人教版2024-2025學年八年級數(shù)學專題13.6軸對稱(壓軸題綜合測試卷)專題特訓(學生版+解析)

專題13.6軸對稱學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2024八年級·全國·競賽）如圖，圖案是由一個窗花通過軸對稱變換而形成的，則變換次數(shù)最多和最少分別是（

）．A．5，3 B．8，4 2．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若原來點A的坐標是a,b，則經(jīng)過第2019次變換后，所得A點的坐標是（

）A．a(chǎn),?b B．?a,?b C．?a,b D．a(chǎn),b3．（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）若點P關于x軸的對稱點為P1(2a+b,?a+1)，關于y軸的對稱點為P2(4?b,b+2)，則A．(9,3) B．(?9,3) C．(9,?3) D．(?9,?3)4．（23-24八年級上·福建福州·單元測試）△ABC中，AB=AC=12cm，P在線段BC上，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，若它一腰上的高與另一腰所成的銳角等于60°，則PE+PD的值為（

A．3cm B．6cm C．9cm 5．（2024·湖南婁底·模擬預測）如圖，在銳角△ABC中，AB=15,△ABC的面積為90，BD平分∠ABC，若E、F分別是BD、BC上的動點，則CE+EF的最小值為（

）A．12 B．15 C．18 D．96．（23-24八年級上·遼寧大連·期末）△ABC在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線相交于P點，若∠AEB=32∠EAC=32A．12α B．α C．90°?17．（23-24八年級上·廣東·單元測試）如圖，已知：∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1BA．6 B．12 C．32 D．648．（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結AD、BE和CF交千點P，則以下結論中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④PB+PC+PD=BE．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點，且DA=DB，E為△ABC外一點，BE=AB且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，有下列結論：①∠DAC=∠DBC②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1．其中正確結論的個數(shù)為（A．1 B．2 C．3 D．410．（23-24八年級上·湖北荊門·期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D為AB的中點，P為CD上一點，E為BC延長線上一點，且PA=PE．則下列結論：①∠PAD+∠PEC=30°，②△PAE為等邊三角形；③PD=CE?CDA．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④評卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（24-25八年級上·江蘇泰州·階段練習）如圖，點A、B、C都在方格紙的格點上，請你再找一個格點D，使點A、B、C、D組成一個軸對稱圖形，這樣的格點D有個．12．（23-24八年級上·河南安陽·階段練習）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于F，E點．若點D為BC邊的中點，點P為線段EF上一動點，則△PBD周長的最小值為．13．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，∠AOB=18°，點M、N分別是邊OA、OB上的定點，P、Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當MP+PQ+QN最小時，則β?α=．14．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為0，8，點B為x軸上一動點，以AB為邊在直線AB的右側作等邊三角形ABC．若點P為OA的中點，連接PC，則PC的長的最小值為15．（23-24八年級上·山東濱州·期中）如圖，已知點B是AC邊上的動點（不與A,C重合），在AC的同側作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE,CD，下列結論正確的是（填序號）①△ABE≌△DBC；②∠CHE=60°；③GF∥AC；④△BFG是等邊三角形；⑤HB平分∠AHC；⑥AH=DH+BH；⑦CH=BH+EH；⑧∠HGF=∠HBF；⑨評卷人得分三、解答題（本大題共8小題，滿分55分）16．（6分）（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC于點D，過B作BF⊥AD，垂足為F，延長BF交AC于點E．（1）求證：△ABE為等腰三角形；（2）已知AC=16，BD=3，求AB的長．17．（6分）（24-25八年級上·江蘇揚州·月考試題）如圖，在10×8的方格圖中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，每個小正方形的頂點叫做格點．已知△ABC的三個頂點在格點上．（1）畫出△A'B'C（2）在直線m上找一點D，使得△BCD的周長最??