專題110平行線中的折疊問題（分層練習(xí)）（提升練）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.10平行線中的折疊問題（分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2024上·遼寧阜新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一張四邊形紙片沿EF折疊，以下條件中能得出AD∥BC的條件個(gè)數(shù)是（

）

①∠2=∠4：②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6：④∠4=∠5A．1 B．2 C．3 D．42．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，把一張對(duì)邊互相平行的紙條，沿折疊，則以下結(jié)論：①；②；③；④，⑤．其中正確的結(jié)論有（

）

A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤3．（2023下·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一個(gè)長方形紙片沿著折疊，使點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．4．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）已知M，N分別是長方形紙條邊，上兩點(diǎn)（），如圖1所示，沿M，N所在直線進(jìn)行第一次折疊，點(diǎn)A，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，交于點(diǎn)P；如圖2所示，繼續(xù)沿進(jìn)行第二次折疊，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，H，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023下·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谀┤鐖D1，將一條對(duì)邊互相平行的圍巾折疊，并將其抽象成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型如圖2，，折痕分別為，，若，，則等于（）

A． B． C． D．6．（2023下·湖南懷化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知長方形紙片，點(diǎn)，在邊上，點(diǎn)，在邊上，分別沿，折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)都落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為（）

A．58° B．59° C．60° D．61°7．（2022下·黑龍江牡丹江·七年級(jí)?？计谀┮粡堥L方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③④B．②③④ C．①②③ D．①②8．（2022下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點(diǎn)N，M，P，K，若MNPK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°9．（2022下·廣東廣州·七年級(jí)廣州市南武中學(xué)統(tǒng)考期中）如圖，長方形ABCD中，∠ADB＝20°，現(xiàn)將這一長方形紙片沿AF折疊，當(dāng)折痕AF與AB的夾角∠BAF＝________時(shí)，．A．50° B．55° C．65° D．70°10．（2022下·河南信陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)平行線后，小龍同學(xué)想出了“過已知直線m外一點(diǎn)P畫這條直線的平行線的新方法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點(diǎn)P的已知直線m的平行線．從圖中可知，小龍畫平行線的依據(jù)有（

）①兩直線平行，同位角相等；②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，把一張兩邊平行的紙條沿著折疊，若，則的度數(shù)是．

12．（2024下·六年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿BF折疊后，D，C分別落在D′，C′的位置上，ED′與BC交于G點(diǎn)，若∠EFG=56°，則∠AEG=．13．（2023下·浙江嘉興·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三角形中，點(diǎn)，分別在邊，上，將三角形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，將線段沿著向右平移若干單位長度后恰好能與邊重合，連接．若，則陰影部分的周長為．

