專(zhuān)題01有理數(shù)（原卷版）-1

專(zhuān)題01有理數(shù)核心考點(diǎn)聚焦1、認(rèn)識(shí)正、負(fù)數(shù)；了解正反意義的量；結(jié)合實(shí)際理解正負(fù)數(shù)的應(yīng)用；2、了解“0”的意義；學(xué)會(huì)對(duì)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)進(jìn)行分類(lèi)；3、學(xué)會(huì)用數(shù)軸表示有理數(shù)并比較大??；了解數(shù)軸之間點(diǎn)的距離，并探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；4、認(rèn)識(shí)絕對(duì)值與相反數(shù)，運(yùn)用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)絕對(duì)值；利用相反數(shù)與絕對(duì)值的定義比較有理數(shù)大?。?、熟練計(jì)算有理數(shù)加減乘除四則運(yùn)算，熟練計(jì)算含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算；6、認(rèn)識(shí)倒數(shù)的意義，學(xué)會(huì)科學(xué)記數(shù)法的寫(xiě)法，讀懂算法程序。一、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)1．有理數(shù)的分類(lèi)：（1）按定義分類(lèi)：（2）按性質(zhì)分類(lèi)：注：（1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒(méi)有3個(gè)蘋(píng)果用+3表示，沒(méi)有蘋(píng)果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個(gè)中性數(shù)2．無(wú)理數(shù)：叫做無(wú)理數(shù)．注：（1）無(wú)理數(shù)的特征：無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限．無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式．（2）目前常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有兩種形式：①．②，如：1．313113111……（相鄰兩個(gè)3之間1的個(gè)數(shù)逐漸增加）．3.數(shù)軸：規(guī)定了、和的直線．注：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)大．4．相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱(chēng)為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．注：（1）一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的．（2）求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“”號(hào)即可．（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：數(shù)字前面“”號(hào)的個(gè)數(shù)若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù)．5．絕對(duì)值：（1)代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．?dāng)?shù)a的絕對(duì)值記作．（2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是．二、有理數(shù)的運(yùn)算1．法則：（1）加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．（2）減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即ab=a+(b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．注：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“－”號(hào)的個(gè)數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運(yùn)算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律:①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac三、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）；（2）：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。?3)．（4）；（5)．四、科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法．例如：200000=．考點(diǎn)剖析例1：若元表示盈利500元，那么元表示（）A．收入500元 B．盈利200元 C．虧損200元 D．支出200元變式11：某種零件，標(biāo)明要求是（φ表示直徑，單位：毫米），經(jīng)檢查，一個(gè)零件的直徑是，該零件（填“合格”或“不合格”）．變式12：近幾年，全球的新能源汽車(chē)發(fā)展迅猛，尤其對(duì)于我國(guó)來(lái)說(shuō)，新能源汽車(chē)產(chǎn)銷(xiāo)量都大幅度增加．小明家新?lián)Q了一輛新能源純電汽車(chē)，他連續(xù)7天記錄了每天行駛的路程（如表）．以為標(biāo)準(zhǔn)，多于的記為“＋”，不足的記為“－”，剛好的記為“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）(1)請(qǐng)求出小明家的新能源汽車(chē)這7天一共行駛了多少千米？(2)已知汽油車(chē)每行駛需用汽油升，汽油價(jià)為元/升，而新能源汽車(chē)每行駛耗電量為15度，每度電為元，小明家換成新能源汽車(chē)后這7天的行駛費(fèi)用比原來(lái)節(jié)省多少錢(qián)？例2：在下列數(shù)中：，，，，中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式21：在，，，，，，，這些數(shù)中，負(fù)分?jǐn)?shù)有個(gè)．變式22：把下列各數(shù)的序號(hào)分別填在表示它所在的集合里：①，②0，③，④，⑤（每相應(yīng)兩個(gè)2之間3的個(gè)數(shù)逐次增加1），⑥，⑦，⑧分?jǐn)?shù)集合：{___________________…}；無(wú)理數(shù)集合：{____________________…}；非正數(shù)集合：{______________________…}．例3：已知實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．變式31：在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)，沿著數(shù)軸先向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)小球到達(dá)點(diǎn)C處，則點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)B到點(diǎn)C之間的距離之和為．變式32：已知數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、3、5，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．點(diǎn)A與點(diǎn)P之間的距離表示為，點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離表示為．

(1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試判斷：的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出這個(gè)定值，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．例4：已知，，是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：的值為（）A． B． C． D．變式41：如果，則的值為．變式42：已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，且．

(1)_______0，_______0，______0（請(qǐng)用“”或“”填空）；(2)化簡(jiǎn)：．例5：某商店出售的三種規(guī)格的面粉袋上寫(xiě)著（）千克．（）千克，（）千克的字樣，每種規(guī)格若干袋，從中任意拿兩袋，它們質(zhì)量相差最大的是（

）A． B． C． D．變式51：如圖，小明在寫(xiě)作業(yè)時(shí)不慎將兩滴墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中數(shù)值，可以確定墨跡蓋住的所有整數(shù)的和是．變式52：閱讀下面的解題過(guò)程，并用解題過(guò)程中的解題方法解決問(wèn)題．計(jì)算：．解：原式，，，，以上解題方法叫做拆項(xiàng)法．拆項(xiàng)法常用在帶分?jǐn)?shù)中，將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，再將所有的真整數(shù)和所有的真分?jǐn)?shù)分別相加，從而達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的．仿照上面的方法，計(jì)算：(1)；(2)．例6：的倒數(shù)的相反數(shù)是（