；（保留作圖痕跡）（3）延長BC交直線m于E，若△BEF是以BE為底邊的等腰三角形，那么圖中這樣的格點F共有_______個．18．（6分）（24-25八年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點，DM與EN相交于點F．（1）若∠ACB=110°，則∠MCN的度數(shù)為；（2）若∠MCN=α，求∠MFN的度數(shù)；（用含α的代數(shù)式表示）（3）連接FA、FB、FC，△CMN的周長為6cm，△FAB的周長為14cm，求19．（6分）（2024八年級上·全國·專題練習）如圖1，等邊△ABC，延長AB至點D，使BD=AB，連接CD，點E是CD邊上任意一點，以AE為邊作等邊△AEF，連接DF．（1）試判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若點E在CD的延長線上，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．20．（6分）（23-24七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實踐】如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．（1）【初步把握】如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數(shù)量關系是；（2）【深入研究】如圖2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數(shù)量關系及位置關系，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，直線l1⊥l2，垂足為點O，l2上有一點M在點O右側且OM=4，點N是l1上一個動點，連接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，連接21．（8分）（23-24八年級下·吉林·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=BC=18cm，點D在AC上，CD=8cm．點M在線段CB上由點C向點B運動，點N在線段BA上由點B向點A運動，運動速度均為（1）當運動2秒時，∠DMN（2）開始運動幾秒時，△BMN是直角三角形？（3）若點M和點N在到達終點后不停止運動，而是沿著△ABC的三邊順時針繼續(xù)運動，直到回到出發(fā)點后停止，直接寫出：線段MN與△ABC的某一邊平行時的時間．22．（8分）（23-24八年級上·湖北荊門·期末）如圖,等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A、B分別在坐標軸上．（1）如圖1，若C點的橫坐標為5，求B點坐標；（2）如圖2，將△ABC擺放至x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點M，過C點作CD⊥x軸于D點，求CDAM（3）如圖3，若點A坐標為?4,0，分別以OB，AB為直角邊在第一、第二象限作等腰直角△BOF與等腰直角△ABE，連接EF交y軸于P點．當B點在y軸正半軸上移動時，下列兩個結論：①PB的長不變；②23．（9分）（23-24八年級上·重慶大足·期末）在△ABC和△CDE中，BC=CD，連接BD，BD恰好平分∠ABC．

（1）如圖1，當∠ABC=60°時，求（2）如圖2，在射線BD上存在一點F，使∠FCE+∠ABC=180°，連接CF．當∠ABC=120°（3）如圖3，在（2）問的條件下，連接EF并延長，分別交AB，CD于點M，N，若MN=23，AB=BC，P，Q分別為AC和DC上的動點，請直接寫出△FPQ周長的最小值專題13.6軸對稱學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2024八年級·全國·競賽）如圖，圖案是由一個窗花通過軸對稱變換而形成的，則變換次數(shù)最多和最少分別是（

）．A．5，3 B．8，4 【思路點撥】本題考查了軸對稱變換，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可求解，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．【解題過程】解：每次變換一個窗花，需9次；先變換1個，接著2個，再4個，最后2個，共4次；∴變換次數(shù)最多和最少分別是9，故選：C．2．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若原來點A的坐標是a,b，則經(jīng)過第2019次變換后，所得A點的坐標是（

）A．a(chǎn),?b B．?a,?b C．?a,b D．a(chǎn),b【思路點撥】本題考查了軸對稱的坐標變換，點的坐標變換規(guī)律探究，讀懂題目信息，觀察出每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵，也是本題的難點．觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2019除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點A所在的象限，然后解答即可．【解題過程】解：點A第一次關于x軸對稱后在第四象限，所得A點的坐標是a,?b；點A第二次關于y軸對稱后在第三象限，所得A點的坐標是?a,?b；點A第三次關于x軸對稱后在第二象限，所得A點的坐標是?a,b；點A第四次關于y軸對稱后在第一象限，即點A回到原始位置，所得A點的坐標是a,b；所以，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵2019÷4=504余3，∴經(jīng)過第2019次變換后所得的A點與第三次變換的位置相同，在第二象限，坐標為?a,b．