專(zhuān)題03分式及其運(yùn)算（原卷版）

主題一數(shù)與式專(zhuān)題03分式及其運(yùn)算目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢(shì)，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識(shí)記）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一分式有意義的條件?考向二分式的值為零的條件?考向三分式的值?考向四分式的乘除法?考向五分式的加減法?考向六分式的混合運(yùn)算?考向七分式的化簡(jiǎn)求值?考向八零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.了解分式和最簡(jiǎn)分式的概念；2.能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；3.能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除法運(yùn)算．分式是歷年中考的考察重點(diǎn)，年年考查，分值為10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)重視對(duì)分式的有關(guān)概念、分式的性質(zhì)和分式的混合運(yùn)算等的考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。分式的概念1.分式的概念：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式?！咀⒁狻緼、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。2.因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．3.分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線(xiàn)可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)的作用．4.分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡(jiǎn)．5.分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱(chēng)之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因?yàn)閥﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式．分式有意義的條件1.分式有意義的條件是分母不等于零．2.分式無(wú)意義的條件是分母等于零．3.分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào)．4.分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào)．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．分式的值分式求值歷來(lái)是各級(jí)考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問(wèn)題的特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．分式的基本性質(zhì)及其運(yùn)用1.分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。；（C≠0）。2.分式的約分和通分（1）約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。（2）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。（3）最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式。（4）最簡(jiǎn)公分母：各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡(jiǎn)公分母。【注意1】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式。【注意2】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母。分式的乘除法1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．3.分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．4.分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．分式的加減法1.同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．2.異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說(shuō)明：（1）分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．（2）通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡(jiǎn)單的形式；通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的．分式的混合運(yùn)算1.分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．2.最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．3.分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．分式的化簡(jiǎn)求值先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問(wèn)題1．化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值．化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．2．代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．?考向一分式有意義的條件解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒分式的三要素：（1）形如的式子；（2）均為整式；（3）分母中含有字母．1．（2023?廣西）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠22．（2023?鎮(zhèn)江）使分式有意義的x的取值范圍是．3．（2022?南京）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．?考向二分式的值為零的條件解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒分式的意義：（1）有意義的條件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．（2）無(wú)意義的條件是分母為0．（3）分式值為0要滿(mǎn)足兩個(gè)條件，分子為0，分母不為0．4．（2023?涼山州）分式的值為0，則x的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．0或15．（2023?常州）若代數(shù)式的值是0，則實(shí)數(shù)x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．（2023?湖州）若分式的值為0，則x的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3?考向三分式的值解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：①公式中的a，b可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；②對(duì)形如兩數(shù)和（或差）的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式；③對(duì)于三項(xiàng)的可以把其中的兩項(xiàng)看做一項(xiàng)后，也可以用完全平方公式．7．（2022?百色）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，分式的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．158．（2022?湖州）當(dāng)a＝1時(shí)，分式的值是．9．（2022?福建）已知非零實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足y＝，則的值等于．?考向四分式的乘除法解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．10．（2023?河北）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y611．（2022?德陽(yáng)）下列計(jì)算正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．＝1 C．a(chǎn)÷a?＝a D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6?考向五分式的加減法解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒有關(guān)代數(shù)式的常見(jiàn)題型為用代數(shù)式表示數(shù)字或圖形的變化規(guī)律.數(shù)與圖形的規(guī)律探索問(wèn)題，關(guān)鍵要能夠通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想與歸納找出數(shù)或圖形的變化規(guī)律，并用代數(shù)式表示出來(lái).12．（2023?廣東）計(jì)算的結(jié)果為（）A． B． C． D．13．（2023?河南）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．0 B．1 C．a(chǎn) D．a(chǎn)﹣214．（2023?溫州）計(jì)算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；﹣．?考向六分式的混合運(yùn)算解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒1.整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．2．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．15．（2023?濟(jì)寧）已知一列均不為1的數(shù)a1，a2，a3，…，an滿(mǎn)足如下關(guān)系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，則a2023的值是（）A．﹣ B． C．﹣3 D．216．（2023?綏化）化簡(jiǎn)：（﹣）÷＝．17．（2023?襄陽(yáng)）化簡(jiǎn)：（1﹣）÷．?考向七分式的化簡(jiǎn)求值解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒1．注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式或整式．2．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．18．（2023?武漢）已知x2﹣x﹣1＝0，計(jì)算的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣219．（2023?衡陽(yáng)）已知x＝5，則代數(shù)式﹣的值為．20．（2023?湘潭）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+）?，其中x＝6．?考向八零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算21．（2023?攀枝花）計(jì)算﹣10，以下結(jié)果正確的是（）A．﹣10＝﹣1 B．﹣10＝0 C．﹣10＝1 D．﹣10無(wú)意義22．（2023?綏化）計(jì)算|﹣5|+20的結(jié)果是（）A．﹣3 B．7 C．﹣4 D．623．（2023?重慶）計(jì)算：2﹣1+30＝．1．（2020?隨州）÷的計(jì)算結(jié)果為（）A． B． C． D．2．（2023?赤峰）化簡(jiǎn)+x﹣2的結(jié)果是（）A．1 B． C． D．3．（2023?南充）若＝0，則x的值為．4．（2023?上海）化簡(jiǎn)：﹣的結(jié)果為．5．（2023?福建）已知+＝1，且a≠﹣b，則的值為．6．（2023?大慶）若x滿(mǎn)足（x﹣2）x+1＝1，則整數(shù)x的值為．7．（2023?湖北）計(jì)算：＝．8．（2023?北京）已知x+2y﹣1＝0，求代數(shù)式的值．9．（2023?揚(yáng)州）計(jì)算：（1）（2﹣）0﹣+tan60°；