14．（2023下·江西南昌·七年級(jí)南昌市第三中學(xué)校考期中）在“折紙與平行”的拓展課上，小胡老師布置了一個(gè)任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片，＝，＝，點(diǎn)是邊上的固定點(diǎn)（＜），請(qǐng)?jiān)谏险遥c(diǎn)，將紙片沿折疊（為折痕），點(diǎn)落在點(diǎn)處，使與三角形的一邊平行，則為度15．（2022下·福建福州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點(diǎn)E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點(diǎn)O在線段BC上，則∠ODE=．（用含m的式子表示）16．（2022下·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若EB′恰好與BC平行，且∠B＝80°，則∠CDE＝°．17．（2021下·北京·七年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，把一個(gè)長方形紙條沿折疊，已知，，則．18．（2020上·廣東深圳·七年級(jí)深圳外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D①，在長方形中，點(diǎn)在上，并且，分別以、為折痕進(jìn)行折疊并壓平，如圖②，若圖②中，則的度數(shù)為度.三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，長方形ABCD中，AD∥BC，E為邊BC上一點(diǎn)，將長方形沿AE折疊（AE為折痕），使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，EG平分∠CEF交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作HG⊥EG交AD于點(diǎn)H．（1）請(qǐng)判斷HG與AE的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若∠CEG＝20°，請(qǐng)利用平行線相關(guān)知識(shí)求∠DHG的度數(shù)．20．（8分）（2021下·河南開封·七年級(jí)?？计谀┤鐖D1，在長方形紙片中，，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，將長方形沿著折疊，如圖2，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作，交線段于點(diǎn)H．（1）求證：．（2）①判斷是否平分，并說明理由；②若，求的度數(shù)．21．（10分）（2020下·北京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）喜歡思考的小澤同學(xué)，設(shè)計(jì)了一種折疊紙條的游戲．如圖1，紙條的一組對(duì)邊PN∥QM（紙條的長度視為可延伸），在PN，QM上分別找一點(diǎn)A，B，使得∠ABM＝．如圖2，將紙條作第一次折疊，使與BA在同一條直線上，折痕記為．解決下面的問題：（1）聰明的小白想計(jì)算當(dāng)α＝90°時(shí)，∠的度數(shù)，于是他將圖2轉(zhuǎn)化為下面的幾何問題，請(qǐng)幫他補(bǔ)全問題并求解：如圖3，PN∥QM，A，B分別在上，且∠ABM＝90°，由折疊：平分_________，∥，求∠的度數(shù)．（2）聰穎的小桐提出了一個(gè)問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿AR1折疊紙條（如圖4），是否有可能使⊥BR1？如果能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．（3）笑笑看完此題后提出了一個(gè)問題：當(dāng)0°<≤90°時(shí)，將圖2記為第一次折疊；將紙條展開，作第二次折疊，使與BR1在同一條直線上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使與BR2在同一條直線上，折痕記為BR3；…以此類推．①第二次折疊時(shí)，∠＝_____________（用的式子表示）；②第n次折疊時(shí)，∠＝____________（用和n的式子表示）．22．（10分）（2019上·北京西城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖①所示的三角形紙片內(nèi)部有一點(diǎn)P．任務(wù)：借助折紙?jiān)诩埰袭嫵鲞^點(diǎn)P與BC邊平行的線段FG．閱讀操作步驟并填空：小謝按圖①～圖④所示步驟進(jìn)行折紙操作完成了畫圖任務(wù)．

在小謝的折疊操作過程中，（1）第一步得到圖②，方法是：過點(diǎn)P折疊紙片，使得點(diǎn)B落在BC邊上，落點(diǎn)記為，折痕分別交原AB，BC邊于點(diǎn)E，D，此時(shí)∠即∠=__________°；（2）第二步得到圖③，參考第一步中橫線上的敘述，第二步的操作指令可敘述為：_____________，并求∠EPF的度數(shù)；（3）第三步展平紙片并畫出兩次折痕所在的線段ED，F(xiàn)G得到圖④．完成操作中的說理：請(qǐng)結(jié)合以上信息證明FG∥BC．23．（10分）（2019下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖：（1）如圖1，將長方形紙片ABFE沿著線段DC折疊，CF交AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HG∥DC，交線段CB于點(diǎn)G．①判斷∠FHG與∠EDC是否相等，并說明理由；②說明HG平分∠AHC的理由．（2）如圖2，如果將（1）中的已知條件改為折疊三角形紙片ABE，其它條件不變．HG是否平分∠AHC？如果平分請(qǐng)說明理由；如果不平分，請(qǐng)找出∠CHG，∠AHG與∠E的數(shù)量關(guān)系并說明理由．24．（12分）（2017下·湖北宜昌·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，點(diǎn)E、F分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P在AB、CD之間，連結(jié)EP、FP，如圖1，過FP上的點(diǎn)G作GHEP，交CD于點(diǎn)H，且∠1=∠2．（1）求證：ABCD；（2）如圖2，將射線FC沿FP折疊，交PE于點(diǎn)J，若JK平分∠EJF，且JKAB，則∠BEP與∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，將射線FC沿FP折疊，將射線EA沿EP折疊，折疊后的兩射線交于點(diǎn)M，當(dāng)EM⊥FM時(shí)，求∠EPF的度數(shù)．參考答案：1．D【分析】分別利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得出答案即可．解：①∵∠2=∠4，∴AD∥BC（同位角相等兩直線平行），符合題意；②∵∠2+∠3=180°，∠5+∠3=180°，∴∠5=∠2，∴GF∥HE，因?yàn)镚F和HE是由DF和CE折疊得到的，∴FD∥EC，即AD∥EC，符合題意；③∠1=∠6，由折疊性質(zhì)知∠1=∠FEC，∴∠6=∠FEC，∴AD∥BC，符合題意：④由折疊的性質(zhì)知,∠GFE=∠DFE，∴∠DFE=∠5+∠6，∵∠6+∠DFE=180°，∴∠5+2∠6=180°，∵∠4=∠5，∴∠4+2∠6=180°，又∵∠4+2∠1=180°，∴∠6=∠1=∠FEC，∴AD∥BC，符合題意.故答案為：D.【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的判定，平行線的判定方法有：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，熟練掌握平行線的判定是解本題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)即可判斷①，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可判斷②，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)對(duì)等角相等可得，即可判斷③，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，即可判斷④，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可判斷⑤解：∵∴∵折疊，∴，∴，故①正確；∵∴又∴∴，故②正確∵∴又∴，故③正確

