數(shù)學教材梳理：二項分布及其應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學一、條件概率1。設A、B為兩個事件，且P(A）＞0，稱P（B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率.一般把P（A|B)讀作B發(fā)生的條件下A的概率。2.條件概率的性質為:(1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P（B|A）≤1；（2）如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C｜A)=P（B｜A)+P(C｜A）。疑點突破事件B在“事件A已發(fā)生”這個附加條件下的概率與沒有這個附加條件的概率是不同的.深化升華已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生,相當于AB發(fā)生，要求P（B｜A）相當于把A看做新的基本事件空間來計算AB發(fā)生的概率，即P（B|A)=。每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的,而這里所說的條件概率則是當試驗結果的一部分信息已知（即在原隨機試驗的條件下,再加上一定的條件）,求另一事件在此條件下發(fā)生的概率.二、事件的獨立性設A、B為兩個事件，如果P（AB）=P(A)P（B)，則稱事件A與事件B相互獨立如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立。“P(AB）=P（A）P（B）”，說明事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，即P(B|A）=P(B）。一般地，如果事件A1,A2，…，An相互獨立，那么這ｎ個事件都發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)=P（A1）×P（A2）×…×P(An）。同兩事件相互獨立的公式應用前提一樣，這兒也只有當A1,A2,…,An辨析比較事件的“互斥”與“相互獨立”是兩個不同的概念。兩事件“互斥"是指兩事件不可能同時發(fā)生，兩事件“相互獨立”是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.知識拓展1—P（A）×P(B）表示兩個相互獨立事件A、B至少有一個不發(fā)生的概率.三、獨立重復試驗與二項分布1。獨立重復試驗：一般地，在相同條件下重復做的ｎ次試驗稱為ｎ次獨立重復試驗?！霸谙嗤瑮l件下”，是指在ｎ次獨立重復試驗中,各次試驗的結果不會受到其他試驗的影響.ｎ次獨立重復試驗常見的實例有：①反復拋擲一枚均勻硬幣；②正(次）品率的抽樣；③有放回的抽樣；④射手射擊目標命中率已知的若干次射擊。2。二項分布:一般地，在ｎ次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為ｐ，那么在ｎ次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生ｋ次的概率為P（X=k）=pk（1—p）n-k,k=0，1，2,…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布。記作X—B（n，p)，并稱ｐ為成功概率。二項式[（1—p)+p］n的展開式中，第ｋ＋1項為Tk+1=(1-p）n—kpk，可見P（X=k）就是二項式［(1—p）+p］n的展開式中的第ｋ＋1項，故此公式稱為二項分布公式。方法歸納求概率問題時，一般按如下步驟解決：①確定所給事件的性質。歸納為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗中的某一種；②u判斷事件的運算?？词呛褪录?、積事件，確定事件至少有一個發(fā)生還是同時發(fā)生，從而運用相加或相乘的公式；③運用相應的公式求解。問題·探究問題1我們知道，拋擲兩次硬幣,出現(xiàn)一次正面的概率是。那么拋擲100次硬幣一定會出現(xiàn)50次正面嗎？思路:不會.事實上，將一枚硬幣隨機擲100次，相當于重復做了100次試驗，每次有兩個可能結果（出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面）.出現(xiàn)正面的概率為，根據(jù)ｎ次獨立重復試驗中事件發(fā)生ｋ次的概率公式，隨機擲100次正好出現(xiàn)50次正面的概率為P100（50）=（)100≈0.08。這個事件發(fā)生的可能性很小.探究：誤認為“拋擲100次硬幣一定會出現(xiàn)50次正面”，是因為沒有理解“ｎ次獨立重復試驗恰好發(fā)生ｋ次”這一概率模型。這里指的是擲100次硬幣恰好有50次正面，因而它的概率并不等于,應該是擲100次硬幣至少有50次正面的概率為.