專題23二次函數(shù)與一元二次方程不等式-

專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【基本知識梳理】知識點(diǎn)1：一元二次不等式的概念定義一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0知識點(diǎn)2：一元二次不等式的解法一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【特別注意】(1)零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的不等式對應(yīng)的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取兩邊，小于取中間”的方法得到不等式的解集．(3)不等式的解集必須寫成集合的形式，若不等式無解，則應(yīng)說解集為空集．知識點(diǎn)3：含參的一元二次不等式的解法:在解含參數(shù)的一元二次不等式時常從以下三個方面進(jìn)行考慮(1)不等式類型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)a>0，a<0，a＝0.(2)不等式對應(yīng)的方程根的討論：兩不同實(shí)根(Δ>0)，兩相同實(shí)根(Δ＝0)，無根(Δ<0)．(3)不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.知識點(diǎn)4：解簡單的分式不等式分式不等式的解法(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元二次不等式組求解，但要注意等價變形，保證分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零的形式，然后再用上述方法求解．知識點(diǎn)5：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式間的關(guān)系及應(yīng)用已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循(1)根據(jù)解集來判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號．(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式．(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解．【題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式】【例1】（20232024?高一上?安徽合肥?A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，可得答案.【詳解】由不等式，則，解得.故選：B【變式11】（20232024?高一上?廣東?期中）A． B．C．xx<?2，或 D．，或x>2【答案】B【分析】對于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)的一元二次不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解.【詳解】不等式可化為，解得.故選：B.【變式12】（20232024?高一上?山東臨沂?階段測試）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出不等式的解集，再借助集合的包含關(guān)系及必要不充分條件的定義判斷作答.【詳解】解不等式，得，對于A，真包含于，A是；對于B，，B不是；對于C，真包含于，C不是；對于D，與互不包含，D不是.故選：A【變式13】（20232024?高一上?浙江?期中）（A.不等式的解集為或B.不等式的解集為C.不等式的解集為RD.不等式的解集為【答案】ABD【解析】【分析】直接解不等式即可.【詳解】對選項(xiàng)A：等式的解集為或，故A正確；對選項(xiàng)B：不等式的解集為，故B正確；對選項(xiàng)C：不等式的解集為，故C錯誤；對選項(xiàng)D：不等式，即，解集為，故D正確；故選：ABD【題型2解含有參數(shù)的一元二次不等式】【例2】（20232024?高一下?甘肅?期末）若0<t<1，則關(guān)于的不等式A. B.或 C.或 D.【答案】D【解題思路】先判斷出1t【解答過程】因?yàn)?<t<1，所以1t故t?xx?1t故選：D.【變式21】（20232024?高一上?山東臨沂?月考）求關(guān)于【答案】答案見解析【解析】【分析】分、、三種情況求解即可.【詳解】當(dāng)時，原不等式為，該不等式的解集為.當(dāng)時，，原不等式可化為.①若，則，原不等式的解集為或；②若，則，原不等式的解集為或.綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為或.【變式22】（20232024?高一上?山東泰安?月考【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)a的范圍，分a等于0和a大于0兩種情況考慮：當(dāng)時，把代入不等式得到一個一元一次不等式，求出不等式的解集；當(dāng)a大于0時，把原不等式的左邊分解因式，再根據(jù)a大于1，及a大于0小于1分三種情況取解集，當(dāng)a大于1時，根據(jù)小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；當(dāng)時，根據(jù)完全平方式大于0，得到x不等于1；當(dāng)a大于0小于1時，根據(jù)大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，綜上，寫出a不同取值時，各自的解集即可．【詳解】當(dāng)時，不等式化為，；當(dāng)時，原不等式化為，當(dāng)時，不等式的解為或；當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為或；綜上所述，得原不等式的解集為：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想根據(jù)a的不同取值，靈活利用不等式取解集的方法求出相應(yīng)的解集是解本題的關(guān)鍵．【變式23】（20232024?高一上?山東淄博?期中）（2）求函數(shù)的定義域．【答案】（1）答案見詳解（2）答案見詳解【分析】（1）原不等式可化為，分類討論解集；（2）令，分類討論求定義域.【詳解】（1）原不等式可化為，討論與的大?。佼?dāng)，即時，不等式的解為，或；②當(dāng)，即時，不等式的解為；③當(dāng)，即時，不等式的解為，或；綜上：當(dāng)時，不等式的解集為，或；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為，或；（2）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，?dāng)時，函數(shù)，令，，當(dāng)時，，不等式的解為，當(dāng)時，，即時，不等式的解集為，當(dāng)時，，不等式的解為，或，綜上可知，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，或.【題型3解分式、絕對值不等式】【例3】（20232024?高一上?山東日照?期末）“”是“”的（A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】對化簡，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】不等式可化為，即，即，解得，因?yàn)椤啊辈荒芡瞥觥啊?，“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.【變式31】（20232024?高一上?山東泰安?期中）關(guān)于的不等式A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法求得正確答案.