2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第06講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)(知識+真題+5類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第06講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù) 3高頻考點(diǎn)二：證明唯一零點(diǎn)問題 5高頻考點(diǎn)三：利用最值（極值）研究函數(shù)零點(diǎn)問題 6高頻考點(diǎn)四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題 9高頻考點(diǎn)五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題 12第四部分：典型易錯題型 13備注：函數(shù)零點(diǎn)討論時借助圖象，容易畫錯草圖 13第五部分：新定義題 14第一部分：基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個等價關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．2、函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·乙卷文）函數(shù)存在3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·乙卷文）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．3．（2022·全國·乙卷理）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)典型例題例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；(2)若，判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù).例題2．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，）例題3．（23-24高三上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知曲線C：(1)若曲線C過點(diǎn)，求曲線C在點(diǎn)P處的切線方程；(2)若，討論的零點(diǎn)個數(shù)．練透核心考點(diǎn)1．（2024·湖南·二模）已函數(shù)，其圖象的對稱中心為.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值．(2)在（1）的條件下，若，試探究在上零點(diǎn)的個數(shù)．高頻考點(diǎn)二：證明唯一零點(diǎn)問題典型例題例題1．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時，證明：．(2)若，證明：恰有一個零點(diǎn)．例題2．（23-24高三下·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).例題3．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：有唯一零點(diǎn)．練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).求證:在上存在唯一零點(diǎn).2．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）已知，函數(shù)，.證明：函數(shù)，都恰有一個零點(diǎn).高頻考點(diǎn)三：利用最值（極值）研究函數(shù)零點(diǎn)問題典型例題例題1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例題2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值，求的值；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.例題3．（23-24高二下·貴州黔西·開學(xué)考試）已知在處取得極小值．(1)求的解析式；(2)求在處的切線方程；(3)若方程有且只有一個實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.例題4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù).(1)求在上的最大值；(2)若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，求的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個交點(diǎn)，求的取值范圍．2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．3．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）若函數(shù)在處有極小值．(1)求c的值．(2)函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4．（2023·廣東揭陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性并求極值.(2)設(shè)函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.高頻考點(diǎn)四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題典型例題例題1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍并證明.例題2．（2023·四川·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)令（a為常數(shù)），若有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例題3．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，證明：函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn).例題4．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．練透核心考點(diǎn)1．（2023·四川·三模）已知函數(shù)和函數(shù)，且有最大值為．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，且，證明：．高頻考點(diǎn)五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題典型例題例題1．（23-24高三下·河南信陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題2．（23-24高二下·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不等實(shí)根，求的取值范圍；(3)若，為整數(shù)，且當(dāng)時，恒成立，求的最大值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).2．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若函數(shù)，①求的最小值；②若，且，求證：；(2)若函數(shù)，且有兩個相異的零點(diǎn)，又，求實(shí)數(shù)的取值范圍．第四部分：典型易錯題型備注：函數(shù)零點(diǎn)討論時借助圖象，容易畫錯草圖1．（2023·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有2個不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若恰有2個不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.第五部分：新定義題1．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第06講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 1第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 6高頻考點(diǎn)一：判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù) 6高頻考點(diǎn)二：證明唯一零點(diǎn)問題 11高頻考點(diǎn)三：利用最值（極值）研究函數(shù)零點(diǎn)問題 15高頻考點(diǎn)四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題 24高頻考點(diǎn)五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題 35第四部分：典型易錯題型 41備注：函數(shù)零點(diǎn)討論時借助圖象，容易畫錯草圖 41第五部分：新定義題 43第一部分：基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個等價關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．2、函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·乙卷文）函數(shù)存在3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.2．（2022·全國·乙卷文）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當(dāng)時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.3．（2022·全國·乙卷理）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時,,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn),求的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)典型例題例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；(2)若，判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù).【答案】(1)(2)1個【分析】（1）根據(jù)“凸函數(shù)”定義對函數(shù)求導(dǎo)，由不等式在恒成立即可求得的取值范圍；（2）易知，由導(dǎo)函數(shù)求得其在上的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可知零點(diǎn)個數(shù)為1個.【詳解】（1）由可得其定義域?yàn)?