數(shù)學(xué)教材梳理分層抽樣

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、分層抽樣的概念當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，不宜用簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣,為了使樣本更能充分地反映總體的情況，應(yīng)將總體分成互不交叉的幾部分,然后按照各部分所占的比例，從各部分中獨立抽取一定數(shù)量的個體，再將各部分抽出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。其中所分成的每一部分叫層.根據(jù)定義可知，分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯的區(qū)別，互不重疊，而層內(nèi)個體間差異很小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體數(shù)在總體中所占的比例抽取，也就是各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例,即。這樣抽取能使所得到的樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)基本相同，可以提高樣本對總體的代表性.深化升華分層抽樣具有以下主要特點：（1）適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；（2）在每一層進行抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣；（3）它能充分利用已掌握的信息，使樣本具有良好的代表性；(4）它也是等可能性抽樣,每個個體被抽到的可能性都是。而且在每層抽樣時，可以根據(jù)具體情況采用不同的抽樣方法.二、分層抽樣的一般步驟分層抽樣的操作步驟是：（1）分層：將總體按某種特征分成若干部分。（2）確定比例：計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比。計算出抽樣比k=（3）確定各層應(yīng)抽取的樣本容量。（4）在每一層進行抽樣(各層分別按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽?。?，綜合每層抽樣，組成樣本.（5)匯合成樣本.學(xué)法一得①分層抽樣時，各部分抽取的個體數(shù)與這一部分個體數(shù)的比等于樣本容量與總體的個體數(shù)的比，每一個個體被抽到的可能性都是相等的；每一層抽樣中采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣。②由于分層抽樣充分利用了我們所掌握的信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法,所以分層抽樣在實踐中有著非常廣泛的應(yīng)用。三、三種抽樣方法的比較在具體情景中，需要我們準(zhǔn)確地選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ㄟM行抽樣。在各種方法間選擇時，要遵循以下原則：（1）若總體由差異明顯的幾個層次組成，則宜用分層抽樣法.當(dāng)抽樣比與各層的個體數(shù)的乘積是整數(shù)時，則該積就是該層的入樣數(shù)；當(dāng)抽樣比與各層的個體數(shù)的乘積不是整數(shù)時，則該積經(jīng)過四舍五入后就是該層的入樣數(shù).(2）若總體中沒有差異明顯的層次，則考慮采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣.①當(dāng)總體容量較小時宜用抽簽法；②當(dāng)總體容量較大,樣本容量較小時宜用隨機數(shù)表法;③當(dāng)總體容量較大,樣本容量也較大時宜用系統(tǒng)抽樣法.三種抽樣方法的優(yōu)、缺點及相互之間的關(guān)系：簡單隨機抽樣：簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，其他的各種隨機抽樣方法中大都會用到它。其優(yōu)點是簡便易行，缺點是當(dāng)容量較大時難于操作，個體差異明顯時所得樣本無代表性.系統(tǒng)抽樣：優(yōu)點是①系統(tǒng)抽樣比其他隨機抽樣方法更容易實現(xiàn)，可節(jié)約抽樣成本.②系統(tǒng)抽樣比簡單隨機抽樣的應(yīng)用范圍更廣。它可以應(yīng)用到個體有自然編號，但總體中個體的數(shù)目卻在抽樣時無法確定的情況（如生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量檢驗）。缺點是系統(tǒng)抽樣所得樣本的代表性和具體的編號有關(guān)（簡單隨機抽樣所得樣本的代表性與個體的編號無關(guān)）。如果編號的個體特征隨編號變化呈現(xiàn)一定的周期性,可能會使系統(tǒng)抽樣的代表性很差.分層抽樣：優(yōu)點是充分利用了已知的總體信息，得到的樣本比前兩種方法有更好的代表性，并且可得到各層的子樣本以顧及各層的信息.簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點是在抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等，體現(xiàn)了這些抽樣方法的客觀性和公平性.其中簡單隨機抽樣是最簡單和最基本的抽樣方法,在進行系統(tǒng)抽樣和分層抽樣時都要用到簡單隨機抽樣的方法，抽樣方法經(jīng)常交叉起來使用.對于個體數(shù)量很大的總體，可采用系統(tǒng)抽樣,系統(tǒng)中每一均衡部分，又可采用簡單隨機抽樣。辨析比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣每個個體被抽取的可能性相同從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體由差異明顯的幾部分組成系統(tǒng)抽樣按簡單隨機抽樣抽取第一個樣本，然后按相同的間隔抽取其他樣本抽取第一個樣本時，采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多典題·熱題知識點一分層抽樣的概念例1某單位有老年人28人，中年人54人,青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況，從他們中抽取容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是（）A.簡單隨機抽樣B。系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D。