∵，,又∴∴∵∴，故④正確；根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，故⑤正確，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】過點(diǎn)A作，故，由長方形的性質(zhì)可得，結(jié)合折疊的性質(zhì)推證，故．解：過點(diǎn)A作，

∴，四邊形是長方形，，，，由折疊得：，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)和判定；根據(jù)相關(guān)定理熟練的在“直線的平行關(guān)系”和“角之間的數(shù)量關(guān)系”間轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】由翻折的性質(zhì)和長方形的性質(zhì)可得出：，，據(jù)此可得，，再根據(jù)得，根據(jù)得，據(jù)此可求出，進(jìn)而可求出的度數(shù)．解：由翻折的性質(zhì)得：，，∵四邊形為長方形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，即：，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了圖形的翻折變換和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，利用圖形翻折性質(zhì)及平行線的性質(zhì)準(zhǔn)確的找出相關(guān)的角的關(guān)系．5．C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而得出解：如圖所示，

根據(jù)折疊可得，，設(shè)∵，∴，，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴即又∵，即解得：,∴故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由折疊得：，，從而得到與的和．利用兩個(gè)平角求出與的和，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于即可求出答案．解：長方形，，，，，由折疊得：，，，，在中，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．7．A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可判斷①③；再利用平行線的性質(zhì)可得、的度數(shù)，即可判斷②；再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，即可判斷④解：∵四邊形ABCD是長方形∴由折疊的性質(zhì)可得故①正確故③正確故②正確又由折疊的性質(zhì)可得：故④正確故選：A【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．8．D【分析】分兩種情況討論，①當(dāng)在上方時(shí)，延長、相交于點(diǎn)，根據(jù)，推出，得到，求出的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；②當(dāng)在下方時(shí)，延長、相交于點(diǎn)，根據(jù)，推出，得到，再根據(jù)即可求解．解：①當(dāng)在上方時(shí)，延長、相交于點(diǎn)，如圖所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②當(dāng)在下方時(shí)，延長、相交于點(diǎn)，如圖所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折、平行線的判定和性質(zhì)、對(duì)頂角等知識(shí)點(diǎn)，分情況討論，畫出對(duì)應(yīng)圖形進(jìn)行求解是解答本題的關(guān)鍵．9．B【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求出∠BAB′的度數(shù)，根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：∵四邊形ABCD是長方形，∠ADB=20°，∴∠ABD=70°．∵AB′∥BD，∴∠BAB′=110°．∵△AB′F由△ABF翻折而成，∴∠BAF=∠BAB′=55°．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．10．C【分析】根據(jù)折疊可直接得到折痕AB與直線m之間的位置關(guān)系是垂直，折痕CD與第一次折痕之間的位置關(guān)系是垂直；然后根據(jù)平行線的判定條件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD．解：第一次折疊后，得到的折痕AB與直線m之間的位置關(guān)系是垂直，將正方形紙展開，再進(jìn)行第二次折疊（如圖（4）所示），得到的折痕CD與第一次折痕之間的位置關(guān)系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥m，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∵∠3=∠1，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），故③正確；∵∠4=∠2，∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故④正確；綜上分析可知，正確的是①②，故C正確．故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行線的判定，以及翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．11．/50度【分析】根據(jù)題意，得，結(jié)合，代入計(jì)算即可．解：如圖，根據(jù)題意，得，∵，∴，解得．