，且，所以，若在上為“凸函?shù)”可得在恒成立，當(dāng)時，顯然符合題意；當(dāng)時，需滿足，可得；綜上可得的取值范圍為；（2）若，可得，所以，令，則；易知在區(qū)間上恒成立，因此可得在上單調(diào)遞減；顯然，；根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得存在使得，因此可知當(dāng)時，，即在上為單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上為單調(diào)遞減；又，顯然在上不存在零點(diǎn)；而，結(jié)合單調(diào)性可得在上存在一個零點(diǎn)；綜上可知，在區(qū)間上僅有1個零點(diǎn).例題2．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)極小值是，無極大值；(2)2【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解極值點(diǎn)，（2）分類討論和上的導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】（1）函數(shù)，；令，即，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取極小值，函數(shù)的極小值是，無極大值；（2），則，令則，由于時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，因此存在唯一的，使得，故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)的遞增，時，，此時單調(diào)遞減，綜上可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時，，因此與軸有兩個不同的交點(diǎn)，故在上的零點(diǎn)個數(shù)為2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實(shí)根的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個；(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.例題3．（23-24高三上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知曲線C：(1)若曲線C過點(diǎn)，求曲線C在點(diǎn)P處的切線方程；(2)若，討論的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得切線斜率，然后由點(diǎn)斜式得切線方程并化簡；（2）先求得，得的單調(diào)性，然后討論的正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)個數(shù)．【詳解】（1）依題意得，，此時，，則切線斜率為，故切線方程：，即.（2），令得，令得，令得．減區(qū)間為，增區(qū)間為，∴．當(dāng)時，，∴，∴在上有且僅有一個零點(diǎn)．當(dāng)時，令，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，又，∴在上有一個零點(diǎn)，又令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上有一個零點(diǎn)．綜上所述，時，有一個零點(diǎn)，時，有2個零點(diǎn).練透核心考點(diǎn)1．（2024·湖南·二模）已函數(shù)，其圖象的對稱中心為.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由的圖象關(guān)于對稱，得到，列出方程組即可求解；（2）由（1）得到函數(shù)的解析式，求出，利用判斷根的情況，分類討論確定零點(diǎn)的個數(shù).【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故為奇函數(shù)，從而有，即，，，所以，解得，所以；（2）由（1）可知，，，，①當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；②當(dāng)時，，，有兩個正根，不妨設(shè)，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；③當(dāng)時，，令，解得或，有兩個零點(diǎn)；④當(dāng)時，，，有一個正根和一個負(fù)根，不妨設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有一個零點(diǎn).2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值．(2)在（1）的條件下，若，試探究在上零點(diǎn)的個數(shù)．【答案】(1)(2)只有1個零點(diǎn)【分析】（1）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）由（1）知，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】（1）解：由，得，則有所以切線方程為．又因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以．（2）由（1）知，則．令，則．當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以．所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上存在零點(diǎn)，且只有一個零點(diǎn)．當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，，，所以存在，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減．而，所以在上無零點(diǎn)．綜上，在上只有1個零點(diǎn)．高頻考點(diǎn)二：證明唯一零點(diǎn)問題典型例題例題1．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時，證明：．(2)若，證明：恰有一個零點(diǎn)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到在上單調(diào)遞增，再由，即可證明；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，即在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，即可證明.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，．?dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，．（2）．令，則．令，則．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋郧∮幸粋€零點(diǎn)，則恰有一個零點(diǎn)．例題2．（23-24高三下·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，分和討論的單調(diào)性，并保證在內(nèi)有唯一零點(diǎn)即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)確定在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】（1），當(dāng)時，，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時，與在上分別單調(diào)遞增，顯然在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，得，此時在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在內(nèi)有唯一極小值點(diǎn)，符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，，，∴在上，∴在上單調(diào)遞增，∵當(dāng)時，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，單調(diào)遞減,當(dāng)時，單調(diào)遞增，∵當(dāng)時，，∴，又∵，∴在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即在內(nèi)有唯一零點(diǎn).例題3．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：有唯一零點(diǎn)．【答案】(1)1(2)證明見詳解【分析】（1）易判斷單調(diào)遞增，令，即可得，令即可求；（2）由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)遞增，即可得證.【詳解】（1）由易判斷在單調(diào)遞增，且，，所以可令，得，所以，由題意，即，所以；（2），則，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，結(jié)合（1）可得存在唯一，使得，即函數(shù)有唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題（1）的關(guān)鍵是通過同構(gòu)得出；（2）的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性.練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).求證:在上存在唯一零點(diǎn).【答案】證明見解析【分析】求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)情況.【詳解】設(shè)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，命題得證．2．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）已知，函數(shù)，.證明：函數(shù)，都恰有一個零點(diǎn).【答案】證明見解析【分析】先求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，然后利用零點(diǎn)存在定理來證明即可.【詳解】證明：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，時，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，時，，，，函數(shù)恰有一個零點(diǎn).函數(shù)的定義域?yàn)椋瑫r，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，，，令（表示中最大的數(shù)），，函數(shù)恰有一個零點(diǎn).高頻考點(diǎn)三：利用最值（極值）研究函數(shù)零點(diǎn)問題典型例題例題1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為：和，單調(diào)遞減區(qū)間為：(2)或【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并化簡為，，再討論的取值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)，從而求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?/p>