問題2條件概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率有什么異同？互斥事件和相互獨立事件的區(qū)別是什么？思路:設事件A、B,在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生，等價于事件A和B同時發(fā)生,即AB發(fā)生.但是在相互獨立事件同時發(fā)生的概率中,A、B相互獨立,互不影響,在條件概率中A、B有聯(lián)系,不獨立,即若B發(fā)生，則A一定發(fā)生。互斥事件和相互獨立事件是兩個不同的概念，兩者都是對兩個事件而言的,不同的是：“互斥事件”是說兩個事件不能同時發(fā)生,“相互獨立事件”是說一個事件發(fā)生與否與另一個事件發(fā)生的概率沒有影響。因此，互斥事件和相互獨立事件一定要區(qū)分清楚。探究:相互獨立事件的概率求解一般是應用乘法公式，應用時要注意理解并運用相互獨立事件的性質，如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立。如甲乙兩人獨立解同一道題，甲解決該問題的概率為P1,乙解決該問題的概率為P2,求恰好有1人解決這個問題的概率.我們應明確“恰好有1人解決這個問題”是指一人解出,同時另一人解不出，而兩人解決問題是相互獨立的。可以記甲解決這個問題的事件為A，乙解決這個問題的事件記為B。則所求概率為P（A·+·B）=P(A·）+P（·B）=P(A)P()+P（）P（B)=P1(1—P2）+P2（1—P1）.典題·熱題例1(2005浙江高考)袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p．(1)從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止．①求恰好摸5次停止的概率;②記5次之內（含5次)摸到紅球的次數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列.(2)若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為1∶2，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值．思路分析:由題意知，問題(1)可以看做是一個獨立重復試驗，可能利用獨立重復試驗的概率公式求解;問題（2）屬于一個古典概型問題，可以用古典概型的概率公式解決.解:(1)①×(）2×()2×=.②隨機變量ξ的取值為0，1，2，3.由n次獨立重復試驗概率公式Pn(k)=pk（1-p）n-k，得P（ξ=0)=×(1—)5=，P(ξ=1)=××(1-)4=,P(ξ=2)=×()2×(1—）3=，P(ξ=3)=（）3+（）2··+·（）2·（）2·=或P（ξ=3）=1—P（ξ=0）—P（ξ=1）—P(ξ=2)=1-隨機變量ξ的分布列是Ξ0123P(2)設袋子A中有m個球，則袋子B中有2m個球.由,得p=.方法歸納解決概率問題的關鍵是找出概率類型,所以對各種類型必須熟悉。根據(jù)試驗的特點找出試驗類型，然后采用相應的公式求解.例2在某次考試中,要從20道題中隨機地抽出6道題，若考生至少能答對其中的4道題即可通過;若至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀，已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成績的概率.思路分析:本題屬于條件概率問題.在已知該考生在考試中通過的前提下，獲得優(yōu)秀的概率,所以應根據(jù)條件概率的公式求解.解:設事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題另一道答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題另2道答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀"，則A、B、C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B。由古典概型的概率公式及加法公式可知P（D)=P(A∪B∪C）=P(A）+P(B)+P（C）=；P(AD)=P(A），P(BD）=P(C∪B）；P(E｜D）=P(A∪B|D）=P（A|D)+P(B｜D）=,所以所求的概率為。誤區(qū)警示利用公式P（B∪C|A)=P（B｜A)+P(C｜A）可使求有些條件概率較為簡捷，但應請注意這個性質在“B與C互斥”這一前提下才具備的,因此不要忽視這一條件而亂用這個公式。例3甲乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和,求：（1)兩個人都譯出密碼的概率;（2)兩個人都譯不出密碼的概率；(3）至多1個人譯出密碼的概率；(4）至少1個人譯出密碼的概率。思路分析:我們把“甲獨立地譯出密碼"記為事件A,把“乙獨立地譯出密碼”記為事件B,顯然，A，B為相互獨立事件。