故答案為：50．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．68°/68度【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠DEF的度數(shù)，再根據(jù)折疊求得∠DEG的度數(shù)，最后計(jì)算∠AEG的大?。猓骸咴诰匦蜛BCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝56°，由折疊可得，∠GEF＝∠DEF＝56°，∴∠DEG＝112°，∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°．故答案為：68°．【點(diǎn)撥】本題以折疊問題為背景，主要考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、折疊性質(zhì)，解題時(shí)注意：矩形的對(duì)邊平行，且折疊時(shí)對(duì)應(yīng)角相等．13．【分析】由折疊性質(zhì)得，由平移的性質(zhì)可得，，，再由，可得四邊形的周長為：．解：∵沿折疊點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴，∵沿向右平移若干單位長度后恰好能與邊重合，∴，∵，∴，，∴陰影部分的周長為：，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了翻折和平移變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要能夠根據(jù)折疊和平移的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)的線段相等，從而求得陰影部分周長．14．或或【分析】分時(shí)和時(shí)，利用折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和求解即可．解：當(dāng)時(shí)，如圖，則，由折疊性質(zhì)得：，，，當(dāng)時(shí)，如圖，則，；當(dāng)時(shí)，如圖，則，由折疊性質(zhì)得：，綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)撥】本題考查折疊性質(zhì)、平行線性質(zhì)，熟練掌握折疊性質(zhì)，利用分類討論思想，結(jié)合圖形進(jìn)行角的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．15．【分析】設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行線性質(zhì)可得∠ADF=180°m，則∠ADC=180°m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度數(shù)．解：設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°m，∴∠ADC=180°m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO∠CDE=．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的有關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．16．130【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B′DC=80°，進(jìn)而得到∠BDB′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．解：由折疊的定義得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，∵EB′∥BC，∴∠B′=∠B′DC=80°，∴∠BDB′=180°∠B′DC=100°，∴∠BDE=∠B′DE=50°，∴∠CDE＝180°∠BDE=130°．故答案為：130【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的定義，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并根據(jù)圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．17．58°【分析】由題意得AE∥BD，由此可求得，繼而求得∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得答案．解：∵四邊形是長方形，∴，∵，，∴，∴，∵折疊，∴．故填：58°．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等；也考查了兩直線平行的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)．18．【分析】從長方形中抓出隱含條件A'D'∥BC，得出∠BCE=∠CED'，求∠CED'的大小只需根據(jù)折疊規(guī)律、平角知識(shí)和角的和差求出∠CED'大小即求出∠BCE．解：折疊后的圖形如下：∵∠ABE=30°，∴∠BEA'=∠BAE=60°，又∵A'D'∥BC，∴∠BCE=∠CED'，又∵∠CED'=∠CED，∴∠BCE=∠CED'=∠CED，又∵∠DEC=∠DED'，∴∠DEC=（180°∠A'EA+∠AED）=（180°120°+n°）=（30+）°，∴∠BCE=（30+）°故答案為：（30+）．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了以長方形、平行線、兩角互余的性質(zhì)，圖形的折疊特性、平角及角的和等知識(shí)為背景的角的計(jì)算，同時(shí)也可以用平角建立等量關(guān)系，方程的思想求解更簡單．19．（1）HG∥AE，理由見分析；（2）∠DHG＝70°．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AEB=∠AEF，根據(jù)角平分線定義及垂直的定義得AE⊥EG，最后由平行的判定可得結(jié)論；（2）由余角的性質(zhì)得∠AEB=70°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案．解：（1）平行，理由如下：∵長方形沿AE折疊，∴∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF交CD于點(diǎn)G，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥ED，∴HG∥AE；（2）∵∠CEG＝20°，∴∠AEB＝70°，∵長方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．【點(diǎn)撥】此題考查了折疊問題及平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）①平分，見分析；②64°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AGC=∠AFD，∠AGH=∠AFE，于是得到∠CGH=∠DFC；①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到和角平分線的定義即可得到結(jié)論；②由折疊的性質(zhì)得到∠EFG=∠1，根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．解：（1）證明：∵四邊形是長方形，，∴．∵，∴．∵，∴．（2）①平分．理由：（解法不唯一）如圖，延長．∵，∴，．∵，∴．∴．∵將一長方形紙片沿著折疊，∴，∴，∴，∴平分．②∵，，∴．∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．21．（1）∠ABM，∠＝135°；（2）能，60°；（3）180°－，180°－【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）求證當(dāng)α=60°時(shí)，使，由折疊對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出結(jié)論；（3）①根據(jù)折疊和平行線的性質(zhì)可求出，同理可求出；②由①可得到規(guī)律得出．解：（1）由折疊得，，∴平分∠ABM，∵∠ABM＝90°，∴，∵，∴，∴；故答案為：∠ABM；（2）α=60°；由折疊可得，，，，∴，∴，∴；（3）①如圖，由折疊得，，∴，，∴，∴；同理可得，，∴，故答案為：；②由①可得，由此可以得出：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題利用了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化．還考查了平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．22．（1）90；（2）過點(diǎn)P折疊紙片，使得點(diǎn)D落在PE上，落點(diǎn)記為，折痕交原AC邊于點(diǎn)F；（3）見分析【分析】（1）根據(jù)折疊得到，利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的操作指令即可寫出第二步；（3）根據(jù)（1）（2）的操作過程即可證明結(jié)論．解：

