彈簧類模型中的最值問題

彈簧類模型中的最值問題在高考復(fù)習(xí)中，常常遇到有關(guān)“彈簧類”問題，由于彈簧總是與其他物體直接或間接地聯(lián)系在一起，彈簧與其“關(guān)聯(lián)物”之間總存在著力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、動(dòng)量、能量方面的聯(lián)系，因此學(xué)生普遍感到困難，本文就此類問題作一歸類分析。一、最大、最小拉力問題例1.一個(gè)勁度系數(shù)為k＝600N/m的輕彈簧，兩端分別連接著質(zhì)量均為m＝15kg的物體A、B，將它們豎直靜止地放在水平地面上，如圖1所示，現(xiàn)加一豎直向上的外力F在物體A上，使物體A開始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)0.5s，B物體剛離開地面（設(shè)整個(gè)加速過程彈簧都處于彈性限度內(nèi)，且g＝10m/s2）。求此過程中所加外力的最大和最小值。圖1解析：開始時(shí)彈簧彈力恰等于A的重力，彈簧壓縮量，0.5s末B物體剛要離開地面，此時(shí)彈簧彈力恰等于B的重力，，故對(duì)A物體有，代入數(shù)據(jù)得。剛開始時(shí)F為最小且，B物體剛要離開地面時(shí)，F(xiàn)為最大且有，解得。二、最大高度問題例2.如圖2所示，質(zhì)量為m的鋼板與直立彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地面上，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為。一物體從鋼板正上方距離為的A處自由下，落打在鋼板上并立即與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，已知物塊質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)，若物體質(zhì)量為2m仍從A處自由下落，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)還有向上的速度，求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離。圖2解析：物塊與鋼板碰撞時(shí)的速度為v0，由機(jī)械能守恒得

①

設(shè)v1表示質(zhì)量為m的物塊與鋼板碰撞后一起開始向下運(yùn)動(dòng)的速度，因碰撞時(shí)間極短，動(dòng)量守恒，則有mv0=2mv1

②

剛碰完時(shí)彈簧的彈性勢能為Ep，當(dāng)它們一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈簧無形變，彈性勢能為零。根據(jù)題給條件，這時(shí)物塊與鋼板的速度為零，由機(jī)械能守恒

③

設(shè)v2表示質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后開始一起向下運(yùn)動(dòng)的速度，則有2mv0=3mv2

④

剛碰完時(shí)彈簧的彈性勢能為Ep'，它們回到O點(diǎn)時(shí)，彈性勢能為零，但它們?nèi)岳^續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)速度為v，則有:Ep'+