【詳解】由，得，解得，所以不等式的解集為.故選：D【變式32】（20232024?高三上?天津河北區(qū)?期末）設(shè)，則“”是“”的（A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】分別求出兩個命題，得到遞推關(guān)系，最后得到充分性和必要性即可.【詳解】由，解得，由，解得，所以“”是“”的充要條件，故選：C【變式33】（20232024?高三?甘肅?模擬）x?1<x<C．x?1<x<【解題思路】按照x2【解答過程】當(dāng)x2?3x≥0，即x≥3或不等式x2?3x<2?2x等價于x解得?1<x<2，所以?1<x≤0；當(dāng)x2?3x<0，即0<x<3時，不等式x2?3x<2?2x解得x>5+172或x<綜上，不等式x2?3x<2?2x故選：C.【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例4】（20232024?高一上?山東臨沂?期中）已知不等式的解集是或，則（A. B. C.1或 D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集確定不等式的形式為一元二次不等式，再利用根與系數(shù)關(guān)系求解.【詳解】根據(jù)不等式解集可確定，不等式為一元二次不等式，且，令，方程兩根，，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系有，，則有解得，所以.故選：A【變式41】（20232024?高一上?山東淄博?期中）（多選）若關(guān)于x的不等式的解集為A．不等式的解集是B．C．不等式的解集為D．設(shè)x的不等式的解集為N，則【答案】ABD【分析】先利用題給條件求得三者正負(fù)號和三者間的關(guān)系，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)B；化簡不等式的解集，判斷選項(xiàng)C；設(shè)，，根據(jù)圖象判斷選項(xiàng)D.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為則,且關(guān)于的方程的根為，，則，解之得，則不等式為，所以解集為，，所以A、B都正確；不等式可化為，即，所以解集為，或，故C錯誤；設(shè)，，則函數(shù)的圖象向上平移一個單位得的圖象，如圖，

所以不等式的解集為N，則，D正確.故選：ABD【變式42】（20232024?高一上?山東淄博?期中）設(shè)，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.52≤x≤2 B.52<x【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件和集合的包含關(guān)系求解即可.【詳解】由，解得，所以，又由，解得，所以，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以集合真包含于，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，時，，滿足題意；時，，滿足題意；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是52≤故選:A【變式43】（20232024?高一上?山東菏澤?月考）若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（）A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元一次不等式解集的性質(zhì)，結(jié)合解一元二次不等式的方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，，所以關(guān)于的不等式，即，即，解得或，故不等式的解集是或.故選：A.【題型5一元二次不等式恒成立問題】【例5】（20232024?高一上?山東淄博?期中）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A.1<x<3B.3<x<1 C.1<【答案】B【解析】【分析】將恒成立轉(zhuǎn)化為，然后利用基本不等式求最值得到，最后解不等式即可.【詳解】若恒成立，則，因?yàn)?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以，整理得，解得.故選：B【變式51】（20232024?高一上?浙江?期中）“不等式對一切實(shí)數(shù)都成立”，則的取值范圍為【答案】【解析】【分析】對二次項(xiàng)系數(shù)分成等于0和不等于0兩種情況進(jìn)行討論，對時，利用二次函數(shù)的圖象進(jìn)行分析求解.【詳解】當(dāng)時，不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，所以成立；當(dāng)時，由題意得解得：；綜上所述：.【變式52】（20232024?高一上?山東臨沂?階段測試）（20232024?高一上?重慶?月考）（多選A. B.0 C.2 D.4【答案】BC【解析】【分析】首先根據(jù)“”為假命題，將問題轉(zhuǎn)化為“”恒成立問題，然后通過對分類討論求解；【詳解】“”為假命題，則“”為真命題，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，解得，故的值可能為，故選：BC.【變式53】（20232024?高一上?山東淄博?階段測試）若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)xA． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得：命題“”為真命題，根據(jù)恒成立問題結(jié)合一次函數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：命題“”為真命題，即對恒成立，則，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【題型6一元二次不等式有解問題】【例6】（20232024?高一上?山東臨沂?階段測試）若不等式有解，則實(shí)數(shù)A.或 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式有實(shí)數(shù)解的充要條件列式求解作答.【詳解】不等式有解，即不等式有解，因此，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選：A【變式61】（20232024?高一上?山東菏澤?階段測試）若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)mA. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求不等式左側(cè)的最小值，根據(jù)不等式有解得，即可求參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最小值4，由有解，則，解得或．故實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.故選：D【變式62】（20232024?高一上?山東臨沂?月考）若x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實(shí)數(shù)A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】不等式，等價于，當(dāng)，即時，不等式的解集為，若集合中有2個整數(shù)，則，得；若，即時，不等式的解集為，若集合中有2個整數(shù)，則，得；當(dāng)，即時，不等式的解集為，不成立；所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.故選：C【變式63】（20232024?高一上?山東煙臺?月考）已知關(guān)于的不等式組僅有一個整數(shù)解，則【答案】或【解析】【分析】解不等式，得或，再分類討論不等式的解集，結(jié)合集合關(guān)系即可求得參數(shù)的取值范圍.