專題03一元一次方程（原卷版）

專題03一元一次方程核心考點(diǎn)聚焦1、能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；2、能解一元一次方程；3、通過(guò)用方程表述數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)；4、在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問(wèn)題的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。一、一元一次方程的概念1.方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2.一元一次方程：只含有一個(gè)，未知數(shù)的次數(shù)都是，這樣的方程叫做一元一次方程．注：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是，即分母中不含未知數(shù)．3.方程的解：使方程的左、右兩邊的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解．4.解方程：求方程的叫做解方程．二、等式的性質(zhì)與去括號(hào)法則1.等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)的數(shù)，結(jié)果仍相等．2.合并法則：合并時(shí)，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持．3.去括號(hào)法則：（1）括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)．（2）括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)．三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的．(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并：逆用律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．四、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間2.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率3.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品－商品4.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量5.銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金××期數(shù)6.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：.考點(diǎn)剖析例1：把等式變形為是根據(jù)（

）．A．等式左右兩端都加上 B．在等式左右兩端都加上C．在等式左右兩端都加上 D．在等式左右兩端都加上變式11：若是方程的解，則代數(shù)式的值是．變式12：已知：(1)求的值(結(jié)果用化簡(jiǎn)后含a、b的式子表示)；(2)在(1)的條件下，若是方程的解，求a的值；(3)若的值與a的取值無(wú)關(guān)，求b的值．例2：已知與互為相反數(shù)，則m的取值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9變式21：已知方程與的解相同，則k的值為．變式22：解下列方程：(1)；(2)．例3：解方程時(shí)，去分母正確的是（

）A． B．C． D．變式31：已知關(guān)于的方程的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和為．變式32：解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．例4：某輪船在靜水中的速度為，水流速度為，該船從甲碼頭順流航行到乙碼頭，再返回甲碼頭，共用時(shí)（不計(jì)停留時(shí)間），設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離為，則可列方程為（）A． B．C． D．變式41：已知一條筆直的公路旁依次有A，B，C三地，A、B兩地相距30千米，小明乘車(chē)從A地出發(fā)，以每小時(shí)30千米的速度駛向C地，同時(shí)小麗乘車(chē)從B地出發(fā)，以每小時(shí)20千米的速度駛向C地，當(dāng)兩人相距10千米時(shí)，兩人乘車(chē)的時(shí)間為小時(shí)．變式42：某客運(yùn)公司的甲、乙兩輛客車(chē)分別從相距380千米的，兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，并以各自的速度勻速行駛，兩車(chē)行駛2小時(shí)時(shí)甲車(chē)先到達(dá)服務(wù)區(qū)地，此時(shí)兩車(chē)相距20千米，甲車(chē)在服務(wù)區(qū)地休息了20分鐘，然后按原速度開(kāi)往地；乙車(chē)行駛2小時(shí)10分鐘時(shí)也經(jīng)過(guò)地，未停留繼續(xù)開(kāi)往地．(1)求甲、乙兩車(chē)行駛的速度分別是多少千米/小時(shí)：(2)乙車(chē)出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間，兩車(chē)相距200千米？例5：一件工程甲單獨(dú)完成需要20小時(shí)，乙單獨(dú)完成需要12小時(shí)，現(xiàn)由甲先單獨(dú)做4小時(shí)，然后乙加入合做直到完成，共需合做（

）A．6小時(shí) B．5小時(shí) C．4小時(shí) D．7.5小時(shí)變式51：一項(xiàng)工程甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需90天．若由甲隊(duì)先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作天可以完成此項(xiàng)工程．變式52：第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年在中國(guó)黑龍江省哈爾濱市舉行，為了迎接亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)，現(xiàn)要修一條公路，甲工程隊(duì)單獨(dú)修需30天完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要的天數(shù)是甲工程單獨(dú)完成天數(shù)的少1天．(1)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要多少天？(2)若甲先單獨(dú)修5天，之后甲乙合作修完這條公路，求甲乙還需合作幾天修完這條路？例6：某種商品進(jìn)價(jià)為200元，標(biāo)價(jià)400元，由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷售，但要保證利潤(rùn)率為，則該商店應(yīng)打（

