專(zhuān)題2210相似形章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）

專(zhuān)題22.10相似形章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例進(jìn)行求值或證明】 1【題型3利用相似三角形的判定與結(jié)論求長(zhǎng)度】 13【題型4利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】 20【題型5利用相似三角形的判定與結(jié)論求最值】 28【題型6利用相似三角形的判定與結(jié)論解決規(guī)律探究問(wèn)題】 37【題型7利用相似三角形的判定與結(jié)論解決動(dòng)態(tài)探究問(wèn)題】 42【題型8利用相似三角形的判定與結(jié)論解決多結(jié)論問(wèn)題】 51【題型9利用相似三角形的判定與結(jié)論解決新定義問(wèn)題】 60【題型10利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中作圖】 69【題型1利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例進(jìn)行求值或證明】【例1】（2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問(wèn)題：角平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABAC下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分；(2)如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)9+3【分析】（1）過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到BDCD=BAEA，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以（2）先利用勾股定理計(jì)算出AC=5，再利用（1）中的結(jié)論得到ACAB=CDBD，即53=CD【詳解】（1）證明：如圖2，過(guò)C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于∵CE∥∴BDCD=BAEA，∠2＝∠ACE，∠1∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴ABAC（2）解：如圖3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=∵AD平分∠BAC，∴ACAB=CD∴BD=∴AD=∴△ABD的周長(zhǎng)=3【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，勾股定理，掌握平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，理解角平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理是關(guān)鍵．【變式11】（2023春·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿著AD翻折得到△ADC'，連接BC'交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)M是EC

【答案】3【分析】如圖所示，連接EN，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥AD于點(diǎn)T，MN與AD交于點(diǎn)K，可證△BCC',△EDC',△ETM都是等腰直角三角形，點(diǎn)E是BC',AD【詳解】解：如圖所示，連接EN，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥AD于點(diǎn)T，MN與AD交于點(diǎn)

∵四邊形ABCD是矩形，2AB∴∠ADC=90°，AB=∵△ADC沿著AD翻折得到△∴∠ADC=∠ADC'∴△BCC'∵DE∥∴∠DEC'∴△EDC'在Rt△EDC'中，點(diǎn)M是EC∴MT∥∴EMEC=ET∴ET=32，即點(diǎn)T∴MT是△EDC'∵BC=6，DE∴點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，∴NE是△ADC∴NE∥CD，∴MT=∵M(jìn)T⊥∴∠MTK∵NE∥CD∴∠NEK∴∠NEK=90°，即∴∠MTK在△MTK∠MTK∴△MTK∴MK=NK，∴點(diǎn)K是ET的中點(diǎn)，∴TK=∴在Rt△MTK中，∴MN=2故答案為：35【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線(xiàn)的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC，PF∥AB，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若S

【答案】24【分析】過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)R，作PM⊥AD于M，交CB于點(diǎn)N，根據(jù)已知先求出S?ABCD=AD?MN=10，然后求出S【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)R，作PM⊥AD于M，交

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴PR⊥CD，∵S△PAD=1，S∴S△∴S?∴12∴S△∴S△PADS∵PE∥BC，∴四邊形PEBF是平行四邊形，∵AM∥∴AEB∴PQ=35∴S四邊形故答案為：245【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，此題的計(jì)算和推理過(guò)程較為復(fù)雜，求出PQ=35【變式13】（2023春·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．(1)如圖①，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC=4①若CD=3，AC⊥CD于點(diǎn)C②若AD=DC，∠ADC(2)如圖②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，且BP=2PD，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，要使四邊形【答案】(1)①41；②4(2)滿(mǎn)足條件的AE的長(zhǎng)為12【分析】（1）①根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)勾股定理求出AD的值；②連接AC、BD，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作EC⊥BC，交BD于點(diǎn)E，證明BD垂直平分AC，得出AF=CF，證明∠ECD=∠CDE，得出CE（2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，推出四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件．若EF與BC不垂直，當(dāng)AE=【詳解】（1）解：①連接AC，如圖所示：∵AB=BC=4∴AC=∵AC⊥∴∠ACD∴AD=②連接AC、BD，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作EC⊥BC，交BD于點(diǎn)則∠BCE∵AB=BC=4∴∠BAC∴∠ECF∵AB=BC，∴B、D在線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)上，∴BD垂直平分AC，∴AF=CF，∵AD=∴∠CDF∴∠DCF∴∠ECD∴∠ECD∴CE=∵AB=BC，∴∠CBF∵∠BCE∴∠BEC∴∠BEC∴CE=∴DE=CE=4∴BD=（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD=6，AD=BC若EF⊥則四邊形AEFB和DEFC為矩形，∴EF=AB=6，DE∵AD∥∴△DEP∴DEBF∵DE+∴DE=5，BF∴AE=∴AE≠EF，∴四邊形ABFE不可能是等腰直角四邊形；若EF與BC不垂直，當(dāng)AE=∵AE=∴DE=∵AD∥∴△DEP∴DEBF∴BF=2∵18>15，∴此時(shí)點(diǎn)F不在邊BC上，不符合題意；若EF與BC不垂直，當(dāng)BF=此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形，∴BF=∵DE∥∴△DEP∴DEBF∴DE=∴AE=綜上所述，滿(mǎn)足條件的AE的長(zhǎng)為12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，作出輔助線(xiàn)，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合，注意分類(lèi)討論．【題型2利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中求值】【例2】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上，連接AC、BD相交于點(diǎn)E，若小正方形的邊長(zhǎng)為【答案】6【分析】證明△ABE【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)∵AB∥∴∠BAE=∠DCE，∠∴△ABE∴EMEN∵M(jìn)N=3∴EM=23+2×3=65，即點(diǎn)故答案為65【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．【變式21】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在方格紙中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BACA．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，利用勾股定理求得△ABC、△EDF各邊長(zhǎng)，進(jìn)而證明△ABC【詳解】解：∵AB=DE=∵52∴ABDE∴△ABC∴∠ABC∴∠BAC故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、F在網(wǎng)格中的格點(diǎn)處，AF與BC相交于點(diǎn)E，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則陰影部分△DEF的面積等于