故選：C．3．（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）若點P關于x軸的對稱點為P1(2a+b,?a+1)，關于y軸的對稱點為P2(4?b,b+2)，則A．(9,3) B．(?9,3) C．(9,?3) D．(?9,?3)【思路點撥】本題考查平面直角坐標系關于坐標軸成軸對稱的兩點的坐標之間的關系，根據(jù)這種關系轉化為方程組的問題．點P關于x軸的對稱點為P1(2a+b,?a+1)，則點P的坐標是(2a+b,a?1)，點P關于y軸的對稱點為P2(4?b,b+2)，則的P的坐標是(b?4,b+2)，因而就得到關于a，b的方程組，從而求出a，【解題過程】解：點P關于x軸的對稱點為P1(2a+b,?a+1)，則點P的坐標是(2a+b,a?1)，點P關于y軸的對稱點為P2(4?b,b+2)，則的根據(jù)題意得：2a+b=b?4a?1=b+2解得：a=?2b=?5∴P點的坐標為(?9,?3)．故選：D．4．（23-24八年級上·福建福州·單元測試）△ABC中，AB=AC=12cm，P在線段BC上，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，若它一腰上的高與另一腰所成的銳角等于60°，則PE+PD的值為（

A．3cm B．6cm C．9cm 【思路點撥】本題考查了30°的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，分一腰上的高在外部和內(nèi)部討論即可．【解題過程】解：當一腰上的高在外部時，如圖，連接AP，

由題意知：∠ABH=60°，BH⊥AC，∴∠BAH=30°，∴BH=1∵S△ABC∴12∴PE+PD=6cm當一腰上的高在內(nèi)部時，如圖，連接AP，

由題意知：∠ABH=60°，BH⊥AC，∴∠BAH=30°，∴BH=1∵S△ABC∴12∴PE+PD=6cm綜上，PE+PD=6cm故選：B．5．（2024·湖南婁底·模擬預測）如圖，在銳角△ABC中，AB=15,△ABC的面積為90，BD平分∠ABC，若E、F分別是BD、BC上的動點，則CE+EF的最小值為（

）A．12 B．15 C．18 D．9【思路點撥】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握“將軍飲馬”模型是解題的關鍵．如圖：在BA上取一點G，使BG=BF，連接CG，EG，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF=CE+EG≥CG≥CH得到CE+EF的最小值為CH的長，再求出【解題過程】解：如圖：在BA上取一點G，使BG=BF，連接CG，EG，作CH⊥AB于∵BD平分∠ABC，∴直線BD是∠ABC的對稱軸，∴EG=EF，∴CE+CF=CE+EG≥CG≥CH，∴CE+EF的最小值為CH的長，∵AB=15，△ABC的面積為90，∴12AB?CH=1∴CE+EF的最小值為：12．故選：C．6．（23-24八年級上·遼寧大連·期末）△ABC在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線相交于P點，若∠AEB=32∠EAC=32A．12α B．α C．90°?1【思路點撥】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．連接AP，延長BP交AC于D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證得∠ABP=∠BAP，∠ACP=∠CAP，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出∠BAE．【解題過程】解：連接BP，CP，∵∠AEB=3∴∠EAC=α，∵∠AEB=∠EAC+∠ACE，∴∠ACE=∠AEB?∠EAC=∵點P是AB，AC的垂直平分線的交點，∴PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP，∠ACP=∠CAP=α，∠CBP=∠BCP=∠ACP?∠ACB=α?1設∠ABP=∠BAE=x，∴∠ABC=∠ABP?∠BPC=x?12∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴x?∴x=90°?1即∠BAE=90°?故選：C．7．（23-24八年級上·廣東·單元測試）如圖，已知：∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1BA．6 B．12 C．32 D．64【思路點撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A【解題過程】解：如圖，∵△A∴A1B1∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°?120°?30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°?60°?30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA∴A2∵△A2B∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2∴A3A4A以此類推：A6故選：C．8．（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結AD、BE和CF交千點P，則以下結論中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④PB+PC+PD=BE．