小學(xué)數(shù)學(xué)工程問題及答案

工程問題工程問題基本數(shù)量關(guān)系式：（1)一般公式：工作效率×工作時(shí)間＝工作總量工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間工作總量÷工作時(shí)間＝工作效率(2）用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問題的公式：1÷工作時(shí)間=單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾；一般給出工作時(shí)間，就可以知道工作效率為，1÷單位時(shí)間能完成的幾分之幾=工作時(shí)間。如果可以給出工作效率是,就可以知道工作時(shí)間為a.一、兩個(gè)人的問題

標(biāo)題上說的“兩個(gè)人”,也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體.

例1一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成?，F(xiàn)在甲先做了3天,余下的工作由乙繼續(xù)完成。乙需要做幾天可以完成全部工作?

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例2一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成,共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成。如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？

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例3某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成?，F(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天,然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？

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例4一件工程,甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成。現(xiàn)在兩隊(duì)合作,其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時(shí)間？

例5一項(xiàng)工程,甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成,乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成?，F(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊(duì)休息了多少天？

例6有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要8天，單獨(dú)完成乙工作要20天。如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？

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例7一項(xiàng)工程,甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天,如果兩人合作,他

要8天完成這項(xiàng)工程,兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？

例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)快

如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來做，需要多少小時(shí)？

二、多人的工程問題

我們說的多人，至少有3個(gè)人，當(dāng)然多人問題要比2人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多。

例9一件工作，甲、乙兩人合作36天完成,乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨(dú)做需要多少天完成?

例10一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天。這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍,終于做完了這件工作.問總共用了多少天？

例11一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？

例12某項(xiàng)工作,甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作。問甲組2人和乙組7人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？

例13制作一批零件，甲車間要10天完成,如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做,需要8天才能完成?，F(xiàn)在三個(gè)車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個(gè)。問丙車間制作了多少個(gè)零件?

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例14搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí)。有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物,丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉庫貨物同時(shí)搬完。問丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？

水管問題

從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率。至于又有注入又有排出的問題,不過是工作量有加有減罷了。因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同。

例15甲、乙兩管同時(shí)打開，9分鐘能注滿水池?，F(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？

例16有一些水管,它們每分鐘注水量都相等。現(xiàn)在打開其中若干根水管，經(jīng)過預(yù)定的時(shí)間的1/3，再把打開的水管增加一倍，就能按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果開始時(shí)就打開10根水管，中途不增開水管,也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池。問開始時(shí)打開了幾根水管?

例17蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管,和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水,單開甲管需3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)。要排光一池水，單開乙管需要4小，丁管需要6小時(shí)，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之一的水,如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的順序輪流打開1小時(shí),問多少時(shí)間后水開始溢出水池？

例18一個(gè)蓄水池,每分鐘流入4立方米水.如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問要多少時(shí)間才能把水放空?

例19一個(gè)水池,地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的。打開A管，8小時(shí)可將滿池水排空，打開C管,12小時(shí)可將滿池水排空。如果打開A，B兩管,4小時(shí)可將水排空.問打開B，C兩管,要幾小時(shí)才能將滿池水排空?

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例20有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一

草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草。問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？

“牛吃草"這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn)。限于篇幅，我們只再舉一個(gè)例子。

例21畫展9點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場。從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多.如果開3個(gè)入場口,9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì),如果開5個(gè)入場口,9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì)。問第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)幾分？

例22.一件工作，如果甲單獨(dú)做，那么甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時(shí)間3天才完成.現(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨(dú)做,剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成.若甲乙二人合作,完成工作需多長時(shí)間？

例1答：乙需要做4天可完成全部工作.

解二:9與6的最小公倍數(shù)是18。設(shè)全部工作量是18份。甲每天完成2份，乙每天完成3份。乙完成余下工作所需時(shí)間是(18—2×3）÷3=4（天)。

解三：甲與乙的工作效率之比是6∶9=2∶3。

甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4(天）例2解:共做了6天后,原來，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做0天,乙做40=(24+16)天.

