專題11反比例函數(shù)（7類重點考向）（考點回歸）

主題三函數(shù)專題11反比例函數(shù)反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實數(shù)．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．2.性質(zhì)：當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．當k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大注意反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k>0時，y隨x的增大而減?。瑯樱攌<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．反比例函數(shù)解析式的確定1.待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積涉及三角形的面積型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．1.正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2.如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3.如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．同一象限內(nèi)運用k的幾何意義S矩形PAOB＝|k|S△AOP＝eq\f(|k|,2)S△ACP＝eq\f(|k|,2)兩個象限內(nèi)運用k的幾何意義S△ABC＝|k|S△APP1＝2|k|雙反比例函數(shù)中運用k的幾何意義S矩形ABCD＝|k1|－|k2|S△ABO＝eq\f(|k1|－|k2|,2)S△ABC＝S△ABO＝eq\f(|k1|＋|k2|,2)反比例函數(shù)的實際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1.涉及自變量取值范圍型：當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點坐標。針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必