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】證明△ABD≌△CBFSAS，△ACD≌△BCESAS，可得∠BAD=∠BCF，∠CAD=∠CBE，進一步可判斷①②，證明∠APC=60°，求出∠BPC=120°，進一步可判斷③，在PA上截取PG=PB，連接BG，證明∠BGA=∠BPC=120°，再證△BAG≌△BCPAAS，可得PC=GA【解題過程】解：∵△ABC，△BDF是等邊三角形，∴BA=BC，BD=BF，∠ABC=∠DBF=60°，∴∠ABD=∠CBF，∴△ABD≌△CBFSAS∴∠BAD=∠BCF，AD=CF，同理可得△ACD≌△BCESAS∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，∠BEC=∠ADC，∴AD=BE=CF，故①②符合題意；∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠CBE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=120°，∴∠BPA=60°=∠DPE，同理可得∠APC=60°，∴∠BPC=120°，∠EPC=60°，∴∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，故③符合題意；如圖，在PA上截取PG=PB，連接BG，∴△BPG是等邊三角形，∴∠BGP=60°，∴∠BGA=120°，∴∠BGA=∠BPC，又∵∠BAG=∠BCP，AB=CB，∴△BAG≌△BCPAAS∴PC=GA，∴PA=PG+GA=PB+PC，∵AD=BE，∴PB+PC+PD=PA+PD=AD=BE；故④符合題意；故選D9．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點，且DA=DB，E為△ABC外一點，BE=AB且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，有下列結論：①∠DAC=∠DBC②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1．其中正確結論的個數(shù)為（A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定的應用．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到等邊三角形的邊角關系，然后利用“邊邊邊”證明△ACD≌△BCD，從而可證明結論①正確；利用“邊角邊”證明△BED≌△BCD，從而可證明結論③正確；利用平行線的性質(zhì)得出∠DAC=∠ECA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ECA=∠DBC=∠DBE=15°，求得∠CBE=30°，則可證明BE是AC的中垂線，再根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)求出△EBC中BE邊上的高，即可求得S△EBC=1，即結論④正確；證明△ACD≌△BED，則有∠EBD=∠CAD，根據(jù)對頂角相等有∠AON=∠BOD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ANB=∠ADB，若BE⊥AC，則∠ANB=∠ADB=90°【解題過程】解：如圖，連接DC，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，∵DB=DA，DC=DC，∴△ACD≌△BCDSSS∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=30°∴結論①正確；∵BE=AB，∴BE=BC，∵∠EBD=∠CBD，BD=BD，∴△BED≌△BCDSAS∴∠DEB=∠BCD=30°．∴結論③正確；∵EC∥AD，∴∠DAC=∠ECA，∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，∴設∠ECA=∠DBC=∠DBE=x，∵BE=BA，∴BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=60°+x，∴2x解得：x=15°，∴∠CBE=30°，∴∠ABE=60°?∠CBE=30°，∴BE是AC的中垂線∵BC=BE=2，∠CBE=30°，∴BE邊上的高為12∴S△EBC∴結論④正確；∵△ACD≌△BCD，△BED≌△BCD，∴△ACD≌△BED，∴∠EBD=∠CAD，又∵∠AON=∠BOD，若BE⊥AC，則∠ANB=∠ADB=90°，而∠ADB不一定等于90°，故結論②錯誤；故①③④正確，共3個結論正確，故選C．10．（23-24八年級上·湖北荊門·期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D為AB的中點，P為CD上一點，E為BC延長線上一點，且PA=PE．則下列結論：①∠PAD+∠PEC=30°，②△PAE為等邊三角形；③PD=CE?CDA．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【思路點撥】連接BP，由等腰三角形的性質(zhì)和線段的中垂線性質(zhì)即可判斷①；由三角形內(nèi)角和定理可求∠PEA+∠PAE=120°，可得∠APE=60°，可判斷②；過點A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由“SAS”可證△HAC≌△∠EAC，延長PD至H，使PD=HD，則點P關于AB的對稱點H，連接HA，根據(jù)對稱性質(zhì)即可判斷③；過點A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由三角形的面積的和差關系可判斷④．