這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替。因此甲的工作效率如果乙獨(dú)做,所需時(shí)間是如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天例3解：先對(duì)比如下:甲做63天,乙做28天；甲做48天，乙做48天。

就知道甲少做63—48=15(天），乙要多做48-28=20（天)，由此得出甲的甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63—42=21(天），相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28=56(天）.

答:乙還需要做56天例4解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8天,乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的,需要的天數(shù)是2+8+1=11（天）。

答：從開始到完工共用了11天.

解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份。在甲隊(duì)單獨(dú)做8天,乙隊(duì)單獨(dú)做2天之后,還需兩隊(duì)合作（30—3×8—1×2)÷（3+1)=1（天）。

解三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天。

在甲隊(duì)單獨(dú)做8天后，還余下(甲隊(duì)）10—8=2（天）工作量。相當(dāng)于乙隊(duì)要做2×3=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下(乙隊(duì))6—2=4(天)工作量。

4=3+1，其中3天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天。例5解一：如果16天兩隊(duì)都不休息,可以完成的工作量是由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息的天數(shù)是答:乙隊(duì)休息了5天半.

解二:設(shè)全部工作量為60份。甲每天完成3份,乙每天完成2份。

兩隊(duì)休息期間未做的工作量是(3+2）×16—60=20（份）.

因此乙休息天數(shù)是(20—3×3)÷2=5。5(天）。

解三：甲隊(duì)做2天,相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.

甲隊(duì)休息3天,相當(dāng)于乙隊(duì)休息4。5天.

如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是16—6—4。5=5。5（天）.

例6解：很明顯,李做甲工作的工作效率高,張做乙工作的工作效率高。因此讓李先做甲，張先做乙。

設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份。

8天，李就能完成甲工作。此時(shí)張還余下乙工作(60—4×8）份。由張、李合作需要（60—4×8）÷(4+3）=4（天)。

8+4=12（天）。

答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.

兩人合作，共完成3×0。8+2×0.9=4.2(份)。

因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲。因?yàn)橐?天內(nèi)完成,所以兩人合作的天數(shù)是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）。

很明顯,最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題。解：乙6小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是乙每小時(shí)完成的工作量是兩人合作6小時(shí)，甲完成的工作量是甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是答:甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí)。

這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理。但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計(jì)算簡便。例8就是如此。例8也可以整數(shù)化,當(dāng)求出乙每有一點(diǎn)方便，但好處不大。不必多此一舉。解：設(shè)這件工作的工作量是1。

甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答:甲一人獨(dú)做需要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份。請(qǐng)?jiān)囈辉?，?jì)算是否會(huì)方便些？解：甲做1天，乙就做3天,丙就做3×2=6（天）。

說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天）,丙做2×6=12（天），三人一共做了2+6+12=20(天)。

答：完成這項(xiàng)工作用了20天。

本題整數(shù)化會(huì)帶來計(jì)算上的方便。12,18，24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72?？稍O(shè)全部工作量為72。甲每天完成6，乙每天完成4,丙每天完成3?？偣灿昧私猓罕?天的工作量,相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2(倍),甲、乙合作1天，與乙做4天一樣。也就是甲做1天,相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍。

他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要答：甲獨(dú)做需要26天。

事實(shí)上,當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天,相當(dāng)于乙、丙合作1天。三人合作需13天,其中乙、丙兩人完成的工作量,可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成.

解一:設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1。

甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完成這項(xiàng)工作.

解二:甲組3人8天能完成,因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成,因此7人4天能完成。

現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為:甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做4天,問合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性。解二是比例靈活運(yùn)用的典型,如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).

