米的圓錐形容器裝滿水，然后把水倒入一個底面半徑是5厘米的圓柱形容器中，求圓柱形容器內(nèi)水面的高度。7、一個裝滿稻谷的糧囤，上面是圓錐形，下面是圓柱形。量得圓柱的底面周長是62.8m，高是2m，圓錐的高是1.2m。這個糧囤能裝稻谷多少立方米？假如每立方米稻谷重500kg，這個糧囤能裝稻谷多少噸？??參考答案??針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1：①圓相等高②圓扇形頂點(diǎn)底面圓心之間③很多1針對訓(xùn)練2：觀看右圖可以看出，紙箱中飲料罐每行擺4罐，擺5行，剛好是20罐，說明只擺放了一層，由此可知長方體紙箱的長至少相當(dāng)于5個圓柱形飲料罐底面直徑的和，長方體紙箱的寬至少相當(dāng)于4個圓柱形飲料罐底面直徑的和，長方體紙箱的高至少相當(dāng)于1個圓柱形飲料罐的高。7×5＝35（厘米）7×4＝28（厘米）答：這個長方體紙箱的長至少是35厘米、寬至少是28厘米、高至少是12厘米。針對訓(xùn)練3：底面積：3.14×(25.12÷3.14÷2)×(25.12÷3.14÷2)=50.24(m2)側(cè)面積：25.12×3=75.36(平方米)一個底面和側(cè)面的面積和：50.24+75.36=125.6(平方米)需要水泥：20×125.6=2512(千克)答：一共需水泥2512千克。針對訓(xùn)練4：3.14×1×1.5×20=94.2（平方米）答：前輪壓過的路面面積是94.2平方米。針對訓(xùn)練5：3.14×（20÷2）2×6=1884（平方厘米）答：表面積比原來增加了1884平方厘米。針對訓(xùn)練6：①√【解析】解：設(shè)這個圓柱原來的底面半徑為“1”。這個圓柱的體積為：π×12×h=πh底面半徑擴(kuò)大3倍后的體積為：π×32×h=9πh9πh÷πh=9即一個圓柱體的底面半徑擴(kuò)大3倍，高不變，體積擴(kuò)大9倍。一個圓的半徑擴(kuò)大n倍（n≠0），依據(jù)圓面積計算公式“S=πr2”，它的面積就擴(kuò)大n2倍，再依據(jù)一個因數(shù)擴(kuò)大或縮小多少倍，另一個因數(shù)不變，其積就擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。②×【解析】圓柱體的體枳是由它的底而積和高兩個條件決左的，髙擴(kuò)大2倍，底而積是否不變這里不明確，假如是底而積縮小2倍，那么體積就不變。針對練習(xí)7：3.14×82×5=1004.8(cm3)答:鐵塊的體積是1205.76cm3?！窘馕觥坑深}意可知,鐵塊的體積等于水下降的體積,已知底面半徑8㎝和水面下降高度5㎝。依據(jù)圓錐體積公式V圓柱=πr2h,計算可得。針對練習(xí)8：圓錐：56÷（1+3）=14（立方厘米）圓柱：14×3=42（立方厘米）答：圓錐體積是14立方厘米，圓柱體積是42立方厘米?！窘馕觥康鹊椎雀邥r圓柱體積是圓錐體積的3倍。針對練習(xí)9：12.56÷3.14÷2=2（米）13×3.14×22×1.5÷1.3≈5答：至少要5次才能運(yùn)完。針對練習(xí)10：2米=200厘米，4分米=40厘米3.14×52×200×3÷[3.14×（40÷2）2]=37.5（厘米）答：圓錐高37.5厘米。??跟蹤訓(xùn)練一、1、B【解析】依據(jù)V圓錐=底面積×高÷3，V圓柱=底面積×高，底面積=πr2V圓錐=32π×15÷3=45πA、V=32π×15=135πB、32π×5=45πC、12π×5=5π2、B【解析】依據(jù)“圓柱的側(cè)面開放后是一個長方形，長方形的長等于圓柱的底面周長，長方形的寬等于圓柱的高”進(jìn)行分析：假如該圓柱側(cè)面開放是正方形，則圓柱的高等于圓柱的底面周長，圓柱的底面是一個圓，依據(jù)“圓的周長=2πr”進(jìn)行解答即可．由題意知，圓柱的底面周長為：2×3.14×2=12.56（厘米），與高12.56厘米相等，所以它的側(cè)面沿高剪開是正方形。3、A【解析】以長為軸得到圓柱的體積：3.14×42×5=251.2(立方厘米)以寬為軸得到圓柱的體積：3.14×52×4=314(立方厘米)，251.2＜314，所以以寬為軸得到圓柱的體積大。4、C【解析】甲：3.14×8×10+3.14×(8÷2)2×2=351.68(平方厘米)乙：3.14×10×8+3.14×(10÷2)2×2=408.2(平方厘米)408.2>351.68所以乙圓柱的表面積大.5、A【解析】圓柱的體積=底面積×高,假如兩個圓柱的底面積相等,高之比是a:b,則體積之比是a:b。兩個圓柱的底面積相等,高之比是2:3,則體積之比是2:3。二、1、18

【解析】設(shè)圓柱與圓錐的底面積是S，體積是V，則圓柱與圓錐的高的比是：VS：3VS2、側(cè)面積3、184、長方形直角三角形5、4006、0.5【解析】依據(jù)圓的周長公式C=2πr，得出r=C÷π÷2，由此求出水池底面的半徑，再依據(jù)圓的面積公式S=πr2求出水池底面的面積，最終依據(jù)圓柱的體積公式V=sh，得出h=V÷s代入數(shù)據(jù)求出高。三、1、×【解析】圓柱體的側(cè)面沿高開放得到的圖形是長方形或正方形，假如不沿高，而是從上底到下底斜著開放得到的是平行四邊形；因此，圓柱的側(cè)面開放圖肯定是長方形或正方形．此說法錯誤。2、×【解析】假設(shè)原來的半徑是R,那么擴(kuò)大到原來的5倍后是5R,求體積時,是用底面積乘以高,而底面積等于圓周率乘以半徑的平方,即V（體積）＝圓周率×（5R）×（5R）×高＝圓周率×25×高,體積擴(kuò)大到了原來的25倍,而不是5倍。3、√4、×5、×