【解題過程】解：如圖，連接BP，∵AC=BC，∠ABC=30°，點D是∴∠CAB=∠ABC=30°，AD=BD，CD⊥AB，∴CD是AB的中垂線，∴AP=BP，而AP=PE，∴AP=PB=PE，∴∠PAB=∠PBA，∠PEB=∠PBE，∴∠PBA+∠PBE=∠PAB+∠PEB，∴∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，故①正確；∵PA=PE，∴∠PAE=∠PEA，∵∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，∴∠PAE+∠PEA=180°?60°=120°，∴∠APE=60°而PA=PE，∴△PAE是等邊三角形，故②正確；如圖，延長PD至H，使PD=HD，則點P關于AB的對稱點為H，連接HA，∴AP=AH，∵△PAE是等邊三角形，∴AE=AP，∴AE=AH，∵∠CAD=∠CAP+∠PAD=30°，∴2∠CAP+2∠PAD=60°，∴∠CAP+∠PAD+∠HAD=60°?∠PAC，∴∠EAC=60°?∠PAC，∴∠HAC=∠EAC，∵AC=AC，∴△HAC≌△∠EACSAS∴CH=CE，∴CE=CH=CP+PD+DH=CP+2PD，∴PD=CE?CP過點A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，∵CG=CP，∴△CPG是等邊三角形，∴∠CGP=∠PCG=60°，∴∠ECP=∠PGB=120°，且EP=PB，∴△PCE≌△PGBAAS∴CE=GB，∴AC=BC=BG+CG=EC+CP，∵∠ABC=30°，∴AF=1∵S△ACB∴S四邊形所以其中正確的結論是①②③④．故選：C．評卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（24-25八年級上·江蘇泰州·階段練習）如圖，點A、B、C都在方格紙的格點上，請你再找一個格點D，使點A、B、C、D組成一個軸對稱圖形，這樣的格點D有個．【思路點撥】此題考查利用軸對稱設計圖案，如圖1，以線段AB的垂直平分線為對稱軸，找出點C的對稱點D，然后順次連接即可；如圖2，以線段AB所在的直線為對稱軸，找出點C的對稱點D，然后順次連接即可；如圖3，以線段BC的垂直平分線為對稱軸，找出點A的對稱點D，然后順次連接即可；如圖4，以線段BC所在的直線為對稱軸，找出點A的對稱點D，然后順次連接即可．【解題過程】解：如圖所示：故答案為：4．12．（23-24八年級上·河南安陽·階段練習）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于F，E點．若點D為BC邊的中點，點P為線段EF上一動點，則△PBD周長的最小值為．【思路點撥】本題考查的是軸對稱—最短路線問題．連接AD，AP，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線，可知點B關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為BP+PD的最小值，由此即可得出結論．【解題過程】解：如圖，連接AD，AP，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S解得：AD=6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點B關于直線EF的對稱點為點A，∴AP+PD=BP+PD≥AD，∴△BDP周長的最小值=BP+PD故答案為：8．13．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，∠AOB=18°，點M、N分別是邊OA、OB上的定點，P、Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當MP+PQ+QN最小時，則β?α=．【思路點撥】本題考查軸對稱?最短問題、三角形外角的性質(zhì)．作M關于OB的對稱點M'，N關于OA的對稱點N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN【解題過程】解：如圖，作M關于OB的對稱點M'，N關于OA的對稱點N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ=∴∠QPN=∠OPM∴180°?α=36°+180°?β，∴β?α=36°，故答案為：36°．14．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為0，8，點B為x軸上一動點，以AB為邊在直線AB的右側作等邊三角形ABC．若點P為OA的中點，連接PC，則PC的長的最小值為【思路點撥】本題考查了軸對稱―最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF⊥AP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得BE=PC，則當BE有最小值時，PC有最小值，即可求解．【解題過程】解：如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF⊥AP于F，∵點A的坐標為(0,8)，∴OA=8∵點P為OA的中點，∴AP=4∵△AEP是等邊三角形，EF⊥AP，∴AF=PF=2,AE=AP，∠EAP=∠BAC=60°，∴∠BAE=∠CAP，在△ABE和△ACP中，AE=AP∴△ABE≌△ACPSAS∴BE=PC∴當BE有最小值時，PC有最小值，即BE⊥x軸時，BE有最小值，∴BE的最小值為OF=OP+PF=4+2=6，∴PC的最小值為6，故答案為：6．15．（23-24八年級上·山東濱州·期中）如圖，已知點B是AC邊上的動點（不與A,C重合），在AC的同側作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE,CD，下列結論正確的是（填序號）①△ABE≌△DBC；②∠CHE=60°；③GF∥AC；④△BFG是等邊三角形；⑤HB平分∠AHC；⑥AH=DH+BH；⑦CH=BH+EH；⑧∠HGF=∠HBF；⑨【思路點撥】本題以常見的全等模型-“手拉手”模型為幾何背景，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的綜合問題、角平分線的性質(zhì)定理等知識點，還涉及了“截長補短”的輔助線作法，掌握相關結論和方法，進行嚴密的幾何推理是解題關鍵．