解一：仍設(shè)總工作量為1。

甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了4200個(gè)零件。

解二：10與6最小公倍數(shù)是30。設(shè)制作零件全部工作量為30份。甲每天完成3份,甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份。

乙、丙一起，8天完成。乙完成8×2=16（份）,丙完成30—16=14（份）,就知乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7。

已知甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8。

綜合一起,甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7。

當(dāng)三個(gè)車間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是2400÷（12-8)×7=4200（個(gè)）解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時(shí)間是答:丙幫助甲搬運(yùn)3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn)5小時(shí)。

解本題的關(guān)鍵,是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉庫的時(shí)間.本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化,設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫全部工作量為60。甲每小時(shí)搬運(yùn)6，乙每小時(shí)搬運(yùn)5,丙每小時(shí)搬運(yùn)4.

三人共同搬完，需要60×2÷(6+5+4）=8（小時(shí)）.

甲需丙幫助搬運(yùn)（60—6×8）÷4=3（小時(shí)）.

乙需丙幫助搬運(yùn)（60-5×8)÷4=5（小時(shí))。

解：甲每分鐘注入水量是：（1—1/9×3）÷10=1/15

乙每分鐘注入水量是:1/9-1/15=2/45

因此水池容積是:0。6÷（1/15—2/45)=27（立方米）答：水池容積是27立方米.分析：增開水管后，有原來2倍的水管，注水時(shí)間是預(yù)定時(shí)間的1—1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增開水管后的這段時(shí)間的注水量，是前一段時(shí)間注水量的4倍。設(shè)水池容量是1，前后兩段時(shí)間的注水量之比為:1:4,那么預(yù)定時(shí)間的1/3（即前一段時(shí)間）的注水量是1/（1+4)=1/5。10根水管同時(shí)打開，能按預(yù)定時(shí)間注滿水，每根水管的注水量是1/10，預(yù)定時(shí)間的1/3，每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30

要注滿水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6(根）解：前后兩段時(shí)間的注水量之比為:1：［（1-1/3)÷1/3×2]=1：4

前段時(shí)間注水量是：1÷（1+4）=1/5

每根水管在預(yù)定1/3的時(shí)間注水量為:1÷10×1/3=1/30

開始時(shí)打開水管根數(shù)：1/5÷1/30=6（根)答：開始時(shí)打開6根水管.分析:,否則開甲管的過程中水池里的水就會(huì)溢出.

以后(20小時(shí)）,池中的水已有此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的:一只掉進(jìn)了枯井的青蛙,它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3尺,又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？看起來它每小時(shí)只往上爬3—2=1(尺)，但爬了27小時(shí)后，它再爬1小時(shí),往上爬了3尺已到達(dá)井口。

因此，答案是28小時(shí)，而不是30小時(shí)。解：先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.

2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4×60=240(立方米）。

時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240÷（5×150—8×90）=8(立方米）,8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8×8×90，其中90分鐘內(nèi)流入水量是4×90，因此原來水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.

打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷(8×13-4）=54（分鐘）。

答：打開13個(gè)龍頭,放空水池要54分鐘.

水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水,就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.解：設(shè)滿水池的水量為1。

A管每小時(shí)排出A管4小時(shí)排出因此，B，C兩管齊開，每小時(shí)排水量是B，C兩管齊開,排光滿水池的水，所需時(shí)間是答：B，C兩管齊開要4小時(shí)48分才將滿池水排完。

本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量。由于不知具體數(shù)量,像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1"。但這兩種量要避免混淆。事實(shí)上,也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù)24.解:吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù)。根據(jù)這一計(jì)算公式,可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位。

原有草+4星期新長的草=12×4。

原有草+9星期新長的草=7×9.

由此可得出，每星期新長的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3.

那么原有草是7×9—3×9=36(或者12×4-3×4).

對(duì)第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是這些草能讓90×7.2÷18=36（頭）牛吃18個(gè)星期.

答：36頭牛18個(gè)星期能吃完第三片牧場的草。例20與例19的解法稍有一點(diǎn)不