）A．9折 B．8折 C．7折 D．6折變式61：某商店把一種商品按標(biāo)價(jià)的九折出售，獲得的利潤(rùn)是進(jìn)價(jià)的，該商品的標(biāo)價(jià)為每件288元，則該商品的進(jìn)價(jià)為每件元．變式62：蕪湖市一商場(chǎng)經(jīng)銷的A、B兩種商品，A種商品每件售價(jià)60元，利潤(rùn)率為；B種商品每件進(jìn)價(jià)為50元，售價(jià)80元．(1)A種商品每件進(jìn)價(jià)為元，每件B種商品利潤(rùn)率為．(2)若該商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價(jià)為2100元，求購(gòu)進(jìn)A種商品多少件？(3)在“春節(jié)”期間，該商場(chǎng)只對(duì)、兩種商品進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷活動(dòng)：打折前一次性購(gòu)物總金額優(yōu)惠措施少于等于450元不優(yōu)惠超過(guò)450元，但不超過(guò)600元按總售價(jià)打九折超過(guò)600元其中600元部分八折優(yōu)惠，超過(guò)600元的部分打七折優(yōu)惠按上述優(yōu)惠條件，若小華一次性購(gòu)買(mǎi)A、B商品實(shí)際付款522元，求若沒(méi)有優(yōu)惠促銷，小華在該商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)同樣商品要付多少元？難點(diǎn)1：一元一次方程的新定義計(jì)算類似于運(yùn)算符號(hào)“，，，”，新定義一種運(yùn)算符號(hào)“”，觀察下列運(yùn)算：；；；；(1)歸納：用代數(shù)式表示的結(jié)果為：______．(2)若，求的值．(3)若，請(qǐng)計(jì)算的值．(4)比較與的大小，并說(shuō)理由．難點(diǎn)2：一元一次方程的新定義方程定義：關(guān)于的方程與方程（，均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對(duì)方程”，例如：方程與方程互為“反對(duì)方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程互為“反對(duì)方程”，則_____．(2)若關(guān)于的方程與方程互為“反對(duì)方程”，求的值．(3)若關(guān)于的方程與其“反對(duì)方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)的值．難點(diǎn)3：循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)借助方程可將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)．例如，在將化為分?jǐn)?shù)時(shí)，可設(shè)．由…可知，…．所以．所以．解這個(gè)方程，得，即．(1)將化為分?jǐn)?shù)，填寫(xiě)下面的空格：設(shè)，由…可知，…．所以．所以______．解這個(gè)方程，得______．(2)將化為分?jǐn)?shù)．難點(diǎn)4：一元一次方程的數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)如圖，是最小的正整數(shù)，且．(1)填空：，，；(2)在數(shù)軸上，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)在之間（不含，兩點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：；(3)在（1）（2）的條件下，點(diǎn)，，開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從原點(diǎn)開(kāi)始以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)始終在之間（不含，兩點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在，使得的值不隨著時(shí)間的變化而變化．若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．難點(diǎn)5：一元一次方程的幾何動(dòng)點(diǎn)已知長(zhǎng)方形中，，，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在邊；(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用t表示的式子為；(3)點(diǎn)P、Q相遇時(shí)，秒．真題感知1．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．它的代數(shù)成就主要包括開(kāi)方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？”譯文：“相同時(shí)間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長(zhǎng)度單位）”設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（

）A． B． C． D．3．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）把這個(gè)數(shù)填入方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對(duì)角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構(gòu)成了一個(gè)“九宮格”．它源于我國(guó)古代的“洛書(shū)”（圖），是世界上最早的“幻方”．圖是僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的“九宮格”，則其中的值為：（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買(mǎi)羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買(mǎi)羊，若每人出5錢(qián)，還差45錢(qián)；若每人出7錢(qián)，多余3錢(qián)。問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程為．5．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）揚(yáng)州雕版印刷技藝歷史悠久，元代數(shù)學(xué)家朱世杰的《算學(xué)啟蒙》一書(shū)曾刻于揚(yáng)州，該書(shū)是中國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中記載一道問(wèn)題：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問(wèn)快馬幾天追上慢馬？答：快馬天追上慢馬．6．（2020·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代問(wèn)題：以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺，若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，井深幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來(lái)量，井外余繩四尺，把繩四折來(lái)量，井外余繩一尺，井深幾尺？則該問(wèn)題的井深是尺．7．（2019·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一．書(shū)中記載：“今有人共買(mǎi)雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問(wèn)人數(shù)幾何？”意思是：“有若干人共同出錢(qián)買(mǎi)雞，如果每人出九錢(qián)，那么多了十一錢(qián)；如果每人出六錢(qián)，那么少了十六錢(qián)．問(wèn)：共有幾個(gè)人？”設(shè)共有個(gè)人共同出錢(qián)買(mǎi)雞，根據(jù)題意，可列一元一次方程為．8．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”其大意是：今有幾個(gè)人共同出錢(qián)購(gòu)買(mǎi)一件物品．每人出8錢(qián)，剩余3錢(qián)；每人出7錢(qián)，還缺4錢(qián)．問(wèn)人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？請(qǐng)你求出以上問(wèn)題中的人數(shù)和物品價(jià)格．9．（2019·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在相距個(gè)單位長(zhǎng)度的直線跑道上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)、之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)、之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)．興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．【觀察】①觀察圖，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為_(kāi)____個(gè)單位長(zhǎng)度；②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為_(kāi)____個(gè)單位長(zhǎng)度；【發(fā)現(xiàn)】設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間