問題(1)相當于事件A，B同時發(fā)生，即事件AB.問題（2）相當于事件·.問題（3）“至多1個人譯出密碼"的對立事件是“兩個人都譯出密碼”，即事件AB。問題（4）“至少1個人譯出密碼"的對立事件是“兩個人都未譯出密碼”,即事件·。由于A、B是相互獨立事件，上述問題中,與B，A與,與都是相互獨立事件，可以用公式計算相關概率.解:記“甲獨立地譯出密碼"為事件A，“乙獨立地譯出密碼”記為事件B，A、B為相互獨立事件，且P（A）=，P（B）=。（1）兩個人都譯出密碼的概率為：P（A·B）=P(A）·P（B）=×=.(2）兩個人都譯不出密碼的概率為：P（·)=P（）·P（）=［1-P(A）］×［1—P(B）］=（1-)(1—）=.(3）“至多1個人譯出密碼”的對立事件是“兩個人都譯出密碼”，所以至多1個人譯出密碼的概率為1-P(AB)=1—P（A)P(B）=1—×=.（4）“至少1個人譯出密碼”的對立事件是“兩個人都未譯出密碼”，所以至少1個人譯出密碼的概率為1—P（·)=1-P(）P（）=1—=。方法歸納解答這類概率綜合問題時，一般“大化小”,即將問題劃分為若干個彼此互斥事件,然后運用概率的加法公式和乘法公式來解決。在運用乘法公式時,一定要注意是否滿足彼此獨立，只有彼此獨立才能運用乘法公式。深化升華在求事件的概率時，有時遇到求“至少…”或“至多…”等事件概率的問題，如果從正面考慮這些問題，它們是諸多事件的和或積,求解過程繁瑣，但它們的對立事件卻往往較簡單，其概率也易求,此時,可逆向思維，先求其對立事件的概率,再利用概率的和與積的互補公式，求得原來事件的概率，即正難則反.例4某人射擊5次,每次中靶的概率均為0。9，求他至少兩次中靶的概率.思路分析：至少有兩次中靶包括恰好有2次中靶,恰好有3次中靶，恰好有4次中靶和恰好有5次中靶四種情況.而這些事件是彼此互斥的，而他每次射擊中靶的概率均相等，并且相互之間沒有影響，所以每次射擊又是相互獨立事件，因而他射擊5次是進行5次獨立重復試驗。解：解法一：在5次射擊中恰好有2次中靶的概率為×0.92×0。13;在5次射擊中恰好有3次中靶的概率為×0.93×0。12；在5次射擊中恰好有4次中靶的概率為×0.94×0.1；在5次射擊中5次均中靶的概率為×0.95。至少有2次中靶的概率為×0。92×0。13＋×0。93×0。12+×0.94×0。1＋×0.95=0。0081＋0。0729＋0.32805＋0。59049=0.99954.解法二：至少有2次中靶的對立事件是至多有1次中靶,它包括恰好有1次中靶與全沒有中靶兩種情況，顯然這是兩個互斥事件.在5次射擊中恰好有1次中靶的概率為×0.9×0.14；在5次射擊中全沒有中靶的概率為0。15。所以至少有2次中靶的概率為1—×0.9×0.14—0.15=1-0。00045-0。00001=0。99954。誤區(qū)警示如果我們對獨立重復試驗的意義理解不深刻，很容易得出其概率為×0.92×0.13=0。0081的錯誤結果。究其原因是“至少有2次中靶”這一事件并不是指“有2次中靶，而其余三次不中靶”，因而不能直接運用公式pk（1—p）n-k。該公式僅適用于求某ｎ次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生了ｋ次，而其余的ｎ-ｋ次事件A不發(fā)生的概率，且P（A)=ｐ。例5某廠生產的電子元件，其每件產品的次品率為5％（即每件為次品的概率）.現(xiàn)從一件產品中任意連續(xù)地取出2件，其中次品數(shù)ξ的概率分布是ξ012P請完成上表.思路分析：由于每件產品的次品率為5%，則連續(xù)取出2件就相當于2次獨立重復試驗，即題中次品數(shù)ξ服從二項分布.解：由題意知，ξ-B(2，5％），則P(ξ=0)=（5％）0（95%)2=0.9025,P(ξ=1）=C12（5%)1(95％)1=0.095，P(ξ=2)=（5%）2(95%)0=0.0025。所以，所求隨機變量ξ的分布列為:Ξ012P0。90250.0960.0025深化升華二項分布是一種常見的離散型隨機變量的概率分布,它應用十分廣泛，利用二項分布的模型可以快速地寫出隨機變量的分布列，從而簡化了求隨機變量取每一個具體概率值的過程,因此我們應熟練掌握二項分布。應用二項分布來解決實際問題的關鍵在于在實際問題中建立二項分布的模型,也就是看它是否為ｎ次獨立重復試驗，隨機變量是否為在這ｎ次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布，否則就不服從二項分布.例6某車間有10臺同類型的機床，每臺機床配備的電動機功率為10千瓦，已知每臺機床工作時,平均每小時實際開動12分鐘，且開動與否是相互獨立的,現(xiàn)因電力供應緊張，供電部門只提供50千瓦的電力給這10臺機床，問這10臺機床能夠正常工作的概率是多少?思路分析：50千瓦電力可同時供給5臺機床開動,10臺機床同時開動的臺數(shù)不超過5臺都可以正常工作，而每臺開動與否是相互獨立的,這是獨立重復實驗的問題.解:每臺機床只有“開動”與“不開動”兩種情況，開動的概率為,不開動的概率為1—