【解題過程】解：∵△ABD、△BCE是等邊三角形，∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=DB,BE=BC，∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE即：∠ABE=∠DBC∴△ABE≌△DBC，故①正確；∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，∵∠HFE=∠CFB∴∠CHE=∠CBE=60°，故②正確；∵∠ABD=∠CBE=60°,∴∠DBF=60°=∠ABG∵△ABE≌△DBC∴∠BAG=∠BDF∵AB=DB,∴△BAG≌△BDF∴BG=BF∴△BGF是等邊三角形∴∠BGF=60°=∠ABD∴GF∥∵△ABE≌△DBC，∴S∴AE,DC邊上的高相等，即點B到AE,DC的距離相等，∴HB平分∠AHC，故⑤正確；在AE上截取AN=DH，連接BN，如圖所示：∵AN=DH，AB=DB,∠BAN=∠BDH，∴△BAN≌△BDH∴BN=BH,∠ABN=∠DBH∴∠ABN+∠DBN=∠DBH+∠DBN∴∠ABD=∠NBH=60°∴△BNH是等邊三角形，∴BH=NH∴AH=AN+NH=DH+BH，故⑥正確；在CD上截取CM=BH，連接EM，如圖所示：由②得：∠CHE=60°，∴∠AHC=120°由⑤得：HB平分∠AHC，∴∠BHG=∠BHF=60°,∠BHE=120°∴∠BEH+∠HBE=60°∵∠BEH=∠BCF，∠BCF+∠ECM=60°∴∠HBE=∠ECM∵EB=EC∴△HBE≌△ECM∴EM=EH∴△EMH是等邊三角形，∴EH=MH∴CH=CM+MH=BH+EH，故⑦正確；∵∠BHG=∠BFG=60°∴∠BEH+∠HBF=∠BEH+∠HGF∴∠HGF=∠HBF，故⑧正確；∴∠EHC=∠HFG+∠HGF=∠GBH+∠HBF=60°∴∠HFG=∠GBH，故⑨正確；由以上推理可知：△ABE≌△DBC、△BAG≌△BDF，∵∠BCF=∠BEG,BC=BE,∠CBF=∠EBG∴△CBF≌△EBG∴圖中不只有2對全等三角形，故⑩錯誤；故答案為：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨評卷人得分三、解答題（本大題共8小題，滿分55分）16．（6分）（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC于點D，過B作BF⊥AD，垂足為F，延長BF交AC于點E．（1）求證：△ABE為等腰三角形；（2）已知AC=16，BD=3，求AB的長．【思路點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵；（1）由垂直的定義得到∠AFE=∠AFB=90°，由角平分線的定義得到∠EAF=∠BAF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AEF=∠ABF，得到AE=AB，于是得到結論；（2）連接DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEF=∠DBF，等量代換得到∠AED=∠ABD，于是得到結論．【解題過程】（1）證明：∵BE⊥AD，∴∠AFE=∠AFB=90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠EAF=∠BAF，又∵在△AEF和△ABF中∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°∴∠AEF=∠ABF，∴AE=AB，∴△ABE為等腰三角形；（2）解：連接DE，∵AE=AB，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BE，∴BD=ED，∴∠DEF=∠DBF，∵∠AEF=∠ABF，∴∠AED=∠ABD，又∵∠ABC=2∠C，∴∠AED=2∠C，又∵△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC，∴EC=ED，∴CE=BD．∴AB=AE=AC?CE=AC?BD=16?3=13．17．（6分）（24-25八年級上·江蘇揚州·月考試題）如圖，在10×8的方格圖中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，每個小正方形的頂點叫做格點．已知△ABC的三個頂點在格點上．（1）畫出△A'B'C（2）在直線m上找一點D，使得△BCD的周長最??；（保留作圖痕跡）（3）延長BC交直線m于E，若△BEF是以BE為底邊的等腰三角形，那么圖中這樣的格點F共有_______個．【思路點撥】本題考查了軸對稱作圖，最短路徑問題等腰三角形的性質(zhì)，解答（3）關鍵是根據(jù)題意構造底邊BE的垂直平分線．（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應點A'（2）在（1）的基礎上，連B'C交，直線m于點D，點（3）先做出BE的垂直平分線，再找到垂直平分線進過的格點即可．【解題過程】（1）解：如圖，由題意，作△A'B'C（2）解：由題意，連C'B，交直線m于點D，連CD，理由：由題意，所求△BCD中，BC邊長為定值，只要BD+CD最小即可，由作圖可知，B,C',D三點共線，BD+CD=BD+C'（3）解：如圖，取點F1，畫直線CF1，理由：若△BEF則格點F在底邊BE的垂直平分線上，如圖，取點G,H,N，則可知，GN=HE=3，CH=BN=1，且∠CHE=∠BNC=90°,∴△CHE≌△BNC，∴CE=CB，即點C是線段BE的中點，同理，△F∴∠BCN=∠F∴∠BCF∴直線CF1垂直平分線段將△CF1G分別向上、向左平移1個，3個單位或者向下，向右平移1個，3個單位，分別得到直線C則點F1故答案為：3．