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福建省示范名校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.2.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A. B.4C.3 D.23.圓心在直線上,且過(guò)點(diǎn),并與直線相切的圓的方程為()A. B.C. D.4.已知數(shù)列滿足,,,前項(xiàng)和()A. B.C. D.5.已知向量,,則向量等于()A.(3,1,-2) B.(3,-1,2)C.(3,-1,-2) D.(-3,-1,-2)6.如圖,將邊長(zhǎng)為4的正方形折成一個(gè)正四棱柱的側(cè)面,則異面直線AK和LM所成角的大小為()A.30° B.45°C.60° D.90°7.已知函數(shù),,若對(duì)任意的,,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知F(3,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F且垂直x軸的弦長(zhǎng)為,則該橢圓的方程為()A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=19.設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8,一條漸近線為,則雙曲線的方程為()A. B.C. D.10.若關(guān)于x的不等式的解集為,則關(guān)于x的不等式的解集是()A. B.,或C.,或 D.,或,或11.若拋物線的焦點(diǎn)為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.12.某同學(xué)為了調(diào)查支付寶中的75名好友的螞蟻森林種樹情況,對(duì)75名好友進(jìn)行編號(hào),分別為1,2,…,75,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本,已知11號(hào),26號(hào),56號(hào),71號(hào)好友在樣本中,則樣本中還有一名好友的編號(hào)是()A.40 B.41C.42 D.39二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知定點(diǎn),點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),則,兩點(diǎn)的最短距離為________14.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足通項(xiàng)公式,則________15.拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是,則______16.已知數(shù)列都是等差數(shù)列,公差分別為,數(shù)列滿足,則數(shù)列的公差為__________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列中,,且滿足(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和18.(12分)已知直線,圓.(1)證明:直線l與圓C相交;(2)設(shè)l與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B,弦AB的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程;(3)在(2)的條件下,設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線為,在點(diǎn)B處的切線為,與的交點(diǎn)為Q.試探究:當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)Q是否恒在一條定直線上?若是,請(qǐng)求出這條直線的方程;若不是,說(shuō)明理由.19.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為軸,焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且(1)求拋物線的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),設(shè),判斷是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說(shuō)明理由.20.(12分)如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,為中點(diǎn)(1)求二面角的大?。唬?)探究線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說(shuō)明理由21.(12分)設(shè):,:.(1)若命題“,是真命題”,求的取值范圍;(2)若是的充分不必要條件,求的取值范圍.22.(10分)若等比數(shù)列的各項(xiàng)為正,前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程,聯(lián)立方程組,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得,進(jìn)而求得取值范圍,當(dāng)斜率不存在是,可得,兩點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得的值.【詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,,,聯(lián)立方程,得,恒成立,則,,,,,所以,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線方程為,所以,,,綜上所述:,故選:B.2、C【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得,由其為純虛數(shù)求參數(shù)a,進(jìn)而求的模即可.【詳解】由純虛數(shù),∴,解得:,則,故選:C3、A【解析】設(shè)圓的圓心,表示出半徑,再由圓心到切線距離等于半徑即可列出方程求得參數(shù)及圓的方程.【詳解】∵圓的圓心在直線上,∴設(shè)圓心為(a,-a),∵圓過(guò),∴半徑r=,又∵圓與相切,∴半徑r=,則,解得a=2,故圓心為(2,-2),半徑為,故方程為.故選:A.4、C【解析】根據(jù),利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得到,再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】解:因?yàn)?,所以,則,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,故選:C5、B【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)椋?,所?故選:B.6、D【解析】作出折疊后的正四棱錐,確定線面關(guān)系,從而把異面直線的夾角通過(guò)平移放到一個(gè)平面內(nèi)求得.【詳解】由題知,折疊后的正四棱錐如圖所示,易知K為的四等分點(diǎn),L為的中點(diǎn),M為的四等分點(diǎn),,取的中點(diǎn)N,易證,則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角,在中,,,故故選:D7、B【解析】根據(jù)題意,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的,,利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值,再分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最大值,即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知:對(duì)任意的,,都有恒成立,故可得對(duì)任意的,;又,則,故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,又,,則當(dāng)時(shí),,.對(duì)任意的,,即,恒成立.也即,不妨令,則,故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.故,則只需.故選:B.8、C【解析】根據(jù)已知條件求得,由此求得橢圓的方程.