） B． C．2023 D．變式61：在有理數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們定義一個(gè)新運(yùn)算“★”如下：時(shí)，；時(shí)，．則當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為．變式62：計(jì)算(1)；(2)(3)；(4)例7：據(jù)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測(cè)算，2023年中秋節(jié)、國(guó)慶節(jié)假期8天，國(guó)內(nèi)旅游出游人數(shù)8.26億人次，按可比口徑同比增長(zhǎng)，按可比口徑較2019年增長(zhǎng)，其中8.26億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B．C． D．變式71：已知x、y互為倒數(shù)，m、n互為相反數(shù)，，則．變式72：在上個(gè)月，我們學(xué)習(xí)了“有理數(shù)的乘方”運(yùn)算，知道乘方的結(jié)果叫做“冪”，下面介紹一種有關(guān)“冪”的新運(yùn)算，定義：與（，m、n都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作．運(yùn)算法則如下：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解決問(wèn)題根據(jù)“同底數(shù)冪除法”的運(yùn)算法則，回答下列問(wèn)題：(1)填空：______，______；(2)如果，求出x的值；(3)如果，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的值．例8：如圖所示的運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入的值為15，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為18，第2次輸出的結(jié)果為，則第2023次輸出的結(jié)果為（

）A．3 B．6 C．9 D．18變式81：定義一個(gè)新運(yùn)算“★”如下：時(shí)，；時(shí)，．則當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為．變式82：計(jì)算：(1)(2)(3)(4)難點(diǎn)1：絕對(duì)值“1”和“1”的化簡(jiǎn)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答問(wèn)題．【提出問(wèn)題】已知有理數(shù)，，滿(mǎn)足，求＋＋的值．【解決問(wèn)題】解：由題意，得，，三個(gè)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)，，都為正數(shù)，即時(shí)，＋＋＝＋＋＝1＋1＋1＝3；②當(dāng)，，中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則＋＋＝＋＋．綜上所述，＋＋的值為3或．【探究拓展】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：(1)已知，是不為0的有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，＋＝；(2)已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，求＋＋的值；(3)已知，，是有理數(shù)，，，求＋＋的值．難點(diǎn)2：絕對(duì)值的最值在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，我們常用幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題，借助數(shù)形結(jié)合的方法使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．材料一：我們知道|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩點(diǎn)之間的距離；|a+b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，﹣b的兩點(diǎn)之間的距離；根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，我們可以求出以下方程的解．（1）|x﹣3|＝4解：由絕對(duì)值的幾何意義知：在數(shù)軸上x(chóng)表示的點(diǎn)到3的距離等于4∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1（2）|x+2|＝5解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其絕對(duì)值的幾何意義為：在數(shù)軸上x(chóng)表示的點(diǎn)到﹣2的距離等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．由|x﹣1|+|x+2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)1和﹣2兩點(diǎn)的距離的和，要使和最小，則表示數(shù)x的這點(diǎn)必在﹣2和1之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）取值．∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把數(shù)軸上表示x的點(diǎn)記為點(diǎn)P，由絕對(duì)值的幾何意義知：當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，則點(diǎn)P必在﹣2的左邊或1的右邊，且到表示數(shù)﹣2或1的點(diǎn)的距離均為0.5個(gè)單位．故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解為：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．閱讀以上材料，解決以下問(wèn)題：（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值為；（2）已知有理數(shù)x滿(mǎn)足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理數(shù)y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．（3）試找到符合條件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此時(shí)的最小值及x的取值范圍．難點(diǎn)3：絕對(duì)值方程閱讀下列材料：我們知道，的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離：，也就是說(shuō)，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．這個(gè)結(jié)論可以推廣為：表示在數(shù)軸上數(shù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．如：數(shù)軸上數(shù)2，5對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為；數(shù)軸上數(shù)2，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為；又如：已知，求的值．意為：數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為2，觀察數(shù)軸可知的值為或3．請(qǐng)運(yùn)用上述的幾何方法解決下列問(wèn)題：(1)若，則________；(2)若，則________；(3)表示數(shù)軸上數(shù)________與________對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；(4)若，則________；(5)若，則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)為_(kāi)_______________；(6)若，則的取值范圍為_(kāi)_______________________．難點(diǎn)4：數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)定義：數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)的距離為a個(gè)單位記作，根據(jù)定義完成下列各題．兩個(gè)長(zhǎng)方形和的寬都是3個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10個(gè)單位長(zhǎng)度，其中點(diǎn)A、D、E、H在數(shù)軸上（如圖），點(diǎn)E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，且E、D兩點(diǎn)之間的距離為14，原點(diǎn)記為0．(1)求數(shù)軸上點(diǎn)H、A所表示的數(shù)？(2)若長(zhǎng)方形以4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)長(zhǎng)方形以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，數(shù)軸上有M、N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在A、D兩點(diǎn)之間，且，其中點(diǎn)N在E、H兩點(diǎn)之間，且，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．①經(jīng)過(guò)x秒后，M點(diǎn)表示的數(shù)是，N點(diǎn)表示的數(shù)是（用含x的式子表示，結(jié)果需化簡(jiǎn)）．②求（用含x的式子表示，結(jié)果需化簡(jiǎn)）．(3)若長(zhǎng)方形以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)方形固定不動(dòng)，設(shè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，兩個(gè)長(zhǎng)方形重疊部分的面積為S，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)t的值．難點(diǎn)5：數(shù)列求和閱讀材料：求的值.解：設(shè)將等式兩邊同時(shí)乘以2，得將下式減去上式，得即請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：（1）（2）真題感知1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）下列數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是（

）A．2023 B． C． D．02．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）健康成年人的心臟每分鐘流過(guò)的血液約．?dāng)?shù)據(jù)4900用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）．A． B． C． D．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)，下列各式的值最小的是（

）

A． B． C． D．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，輸入數(shù)值1921，按所示的程序運(yùn)算（完成一個(gè)方框內(nèi)的運(yùn)算后，把結(jié)果輸入下