【答案】9【分析】先證明△ABE∽△ECF，設(shè)△CEF的高為h【詳解】解：

∵AB∥CD，AB=∴∠ABE∵∠AEB∴△ABE設(shè)△CEF的高為h，AM∴ABCF∴h=∴陰影部分△DEF的面積1故答案為：92【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023秋·福建福州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為格點(diǎn)，則∠BAC-∠

【答案】45°【分析】在正方形網(wǎng)格中，連接正方形的頂點(diǎn)，作出Rt△EFD和Rt△EGD，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則有EG=12+12=2，F(xiàn)G=1，AG=2，可知【詳解】解：如圖，在正方形網(wǎng)格中，連接正方形的頂點(diǎn)，得到Rt△EFD和

設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則有EG=12+1∴EGAG=2∴EG∵∠EGF∴△EGF∴∠EFG∴∠EFG∴∠EFG又∵AB=DE=1，∠∴△CBA∴∠BAC∴∠BAC即有：∠BAC故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，求得△EGF【題型3利用相似三角形的判定與結(jié)論求長(zhǎng)度】【例3】（2023·黑龍江綏化·?？既＃┰?ABCD中，AH⊥BD，垂足為H，∠ABD為銳角，且∠ABH=∠DAH，若AH【答案】10或15或7【分析】如圖，設(shè)DH=【詳解】解：當(dāng)AH在△ABD內(nèi)部時(shí)，如圖，設(shè)DH∵AH∴∠AHB∵∠ABH∴△DAH∴DHAH∴x6整理得：x2解得x=2或3∴DH=2或∴BC=AD當(dāng)AH在△ABD外部時(shí)，設(shè)DH∵△HAB∴A∴6=x∴x∴x=1，∴DH=1∴BC故答案為10或15或7．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式31】（2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=12，如果將矩形沿直線(xiàn)l翻折后，點(diǎn)B落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線(xiàn)l分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，如果BN=6.5，那么AM的長(zhǎng)為

【答案】9【分析】連接NE，構(gòu)造直角三角形，依據(jù)折疊的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到CN的長(zhǎng)以及BC的長(zhǎng)，再根據(jù)△BMN∽△CBE，得到比例式求出BM【詳解】解：如圖，連接NE，∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB∵E為CD∴CE∵將矩形沿直線(xiàn)l翻折后，點(diǎn)B落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線(xiàn)l分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，∴MN⊥BE在Rt△CNE中，∴AD∵∠MBE+∠BMN∴∠BMN又∵∠NBM∴△BMN∴BMBC=BN∴BM∴AM故答案為：94

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．【變式32】（2023·河南鄭州·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A0,6，B-10,0，把△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A'，B'，連接AB'．當(dāng)點(diǎn)B'

【答案】18【分析】過(guò)點(diǎn)B'作B'D⊥OB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A'作A'C⊥OC于點(diǎn)C，易得AB'=OD【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B'作B'D⊥OB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A