先從老年人中剔除1人，再用分層抽樣思路解析：由于總體由差異明顯的三部分組成，考慮用分層抽樣.總體總?cè)藬?shù)為28+54+81=163（人).樣本容量為36,若按36︰163取樣本,無法得到整數(shù)解.故考慮先剔除1人，抽取比例變?yōu)?6︰162=2︰9，則中年人取54×=12(人），青年人取81×=18（人），應(yīng)從老年人中剔除1人，老年人取27×=6(人），組成容量為36的樣本.∴應(yīng)選D。答案：D誤區(qū)警示通過以上的實例分析可以感悟到，在具體情景中，需要我們準(zhǔn)確地選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ㄟM行抽樣。各種方法間選擇時，要遵循以下原則：（1)若總體由差異明顯的幾個層次組成,則宜用分層抽樣法.當(dāng)抽樣比與各層的個體數(shù)的乘積是整數(shù)時，則該積就是該層的入樣數(shù)；當(dāng)抽樣比與各層的個體數(shù)的乘積不是整數(shù)時,則該積經(jīng)過四舍五入后就是該層的入樣數(shù)。知識點二分層抽樣的過程與步驟例2選擇合適的抽樣方法抽樣，寫出抽樣過程。（1)30個籃球，其中甲廠生產(chǎn)的有21個，乙廠生產(chǎn)的有9個，抽取10個入樣；（2）有甲廠生產(chǎn)的30個籃球,其中一箱21個，另一箱9個,抽取3個入樣；(3）有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取10個入樣；（4）有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取30個入樣.思路分析：應(yīng)結(jié)合三種抽樣方法的使用范圍和實際情況靈活使用各種抽樣方法解決問題。解：（1）總體由差異明顯的幾個層次組成,需選用分層抽樣法。第一步:確定抽取個數(shù)，30/10=3，所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取21/3=7個，乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取9/3=3個；第二步：用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球7個，乙廠生產(chǎn)的籃球3個。這些籃球便組成了我們要抽取的樣本；（2）總體容量較小,用抽簽法.第一步：將30個籃球編號,編號為00，01,…，29；第二步：將以上30個編號分別寫在一張小紙條上，揉成小球，制成號簽；第三步:把號簽放入一個不透明的袋子中,充分攪勻;第四步:從袋子中逐個抽取3個號簽，并記錄上面的號碼；第五步：找出和所得號碼對應(yīng)的籃球。(3）總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機數(shù)表法.第一步：將300個籃球用隨機方式編號，編號為001,002，…，299；第二步：在隨機數(shù)表中隨機地確定一個數(shù)作為開始,如第8行第29列的數(shù)7開始,任選一個方向作為讀數(shù)方向，比如向右讀；第三步：從數(shù)7開始向右讀，每次讀三位,凡不在001—299中的數(shù)跳過去不讀，遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去,便可依次得到286，211，234,297，207，013,027，086，284，281這10個號碼,這就是所要抽取的10個樣本個體的號碼。(4）總體容量較大,樣本容量也較大，宜用系統(tǒng)抽樣法。第一步：將300個籃球用隨機方式編號，編號為000,001，002，…，299，并分成30段；第二步：在第一段000，001，002，…，009這三個編號中用簡單隨機抽樣抽出一個（如002）作為起始號碼；第三步：將編號為002,012，022，…，292的個體抽出，組成樣本.巧解提示在解決問題的過程中,應(yīng)結(jié)合三種抽樣方法的使用范圍和實際情況靈活使用各種抽樣方法。問題·探究方案設(shè)計探究問題為了考查某校的教學(xué)水平，將抽查這個學(xué)校高三年級的部分學(xué)生的本學(xué)年考試成績進行考查,為了全面地反映實際情況，采取以下三種方式進行抽查:（已知該校高三年級共有20個教學(xué)班，并且每個班內(nèi)的學(xué)生已經(jīng)按隨機方式編好了號,假定該校每班學(xué)生人數(shù)都相同)(1）從全年級20個班中任意抽取一個班,再從該班中任意抽取20人,考察他們的學(xué)習(xí)成績；（2)每個班都抽取1人，共計20人，考察這20個學(xué)生的成績;（3）把學(xué)生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個級別,從其中共抽取100名學(xué)生進行考查。（已知若按成績分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）試探究上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟.探究過程:（1）這三種抽取方式中,其總體都是指該校高三年級全體學(xué)生本年度的考試成績。其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的成績，樣本容量為20；第二種抽取方式中樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的成績，樣本容量為20；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的成績，樣本容量為100；（2）上面三種抽取方式中，第一種方式采用的方法是簡單的隨機抽樣法；第二種方式采用的方法是簡單的隨機抽樣法和系統(tǒng)抽樣法；第三種方式采用的方法是簡單的隨機抽樣法和分層抽樣法;（3）第一種方式抽樣的步驟如下:第一步，在這20個班中用抽簽法任意抽取一個班；第二步,從這個班中按學(xué)號用隨機數(shù)表法或抽簽法抽取20名學(xué)生，考察其考試成績。第二種方式抽樣的步驟如下:第一步，在第一個班中，用簡單的隨機抽樣法任意抽取某一學(xué)生，記其學(xué)號為a；第二步，在其余的19個班中，選取學(xué)號為a的學(xué)生,共計20人。第三種方式抽樣的步驟如下：第一步，分層。因為若按成績分,其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取樣本時，應(yīng)該把全體學(xué)生分成三個層次；第二步，確定各個層次抽取的人數(shù).因為樣本容量與總體的個體數(shù)之比為100∶1000=1∶10，所以在每個層次抽取的個體數(shù)依次為150/10,600/10,250/10，即15，60，25；第三步，按層次分別抽取。在