（1）因?yàn)椋核裕汗蚀鸢笧椋?/p>

（2）過點(diǎn)P折疊紙片，使得點(diǎn)D落在PE上，落點(diǎn)記為，折痕交原AC邊于點(diǎn)F．由折疊過程可知∠=∠EPF=∠DPF，

∵三點(diǎn)共線，∴∠＋∠DPF=180°，∴∠=90°，∴∠EPF=90°．

（3）完成操作中的說理：∵∠EDC=90°，∠EPF=90°，∴∠EDC=∠EPF，

∴FG∥BC．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖復(fù)雜作圖、平行線的判定和性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解操作過程．23．（1）①∠FHG=∠EDC，見分析；②見分析；（2）HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E，見分析.【分析】（1）①根據(jù)平行線性質(zhì)得∠EDA＝∠FHA，∠ADC＝∠AHG，由角的計(jì)算即可得證.②HG平分∠AHC，理由如下：將圖形折回到其原始狀態(tài)，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，由折疊性質(zhì)知：∠FCD＝∠DCM，根據(jù)平行線性質(zhì)得：∠DCM＝∠HGC，∠DCH＝∠CHG，∠CGH＝∠AHG，等量代換得∠CHG＝∠AHG，根據(jù)角平分線定義即可得證.（2）HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E；理由如下：如圖：延長線段AD和BC交于點(diǎn)F，根據(jù)平行線性質(zhì)得：∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，∠AHG＝∠ADC，由三角形內(nèi)角和定理、等量代換即可得證.解：（1）①如圖1，

∵DE∥CF，∴∠EDA＝∠FHA（兩直線平行，同位角相等），∵HG∥DC，∠A