令，得或，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：和，單調(diào)遞減區(qū)間為：（2）①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故只有一個極小值點(diǎn)，與條件矛盾，故舍去．

②當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有兩個極值點(diǎn)a和，與條件相符．

③當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有兩個極值點(diǎn)a和，與條件相符．

④當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，舍去．

⑤當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故只有一個極大值點(diǎn)，與條件矛盾，故舍去．

綜上可得：或例題2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值，求的值；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用極值點(diǎn)的意義得到，從而求得，再進(jìn)行驗(yàn)證即可得解；（2）分類討論的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)得到的性質(zhì)，從而得到且，解之即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，符合題意，故.（2）由，其中，當(dāng)時，可得，單調(diào)遞增，此時函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，最大值為，又，且當(dāng)時，，所以要使得函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題3．（23-24高二下·貴州黔西·開學(xué)考試）已知在處取得極小值．(1)求的解析式；(2)求在處的切線方程；(3)若方程有且只有一個實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出，由題意可的，由此即可求出答案；（2）分別求出，的值，再利用點(diǎn)斜式寫出直線；（3）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有且只有一個交點(diǎn)，求出函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，因?yàn)樵谔幦〉脴O小值則，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以，所以（2）由題意知，，所以所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率所以切線方程為：，即.（3）令，解得或，則，，的關(guān)系如下表：+00+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增則，，方程有且只有一個實(shí)數(shù)根等價于有且只有一個實(shí)數(shù)根，等價于函數(shù)與有且只有一個交點(diǎn)，即或，解得：或，所以.例題4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù).(1)求在上的最大值；(2)若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值及端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最大值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再結(jié)合題意列出不等式組即可得解.【詳解】（1），可知時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，由，，；（2），當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)橛腥齻€零點(diǎn)，所以，即，解得，故的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，對任意的恒成立，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得解；（2）令，分析可知，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由已知可得，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以對任意的恒成立，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，解得，故實(shí)數(shù)的最小值為.（2）解：，令，可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與有且只有一個交點(diǎn)，令，則函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點(diǎn)，則，令，解得或，令，解得，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為，極小值為，的圖象如下所示：由圖可知，當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，計算出切點(diǎn)及斜率，寫出直線方程即可;（2）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間以及極值，要使函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，只需滿足計算即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，．所以，，所以切線l：，即（2）令，得或．當(dāng)或時，；當(dāng)時，．∴的增區(qū)間為，；減區(qū)間為．∴的極大值為，的極小值為．∴，解得：．此時，，所以函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，所以．3．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）若函數(shù)在處有極小值．(1)求c的值．(2)函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)在處取到極值的必要不充分條件，從而求出c值，再對c進(jìn)行檢驗(yàn)即可求出結(jié)果．（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，通過極值的范圍求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在處有極小值，所以，解得或，當(dāng)時，，則時，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得函數(shù)在處取得極小值；當(dāng)時，，則時，，時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在處取得極大值，不合題意，舍去．所以c的值為3.（2），函數(shù)定義域?yàn)镽，，當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞增，時，有一個零點(diǎn)-1；時，，，恰有一個零點(diǎn).當(dāng)時，解得或，解得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，有極大值，時，有極小值，恰有一個零點(diǎn)，或解得，綜上可知，函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.4．（2023·廣東揭陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性并求極值.(2)設(shè)函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值；(2).【分析】（1）求出，然后可得單調(diào)性和極值；（2），然后求出當(dāng)時的單調(diào)性，要使函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，則有，解出，然后證明即可.【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時，，所以當(dāng)或時，在上單調(diào)，至多只有一個零點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，則有，由可得，下面證明當(dāng)時，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.高頻考點(diǎn)四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題典型例題例題1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍并證明.【答案】(1)有且僅有一個零點(diǎn)(2)，證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及零點(diǎn)的存在性定理求解；（2）根據(jù)題意可得有兩個不同實(shí)根，進(jìn)而可得，兩式相加得，兩式相減得，從而有，進(jìn)而要證，只需證，即證，構(gòu)造函數(shù)即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以函?shù)有且僅有一個零點(diǎn).（2）方程有兩個不同實(shí)根，等價于有兩個不同實(shí)根，得，令，則，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，由，得當(dāng)時，；當(dāng)?shù)拇笾聢D象如圖所示，