18．（6分）（24-25八年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點，DM與EN相交于點F．（1）若∠ACB=110°，則∠MCN的度數(shù)為；（2）若∠MCN=α，求∠MFN的度數(shù)；（用含α的代數(shù)式表示）（3）連接FA、FB、FC，△CMN的周長為6cm，△FAB的周長為14cm，求【思路點撥】此題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握以上知識的應用及整體思想的應用．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AM=CM，BN=CN，根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的內(nèi)角和定理計算即可得解；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AM=CM，BN=CN，根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，再求出∠A+∠B，然后求出∠ACB=90°+α（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周長=AB，再由DF，EF分別垂直平分AC和BC，求出FA=FC，F(xiàn)B=FC即可求解；【解題過程】（1）解：∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN=180°，∠ACB=∠ACM+∠BCN+∠MCN=110°，∴∠A+∠B=70°，∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN=140°，∴∠MCN=180°?140°=40°，故答案為：40°；（2）解：∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∠CDF=∠CEF=90°，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN=180°，∠MCN=α，∴∠A+∠B=90°?α∴∠ACB=180°?∠A?∠B=90°+α∵四邊形DFEC的內(nèi)角和為360°，∴∠ACB+∠MFN=360°?∠CDF?∠CEF=180°，∴∠MFN=90°?α故答案為：90°?α（3）解：如圖所示，∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周長為6cm∴AB=6cm∵△FAB的周長為14cm∴FA+FB+AB=14cm∴FA+FB=8cm∵DF，EF分別垂直平分AC和BC，∴FA=FC，F(xiàn)B=FC，∴2FC=8cm∴FC=4cm19．（6分）（2024八年級上·全國·專題練習）如圖1，等邊△ABC，延長AB至點D，使BD=AB，連接CD，點E是CD邊上任意一點，以AE為邊作等邊△AEF，連接DF．（1）試判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若點E在CD的延長線上，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．【思路點撥】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識，構造全等三角形是解題的關鍵．（1）延長AC到點G，使得CG=AC，由△AEF是等邊三角形得到∠EAF=60°,AF=AE=EF，證明△EAG≌△FADSAS，則GE=DF，證明CD垂直平分AG，得到AE=GE，由等量代換即可得到EF=DF，即可證明△DEF（2）延長AC到點H，使得CH=AC，證明AH=AD，由△AEF是等邊三角形得到∠EAF=60°,AF=AE=EF，證明△EAH≌△FADSAS，則EH=DF，證明CD垂直平分AH，則AE=HE，由等量代換即可得到EF=DF，即可證明△DEF【解題過程】（1）解：△DEF是等腰三角形，理由如下：延長AC到點G，使得CG=AC，則AG=AC+CG=2AC，∵等邊△ABC，延長AB至點D，使BD=AB，∴AB=AC=BC，AD=BD+AB=2AB，∠CAB=∠ACB=∠ABC=60°，∴AG=AD，∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF=60°,AF=AE=EF，∴∠EAF?∠DAE=∠CAB?∠DAE=60°?∠DAE，∴∠EAG=∠DAF，∴△EAG≌△FADSAS∴GE=DF，∵BD=AB=BC，∴∠BCD=∠BDC，∵∠BCD+∠BDC=∠ABC=60°，∴∠BCD=∠BDC=1∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°，即CD⊥AG，∴CD垂直平分AG，∴AE=GE，∴EF=GE，∵GE=DF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：（1）中的結論還成立，理由如下：延長AC到點H，使得CH=AC，則AH=AC+CH=2AC，∵等邊△ABC，延長AB至點D，使BD=AB，∴AB=AC=BC，AD=BD+AB=2AB，∠CAB=∠ACB=∠ABC=60°，∴AH=AD，∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF=60°,AF=AE=EF，∴∠EAF+∠DAE=∠CAB+∠DAE=60°+∠DAE，∴∠EAH=∠DAF，∴△EAH≌△FADSAS∴EH=DF，∵BD=AB=BC，∴∠BCD=∠BDC，∵∠BCD+∠BDC=∠ABC=60°，∴∠BCD=∠BDC=1∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°，即CD⊥AH，∴CD垂直平分AH，∴AE=HE，∴EF=HE，∵EH=DF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形，即（1）中的結論還成立．