詳解】解：由，可得或，由，即，得，，當(dāng)，即時，不等式的解為，此時不等式組的解集為，又因?yàn)椴坏仁浇M僅有一個整數(shù)解，則，解得；當(dāng)，即時，不等式的解為，又因?yàn)椴坏仁浇M僅有一個整數(shù)解，則，解得；綜上所述，的取值范圍為.或故選：B.【變式64】（20232024?高一上?四川宜賓?期中）（多選）已知關(guān)于x的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)aA. B. C.1 D.2【答案】AB【解析】【分析】由，，可得：，求出的最大值即可.【詳解】由，，可得：，設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以，故AB正確，CD錯誤.故選：AB.【題型7一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（20232024?高一上?江蘇?月考）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個重要因素．在一個限速50km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離小于12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車的剎車距離s（單位：m）與車速x（單位：km/h【答案】甲車未超過規(guī)定限速，乙車超過規(guī)定限速．【解析】【分析】由題意列不等式求解后判斷，【詳解】由題意得，對于甲車，，即，而，解得，甲車未超過規(guī)定限速，同理對于乙車，，，而，解得，乙車超過規(guī)定限速．答：甲車未超過規(guī)定限速，乙車超過規(guī)定限速．【變式71】（20232024?高一上?河南鄭州?期中）經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：（＞（1）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（保留分?jǐn)?shù)形式）（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）當(dāng)v＝40km/h時，車流量最大，最大車流量約為千輛/時；（2）25＜v＜64．【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式性質(zhì)可知，進(jìn)而求得y的最大值．根據(jù)等號成立的條件求得此時的平均速度．（2）解不等式，即可求出v的范圍．【詳解】（1）依題意知，，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v＝40時，上式等號成立，∴ymax（千輛/時）．∴當(dāng)v＝40km/h時，車流量最大，最大車流量約為千輛/時．（2）由條件得，整理得v2﹣89v+1600＜0，即．解得25＜v＜64．【變式72】（20232024?高一上?江蘇連云港?階段測試）某地有一座水庫，設(shè)計(jì)最大容量為128000m3．根據(jù)預(yù)測，汛期時水庫的進(jìn)水量（單位：m3）與天數(shù)的關(guān)系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時系統(tǒng)就會自動報(bào)警提醒，水庫水量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險(xiǎn)；如果汛期來臨水庫不泄洪，1（1）求的值；（2）當(dāng)汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計(jì)汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險(xiǎn)嗎？請說明理由．【答案】（1）（2）汛期的第9天會有危險(xiǎn)，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可建立方程，解出即可；（2）設(shè)第天發(fā)生危險(xiǎn)，由題意得，解出此不等式，然后可得答案.【小問1詳解】由題意得：，即【小問2詳解】由（1）得設(shè)第天發(fā)生危險(xiǎn)，由題意得，即，得．所以汛期的第9天會有危險(xiǎn)【變式73】（20232024?高一上?安徽阜陽?月考）如圖，某大學(xué)將一矩形ABCD操場擴(kuò)建成一個更大矩形DEFG操場，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，設(shè)米（）．（1）要使矩形DEFG的面積大于2700平方米，求x的取值范圍；（2）當(dāng)DG的長度是多少時，矩形DEFG的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．【答案】（1）（2）當(dāng)DG的長度為40米時，矩形DEFG的面積最小為2400平方米【解析】【分析】（1）根據(jù)相似關(guān)系列出等式即可求解；（2）根據(jù)均值不等式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，即，所以，所以，解得或，即x的取值范圍是；【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故當(dāng)DG的長度為40米時，矩形DEFG的．積最小為2400平方米．【變式74】（20232024?高一上?湖南長沙?期末）2022年2月24日,俄烏爆發(fā)戰(zhàn)爭，至今戰(zhàn)火未熄.2023年10月7日巴以又爆發(fā)沖突.與以往戰(zhàn)爭不同的是，無人機(jī)在戰(zhàn)場中起到了偵察和情報(bào)收集，攻擊敵方目標(biāo)和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色.某無人機(jī)企業(yè)原有200名科技人員，年人均工資萬元，現(xiàn)加大對無人機(jī)研發(fā)的投入，該企業(yè)把原有科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名且，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資增加，技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為萬元.（1）若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人?（2）為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在工資方面要同時滿足以下兩個條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資;②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少.請問是否存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足以上兩個條件，若存在，求出的范圍;若不存在,說明理由.【答案】（1）100（2）存在，【解析】【分析】（1）由條件“調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資”建立不等關(guān)系可求解；（2）根據(jù)條件①②建立不等關(guān)系，假設(shè)存在實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，由基本不等式及一次函數(shù)求最值可得結(jié)果.【小問1詳解】依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資為萬元,則,整理得,解得,因?yàn)榍?所以,故,所以要使這名研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資,調(diào)整后的研發(fā)人員的人