∵AB'⊥y軸，∴四邊形AB∴AB由題意可知，OA=6，OB∵A∴∠B由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，OB'=在Rt△B'∵∠A∴∠BO又∵∠A∴∠BO∴△B∴B'O解得OC=185∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為18故答案為：185【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)【變式33】（2023·安徽合肥·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等腰直角ΔABC與等腰直角ΔCDE的直角頂點(diǎn)C重合．DE與AC相交于F，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于G，連接BD．

(1)如圖1，求證：AC?(2)如圖2，B，D，E在同一條直線(xiàn)上，取AB的中點(diǎn)M，分別連接MC，ME，求證：MC=ME(3)如圖3，過(guò)A作BD的平行線(xiàn)，過(guò)B作AC的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)相交于H，且點(diǎn)H在CG的延長(zhǎng)線(xiàn)上，若BC=2BH，求【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)AH【分析】（1）通過(guò)證明ΔECF∽ΔBCG，得到CECF（2）連接AE，由SAS證明ΔACE≌ΔBCD，得到∠EAC（3）延長(zhǎng)BD與AC交于點(diǎn)P，得到四邊形APBH為平行四邊形，從而得到BH=AP，AH=BP，通過(guò)等量代換可得四邊形PCBH為矩形，得到BP=CH，再設(shè)CD【詳解】（1）證明：∵ΔABC、ΔCDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠∴∠E=∠ABC=45∵∠ECA∴∠ECA在ΔECF和ΔBCG中，∠E∴ΔECF∴CE又∵AC∴CECF=（2）連接AE，

在ΔACE和ΔBCD中，AC=∴ΔACE≌ΔBCD（∴∠EAC∵∠DBC+∠BFC=90∴∠EAC+∠AFE=在RtΔAEB中，∵點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，∴EM=又∵CM=∴MC=（3）延長(zhǎng)BD與AC交于點(diǎn)P，連接PH，

∵AH∥BD，∴四邊形APBH為平行四邊形，∴BH=AP，AH又∵BC=2BH，∴AC=2AP，即點(diǎn)P為∵PC=BH，∴四邊形PCBH為平行四邊形，又∵∠ACB∴?PCBH∴BP=CH，點(diǎn)設(shè)CD=x，則CH=∴AHDE【點(diǎn)睛】本題是三角形與四邊形的綜合題目，考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形及矩形的判定性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及判定，構(gòu)造合理的輔助線(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵．【題型4利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】【例4】（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)?？计谥校鰽BC的邊上有D、E、F三點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE

A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8【答案】D【分析】先證明△CAF∽△CBA，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AC=45，得出S【詳解】解：∵BE=7，EF=4，∴BC=7+4+5=16∵∠B=∠FAC∴△CAF∴CACB∴CA∵CA>0∴AC=4∴ACBC∴S△同理可證△BDE∵BD=∴BDBC∴S△∴四邊形ADEF與△ABC的面積比=故選D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．【變式41】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=kx+203過(guò)點(diǎn)A5,0，C2,a，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)D，

(1)求k和a的值；(2)當(dāng)∠AEC與△CDE中的一個(gè)角相等時(shí)，求線(xiàn)段(3)如圖2，連接BE交CD于點(diǎn)H，將點(diǎn)B繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)B'，若點(diǎn)B'到x軸的距離恰好等于OD的長(zhǎng)，求【答案】(1)k=-4(2)OD=2或(3)S【分析】（1）將A5,0代入y=kx+203求出k的值，得出一次函數(shù)解析式，將（2）分三種情況：當(dāng)∠AEC=∠DCE時(shí)，當(dāng)∠（3）連接B'H，B'D，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥B'D于點(diǎn)N，HM⊥BD于點(diǎn)M，證明△BMH≌△B'NHAAS，得出MH=HN，證明四邊形MDNH為正方形，得出∠HDM=∠HDN【詳解】（1）解：將A5,0代入y解得k=-將x=2代入y=-4（2）解：①當(dāng)∠AEC=∠DCE時(shí)，點(diǎn)E②當(dāng)∠AEC=∠CDE時(shí)，此時(shí)CE⊥OA，過(guò)點(diǎn)C

∵C2,4∴OE=CF=2∵CD⊥∴∠CDE∴∠CFD∴∠FDC∴∠FDC∴△CDF∴CFDF設(shè)OD=x，則即24-解得：x1經(jīng)檢驗(yàn)x=2∴OD=2③當(dāng)∠AEC=∠DEC時(shí)，作

∵EC平分∠DEG，CD⊥ED∴CD=∵DF=∴OD=綜上分析可知，OD=2或OD（3）解：連接B'H，B'D，過(guò)