20．（6分）（23-24七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實踐】如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．（1）【初步把握】如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數(shù)量關系是；（2）【深入研究】如圖2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數(shù)量關系及位置關系，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，直線l1⊥l2，垂足為點O，l2上有一點M在點O右側且OM=4，點N是l1上一個動點，連接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，連接【思路點撥】本題考查四邊形綜合應用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等，解題的關鍵是掌握全等三角形判定定理．（1）由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS可得△ABD≌△ACE，則可得出結論；（2）由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可證△ABD≌△ACESAS，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE（3）證明∠O'MO=45°，當OP有最小，即O'P【解題過程】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS故答案為：△ACE；BD=CE；（2）解：BD與CE的數(shù)量關系是BD=CE，位置關系是BD⊥CE∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE；（3）∵△MNP是等腰直角三角形，∴∠MNP=∠NPM=45°，將△OPM繞M點順時針旋轉90°得△O'P'M連接OO∴△PMO≌△P∴MO=MO'，∴∠O當OP有最小，即O'P'由∠O'O∴O'P'∴ON=4，OP最小值為4．21．（8分）（23-24八年級下·吉林·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=BC=18cm，點D在AC上，CD=8cm．點M在線段CB上由點C向點B運動，點N在線段BA上由點B向點A運動，運動速度均為（1）當運動2秒時，∠DMN（2）開始運動幾秒時，△BMN是直角三角形？（3）若點M和點N在到達終點后不停止運動，而是沿著△ABC的三邊順時針繼續(xù)運動，直到回到出發(fā)點后停止，直接寫出：線段MN與△ABC的某一邊平行時的時間．【思路點撥】（1）計算出運動2秒時CM、MN、BN的長，再證明△MBN≌△DCM，得∠BMN=∠CDM，則∠（2）設運動的時間為秒，分兩種情況，一是∠BNM=90°，則BM=2BN，可列方程18?5t=5t；二是∠BMN=90°，則BN=2BM，可列方程5t=2(18?5t)，解方程求出相應的（3）分三種情況，一是點M在BC邊上，則BM=BN，可列方程18?5t=5t；二是點M在AB邊上，則AM=AN，可列方程18×2?5t=5t?18；三是點M在AC邊上，則CM=CN，可列方程18×3?5t=5t?18×2，解方程求出相應的t值即可．【解題過程】（1）解：如圖1，∵AB=AC=BC=18cm∴△ABC是等邊三角形，∴∠運動2秒時，CM=5×2=10(cm)，MB=18?10=8(cm)，∴MB=DC，BN=CM，在△MBN和△DCM中，MB=DC∠B=∠C∴△MBN≌△DCM(SAS∴∠BMN=∴∠∴∠DMN=180°?(（2）解：設運動的時間為t秒，如圖2，當∠BNM=90°時，則∴BM=2BN，18?5t=2×5t，解得t=6如圖3，當∠BMN=90°時，則BN=2BM，5t=2(18?5t)，解得t=綜上所述，運動65秒或125秒，（3）解：如圖1，當MN∥AC時，∴∠BMN=∴△BMN是等邊三角形，∴BM=BN，∴18?5t=5t，解得t=9如圖4，當MN∥BC時，則∠AMN=∠B=∴△AMN是等邊三角形，∴AM=AN，∴18×2?5t=5t?18，解得t=27如圖5，當MN∥AB時，則∠CMN=∴△CMN是等邊三角形，∴CM=CN，∴18×3?5t=5t?18×2，解得t=9綜_上所述，t的值是95秒或275秒或9秒時，線段MN與22．（8分）（23-24八年級上·湖北荊門·期末）如圖,等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A、B分別在坐標軸上．（1）如圖1，若C點的橫坐標為5，求B點坐標；（2）如圖2，將△ABC擺放至x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點M，過C點作CD⊥x軸于D點，求CDAM（3）如圖3，若點A坐標為?4,0，分別以OB，AB為直角邊在第一、第二象限作等腰直角△BOF與等腰直角△ABE，連接EF交y軸于P點．當B點在y軸正半軸上移動時，下列兩個結論：①PB的長不變；②【思路點撥】（1）過點C作CG⊥y軸于點G，根據(jù)同角的余角相等可以得到∠ABO=∠BCG，進一步可以證