所以當(dāng)，即時，有兩個不同實(shí)根；證明：不妨設(shè)且兩式相加得，兩式相減得，所以，要證，只需證，即證，設(shè)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，原命題得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問考查極值點(diǎn)偏移問題，常用解決策略是根據(jù)，兩式相加相減，進(jìn)而可得，進(jìn)而要證，只需證，即證，從而將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，令，討論該函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明.例題2．（2023·四川·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)令（a為常數(shù)），若有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意分析可得有兩解，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合圖像分析求解.【詳解】（1）由題意可知：的定義域?yàn)椋?，令，解得；令，解得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由題意可知：，其定義域?yàn)?，則有兩個零點(diǎn)，即有兩解，即有兩解，令，則.令，解得；令，解得；則的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，可知，又因?yàn)?，且?dāng)趨近于，趨近于0，要使得有兩解，只需，所以，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.例題3．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，證明：函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）當(dāng)時，由可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，所以，，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：當(dāng)時，且當(dāng)時，由，可得，令，其中，則，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的最小值為，如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點(diǎn)，故當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點(diǎn)，此時，函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn).例題4．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)極小值，無極大值.(2)當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時，函數(shù)有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有2個零點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)題意得出，然后分別令以及，通過計算即可得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出結(jié)果；（2）可將轉(zhuǎn)化為，記，求出函數(shù)的單調(diào)性以及最值，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及最值，然后數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，，令，則；令，則；故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)取極小值，無極大值.（2）令，因?yàn)?，所以，記，有，令，則；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，因此當(dāng)時，直線與的圖像沒有交點(diǎn)；當(dāng)或時，直線與的圖像有1個交點(diǎn)；當(dāng)時，直線與的圖像有2個交點(diǎn).綜上：當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時，函數(shù)有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有2個零點(diǎn).練透核心考點(diǎn)1．（2023·四川·三模）已知函數(shù)和函數(shù)，且有最大值為．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，且，證明：．【答案】(1)1(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的單調(diào)性得到最大值為，然后列方程求解即可；（2）根據(jù)交點(diǎn)情況得到，然后再結(jié)合的單調(diào)性即可得到，即可證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，且，，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；所以，所以，解得，又，所以a＝1.（2）證明：由（1）可知：在遞增，在遞減，又，所以在遞增，在遞減，和的圖象如圖所示：