⑤

在以上兩種情況中，彈簧的初始?jí)嚎s量都是x0，故有Ep'=Ep

⑥

當(dāng)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力為零，物塊與鋼板只受到重力作用，加速度為g。一過O點(diǎn)，鋼板受到彈簧向下的拉力作用，加速度大于g。由于物塊與鋼板不粘連，物塊不可能受到鋼板的拉力，其加速度仍為g。故在O點(diǎn)物塊與鋼板分離，分離后，物塊以速度v豎直上拋，則由以上各式解得，物塊向上運(yùn)動(dòng)所到最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為三、最大速度、最小速度問題例3.如圖3所示，一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直立于水平地面上，下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為m的平板B相連而處于靜止?fàn)顟B(tài)。今有另一質(zhì)量為m的物塊A從B的正上方h高處自由下落，與B發(fā)生碰撞而粘在一起，已知它們共同向下運(yùn)動(dòng)到速度最大時(shí)，系統(tǒng)增加的彈性勢能與動(dòng)能相等，求系統(tǒng)的這一最大速度v。圖3解析：A下落到與B碰前的速度v1為：①A、B碰后的共同速度v2為：②B靜止在彈簧上時(shí)，彈簧的壓縮量為x0，且：③A、B一起向下運(yùn)動(dòng)到最大速度v時(shí)的位移為x，此時(shí)A、B的加速度為0，即有：④由機(jī)械能守恒得：⑤⑥解①~⑥得：例4.在光滑水平面內(nèi)，有A、B兩個(gè)質(zhì)量相等的木塊，，中間用輕質(zhì)彈簧相連?，F(xiàn)對(duì)B施一水平恒力F，如圖4所示，經(jīng)過一段時(shí)間，A、B的速度等于5m/s時(shí)恰好一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，此過程恒力做功為100J，當(dāng)A、B恰好一起做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)撤除恒力，在以后的運(yùn)動(dòng)過程中求木塊A的最小速度。圖4解析：當(dāng)撤除恒力F后，A做加速度越來越小的加速運(yùn)動(dòng)，彈簧等于原長時(shí)，加速度等于零，A的速度最大，此后彈簧壓縮到最大，當(dāng)彈簧再次回復(fù)原長時(shí)速度最小，根據(jù)動(dòng)量守恒得:2mv①根據(jù)機(jī)械能守恒得:②由以上兩式解得木塊A的最小速度v＝0。四、最大轉(zhuǎn)速和最小轉(zhuǎn)速問題例5.有一水平放置的圓盤，上面放一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其一端固定于軸O上，另一端系著質(zhì)量為m的物體A，物體A與盤面間最大靜摩擦力為Ffm，彈簧原長為L，現(xiàn)將彈簧伸長后置于旋轉(zhuǎn)的桌面上，如圖5所示，問：要使物體相對(duì)于桌面靜止，圓盤轉(zhuǎn)速n的最大值和最小值各是多少？圖5解析：當(dāng)轉(zhuǎn)速n較大時(shí)，靜摩擦力與彈簧彈力同向，即：①當(dāng)轉(zhuǎn)速n較小時(shí)，靜摩擦力與彈簧彈力反向，即：②所以圓盤轉(zhuǎn)速n的最大值和最小值分別為：和五、最大加速度問題例6.兩木塊A、B質(zhì)量分別為m、M，用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連在一起，放在水平地面上，如圖6所示，用外力將木塊A壓下一段距離靜止，釋放后A做簡諧運(yùn)動(dòng)，在A振動(dòng)過程中，木塊B剛好始終未離開地面，求木塊A的最大加速度。圖6解析：撤去外力后，A以未加外力時(shí)的位置為平衡位置作簡諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方最大位移處時(shí)，B恰好對(duì)地面壓力為零，此時(shí)A的加速度最大，設(shè)為am。對(duì)A：由牛頓第二定律有對(duì)B：所以，方向向下。六、最大振幅例7.如圖7所示，小車質(zhì)量為M，木塊質(zhì)量為m，它們之間靜摩擦力最大值為Ff，輕質(zhì)彈簧勁度系數(shù)為k，振動(dòng)系統(tǒng)沿水平地面做簡諧運(yùn)動(dòng)，設(shè)木塊與小車間未發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，小車振幅的最大值是多少？圖7解析：在最大位移處，M和m相對(duì)靜止，它們具有相同的加速度，所以對(duì)整體有：①對(duì)m有：②所以由①②解得：。七、最大勢能問題例8.如圖8所示，質(zhì)量為2m的木板，靜止放在光滑的水平面上，木板左側(cè)固定著一根勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧的自由端到小車右端的距離為L0，一個(gè)質(zhì)量為m的小木塊從板的右端以初速度v0開始沿木塊向左滑行，最終回到木板右端，剛好不從木板右端滑出，設(shè)木板與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，求在木塊壓縮彈簧過程中（一直在彈性限度內(nèi)）彈簧所具有的最大彈性勢能。圖8解：彈簧被壓縮至最短時(shí)，具有最大彈性勢能，設(shè)m在M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力做的總功產(chǎn)生內(nèi)能為2E，從初狀態(tài)到彈簧具有最大彈性勢能及從初狀態(tài)到末狀態(tài)，系統(tǒng)均滿足動(dòng)量守恒定律，即：①由初狀態(tài)到彈簧具有最大彈性勢能，系統(tǒng)