【詳解】依題意,所以橢圓方程為.故選:C9、D【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,漸近線方程為,代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8,即,,漸近線方程為,進(jìn)而得到雙曲線方程為.故選:D.10、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得參數(shù),再代入所求不等式,利用分式大于零,則分子分母同號(hào),列不等式計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】不等式解集為,即的二根是1和2,利用根和系數(shù)的關(guān)系可知,故不等式即轉(zhuǎn)化成,即,等價(jià)于或者,解得或,或者.故解集為,或,或.故選:D.【點(diǎn)睛】分式不等式的解法:(1)先化簡(jiǎn)成右邊為零的形式(或),等價(jià)于一元二次不等式(或)再求解即可;(2)先化簡(jiǎn)成右邊為零的形式(或),再利用分子分母同號(hào)(或者異號(hào)),列不等式組求解即可.11、D【解析】由題意設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用焦點(diǎn)為建立,解方程即可.【詳解】由題意,設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以,解得,所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:D12、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性即可確定結(jié)果.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性得:11號(hào),26號(hào),56號(hào),71號(hào)以及還有一名好友的編號(hào)應(yīng)該按大小排列后成等差數(shù)列,樣本中還有一名好友的編號(hào)為26號(hào)與56號(hào)的等差中項(xiàng),即41號(hào),故選:B【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】線段最短,就是說(shuō)的距離最小,此時(shí)直線和直線垂直,可先求的斜率,再求直線的方程,然后與直線聯(lián)立求交點(diǎn)即可【詳解】定點(diǎn),點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線段最短時(shí),就是直線和直線垂直,的方程為:,它與聯(lián)立解得,所以的坐標(biāo)是,所以,故答案為:14、【解析】由時(shí),,可得,利用累乘法得,從而即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以時(shí),,即,化簡(jiǎn)得,又,所以,檢驗(yàn)時(shí)也成立,所以,所以,故答案:.15、2【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)直接求解可得.【詳解】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,即.故答案為:216、##【解析】利用等差數(shù)列的定義即得.【詳解】∵數(shù)列都是等差數(shù)列,公差分別為,數(shù)列滿足,∴.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見解析;;(2).【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義證明為常數(shù)即可;(2)利用錯(cuò)位相減法即可求和.【小問(wèn)1詳解】由得,,∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,∴,∴;【小問(wèn)2詳解】①,②,①-②得:,.18、(1)證明見解析;(2);(3)點(diǎn)Q恒在直線上,理由見解析.【解析】(1)求出直線過(guò)定點(diǎn),得到在圓內(nèi)部,故證明直線l與圓C相交;(2)設(shè)出點(diǎn),利用垂直得到等量關(guān)系,整理后即為軌跡方程;(3)利用Q、A、B、C四點(diǎn)共圓,得到此圓方程,聯(lián)立,求出相交弦的方程,即直線的方程,根據(jù)直線過(guò)的定點(diǎn),得到,從而得到點(diǎn)Q恒在直線上.【小問(wèn)1詳解】證明:直線過(guò)定點(diǎn),代入得:,故在圓內(nèi),故直線l與圓C相交;【小問(wèn)2詳解】圓的圓心為,設(shè)點(diǎn),由垂徑定理得:,即,化簡(jiǎn)得:,點(diǎn)M的軌跡方程為:【小問(wèn)3詳解】設(shè)點(diǎn),由題意得:Q、A、B、C四點(diǎn)共圓,且圓的方程為:,即,與圓C的方程聯(lián)立,消去二次項(xiàng)得:,即為直線的方程,因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn),所以,解得:,所以當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)Q恒在直線上.【點(diǎn)睛】本題的第三問(wèn)是稍有難度的,處理方法是根據(jù)四點(diǎn)共圓,直徑的端點(diǎn)坐標(biāo),求出此圓的方程,與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程,是處理此類問(wèn)題的關(guān)鍵.19、(1)(2)是,0【解析】(1)根據(jù)題意,設(shè)拋物線的方程為:,則,,進(jìn)而根據(jù)得,進(jìn)而得答案;(2)直線的方程為,進(jìn)而聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理與向量數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)整理即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解:由題意,設(shè)拋物線的方程為:,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)椋?,即,解?所以拋物線的方程為:【小問(wèn)2詳解】解:設(shè)直線的方程為,則聯(lián)立方程得,所以,,因?yàn)?,所?所以為定值.20、(1)(2)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,分別寫出點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩個(gè)平面的法向量代入公式求解即可;(2)假設(shè)存在,設(shè),利用相等向量求出坐標(biāo),利用線面平行的向量法代入公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】如下圖所示,以為原點(diǎn),,,所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.所以,設(shè)平面的法向量,所以,即,令,則,,所以,連接,因?yàn)?,,,平面,平面,平面,所以平面,所以為平面的一個(gè)法向量,所以,由圖知,二面角為銳二面角,所以二面角的大小為【小問(wèn)2詳解】假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得平面,設(shè),,,因?yàn)槠矫?,所以,即所以,即解得所以在線段上存在點(diǎn),使得平面,此時(shí)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)21、(1)(2)【解析】(1)解不等式得到解集,根據(jù)題意列出不等式組,求出的取值范圍;(2)先解不等式,再根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集,進(jìn)而求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,由可得:,因?yàn)椤?,”為真命題,所以,即,解得:.即的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?,由可得:,,因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件,所以是的真子

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