設(shè)和的圖象交于點(diǎn)A，則當(dāng)直線y＝m經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y＝m與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，則，且，，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，且在遞增，所以，所以，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，，且在遞減，所以，所以，所以，即．【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)問題：（1）轉(zhuǎn)化為方程的根；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2．（23-24高二下·貴州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)令函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)k使得沒有零點(diǎn)？若存在，請求出實(shí)數(shù)k的范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，；(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)在的值為0可得答案；（2）分別令，可得答案；（3）利用單調(diào)性求出函數(shù)的極值，畫出大致圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)可得答案．【詳解】（1），因?yàn)榍€在點(diǎn)處取得極值，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）由（1），，當(dāng)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；（3）存在，理由如下，由（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；所以，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得的大致圖象如下，

若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)沒有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合可得答案.3．（23-24高二下·重慶沙坪壩·期末）已知函數(shù)（）．(1)當(dāng)時，過點(diǎn)作的切線，求該切線的方程；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)，求出切點(diǎn)，即可得解；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象僅有兩個交點(diǎn)，求的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，即，所以，所以切線方程為，即；（2）由，得，令，則，令得，令得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)趨向于時，趨向，當(dāng)趨向于時，趨向，作出函數(shù)的圖象和直線，如圖示，在定義域內(nèi)有且僅有兩個零點(diǎn),即和有且只有兩個交點(diǎn)，由圖象知，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.4．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上的最小值為．(1)求a的值；(2)若函數(shù)有3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求導(dǎo)，再對分四種討論，求出函數(shù)的單調(diào)性即得解；（2）由（1），可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，結(jié)合函數(shù)圖象可得答案.【詳解】（1）由,,

當(dāng)時,在上恒大于等于0,所以在上單調(diào)遞增,,不合題意；當(dāng)時,則時,,單調(diào)遞減；時,,單調(diào)遞增,所以,,所以,不滿足；當(dāng)時,在上,且不恒為0,所以在上單調(diào)遞減,,適合題意；當(dāng)時,在上,,所以在上單調(diào)遞減,,所以,不滿足；綜上,．（2）由（1）,所以,令,則,

所以,且當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以極小值為,極大值為,

如圖：當(dāng)時,函數(shù)有3個零點(diǎn)．高頻考點(diǎn)五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題典型例題例題1．（23-24高三下·河南信陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)定義域可化簡函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，即求的解集即可，而，所以解集為．（2）引入隱零點(diǎn)x0，利用導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最后得到的范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)椤喈?dāng)時，，令，．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，則不等式的解集為．（2）當(dāng)時，，令，恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一的使，且，所以當(dāng)時，，由，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，由，（分開考慮導(dǎo)函數(shù)符號）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，由題意則，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，此時，即，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是構(gòu)造新的函數(shù)，并利用隱零點(diǎn)法求解的范圍..例題2．（23-24高二下·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不等實(shí)根，求的取值范圍；(3)若，為整數(shù)，且當(dāng)時，恒成立，求的最大值.【答案】(1)見解析(2)(3)2【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論和兩種情況，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）方程，轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合，求參數(shù)的取值范圍；（3）首先參變分離為，再令，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)的最小值的取值范圍，即可求解的最大值.【詳解】（1），若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，若，，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，綜上可知，時，的增區(qū)間是，當(dāng)時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）方程，顯然當(dāng)時，方程不成立，則，，若方程有兩個不等實(shí)根，即與有2個交點(diǎn)，，當(dāng)時，，在區(qū)間和單調(diào)遞減，并且時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，當(dāng)時，取得最小值，，如圖，函數(shù)的圖象，與有2個交點(diǎn)，則；（3）當(dāng)時，，，所以，當(dāng)時，，，令，，則，由（1）可知，在單調(diào)遞增，而且，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，即在上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，所以整數(shù)的最大值為2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問和第三問的關(guān)鍵是運(yùn)用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)