江西省豐城市第九中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題含解析

江西省豐城市第九中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B.C. D.12．已知橢圓，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4C. D.83．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.4．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫(huà)法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫(huà)一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來(lái)的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長(zhǎng)為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1），則接下來(lái)的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.5．經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個(gè)二面角的大小為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則等于（）A. B.C.14 D.169．在中，若，，，則此三角形解的情況為（）A.無(wú)解 B.兩解C.一解 D.解的個(gè)數(shù)不能確定10．已知圓M的圓心在直線上，且點(diǎn)，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（）A.4 B.2C. D.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則判斷框中應(yīng)填入（）A.？ B.？C.？ D.？二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點(diǎn)F在直線上，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為_(kāi)___________14．如圖是某賽季CBA廣東東莞銀行隊(duì)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲、乙比賽得分的中位數(shù)之和是______.15．已知直線，圓，若直線與圓相交于兩點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_____16．某市開(kāi)展“愛(ài)我內(nèi)蒙，愛(ài)我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評(píng)委給參賽作品A打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，記分員算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無(wú)法看清，若記分員計(jì)算無(wú)誤，則數(shù)字x應(yīng)該是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知圓過(guò)點(diǎn)且與圓外切于點(diǎn)，直線將圓分成弧長(zhǎng)之比為的兩段圓弧（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線的斜率19．（12分）如圖，已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、，且，橢圓C的離心率，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與，均不重合），連接，，交于點(diǎn)T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線上），求面積的最大值.22．（10分）已知空間內(nèi)不重合的四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點(diǎn)B到直線CD的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【詳解】可化為，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為1，故選：D.2、B【解析】根據(jù)橢圓的方程求出即得解.【詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B3、C【解析】分析得出，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因?yàn)椋?，則，，因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.4、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個(gè)圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進(jìn)而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過(guò)點(diǎn)，因?yàn)槊恳欢螆A弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(diǎn)的連線平行于軸，因?yàn)橄乱欢螆A弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C5、B【解析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)所求直線的方程為，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.6、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A7、C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角.8、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以，由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以.故選：C9、C【解析】求出的值，結(jié)合大邊對(duì)大角定理可得出結(jié)論.【詳解】由正弦定理可得可得，因?yàn)椋瑒t，故為銳角，故滿足條件的只有一個(gè).故選：C.10、C【解析】由題設(shè)寫(xiě)出的中垂線，求其與的交點(diǎn)即得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C11、B【解析】依題意可得，設(shè)，根據(jù)可得，，根據(jù)為拋物線上一點(diǎn)，可得.【詳解】依題意可得，設(shè)，由得，所以，，所以，，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了求拋物線方程，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】本題為計(jì)算前項(xiàng)和，模擬程序，實(shí)際計(jì)算求和即可得到的值.【詳解】由題意可知：輸出的的值為數(shù)列的前項(xiàng)和.易知，則，令，解得.即前7項(xiàng)的和.為故判斷框中應(yīng)填入“？”.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)A，B分別為，由焦點(diǎn)在已知直線上求F坐標(biāo)及拋物線方程，再根據(jù)題設(shè)三角形的面積關(guān)系可得，并設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求參數(shù)m，即可知直線l的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，直線，令可得，故焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設(shè)直線l為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關(guān)系得到交點(diǎn)縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，注意交點(diǎn)在x軸兩側(cè)，再設(shè)直線聯(lián)立拋物線求參數(shù)即可.14、58【解析】分別將甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的得分按小到大或者大到小排序，分別確定中位數(shù)，再相加即可【詳解】因?yàn)榧?、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員各參賽11場(chǎng)，故中位數(shù)是第6個(gè)數(shù)甲的得分按小到大排序后為：12,22,23,32,33,34,35,40,43,44,46，所以，中位數(shù)為34乙的得分按小到大排序后為：12,13,21,22,23,24,31,31,34,40,49所以，中位數(shù)為24所以，中位數(shù)之和為34+24＝58，故答案為：5815、【解析】求出直線過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，取得最小值，結(jié)合即可求解.【詳解】由題意知，圓，圓心，半徑，直線，，，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，可知當(dāng)距離最大時(shí)，有最小值，由圖可知，時(shí)，最大，此時(shí)，此時(shí).故的最小值為.故答案為：.16、1【解析】由平均數(shù)列出方程，求出x的值.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過(guò)解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合組合法求和，即可求解.小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，設(shè)公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.18、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知圓心在軸上，可設(shè)圓心，根據(jù)圓過(guò)點(diǎn)、可得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用幾何關(guān)系可求得圓心到直線的距離為，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：圓的圓心為，記點(diǎn)、，直線即為軸，因?yàn)閳A與圓外切于點(diǎn)，則圓心在軸上，設(shè)圓心，由可得，解得，則圓心，所以，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意可知，直線截圓所得的弦在圓上對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設(shè)，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設(shè)直線的為，把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以所求橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，設(shè)，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，①又由在同一條直線上，則，②由①+②3所以，整理得，解得，所以點(diǎn)在直線，即當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng).【小問(wèn)3詳解】解：由（2）知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，即，設(shè)直線的方程為，且，又由且，可得，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，代入可得，解得，即，此時(shí)直線的斜率不存在，不合題意，所以不存在直線l，使得成立.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BCD的一個(gè)法向量和平面DCM的一個(gè)法向量，然后由求解【小問(wèn)1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問(wèn)2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，依題意，可得，設(shè)為平面BCD的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得設(shè)為平面DCM的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長(zhǎng)可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，計(jì)算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為.【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長(zhǎng)為，∴，，又離心率為，∴，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，；當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)，，，∴.設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，，∵，∴，∴距的最大距離為，