高三年級上冊期中數(shù)學(xué)真題分類匯編（新高考）專題17統(tǒng)計與概率（十二大題型）

專題17統(tǒng)計與概率

!題型oi?統(tǒng)計圖表

1.（2022秋?河北唐山?高三開灤第二中學(xué)?？计谥校?022年，我國彩電、智能、計算機等產(chǎn)量繼

續(xù)排名全球第一，這標(biāo)志著我國消費電子產(chǎn)業(yè)已經(jīng)實現(xiàn)從“跟隨”到“引領(lǐng)”的轉(zhuǎn)變，開啟了高質(zhì)量發(fā)

展的新時代.如圖是2022年3月至12月我國彩電月度產(chǎn)量及增長情況統(tǒng)計圖（單位：萬臺，%）,

則關(guān)于這10個月的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）（注：同比，即和去年同期相比）

A.這10個月我國彩電月度產(chǎn)量的中位數(shù)為1726萬臺

B.這10個月我國彩電月度平均產(chǎn)量不超過1600萬臺

C.自2022年9月起，各月我國彩電月度產(chǎn)量均同比下降

D.這10個月我國彩電月度產(chǎn)量同比增長率的極差不超過

【答案】D

【分析】根據(jù)條形圖結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)和極差定義分別判斷各個選項即可.

【詳解】將這10個月我國彩電月度產(chǎn)量（單位：萬臺）按從小到大排列依次為1513,1540,1553,

1650,1727,1783,1802,1846,1926,2097,

中位數(shù)為第5個數(shù)與第6個數(shù)的平均數(shù)，即1727：1783=]755,A錯誤；

2

這10個月我國彩電月度平均產(chǎn)量

-1513+1540+1553+1650+1727+1783+1802+1846+1926+2097…一

x=-------------------------------------------------------------------------------------=1743.7萬臺，B錯誤；

自2022年9月起，我國彩電月度產(chǎn)量雖然逐月減少，但同比是與去年同月相比，

由同比增長率可知，9月、10月、11月的同比增長率均為正數(shù)，故月度產(chǎn)量同比有所增長，C錯誤;

由題圖可知，這10個月產(chǎn)量的同比增長率的最大值與最小值分別為25.6%與-8.3%,

故其極差為25.6%+8.3%=33.9%<0.4,故D正確.

故選:D.

2.（江蘇省蘇州市太倉市明德高級中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）下圖反映2017年到2022

年6月我國國有企業(yè)營業(yè)總收入及增速統(tǒng)計情況

根據(jù)圖中的信息，下列說法正確的是（）

A.20172022年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入逐年增加

B.20172022年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入逐年下降

C.20172021年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入增速最快的是2021年

D.20172021年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入的平均數(shù)大于630000億元

【答案】C

【分析】根據(jù)題意結(jié)合統(tǒng)計相關(guān)知識逐項判斷即可.

【詳解】因為2022下半年企業(yè)營業(yè)總收入未知，

所以無法判斷2022年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入是否增長，故A、B錯誤；

由圖可知20172021年我國國有企業(yè)營'業(yè)總收入增速依次為13.69%,10.0%,6.9%,2.1%,18.5%,

所以增速最快的是2021年，故C正確：

20172021年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入的平均數(shù)為

1（522014.9+587500.7+625520.5+632867.7+755543.6）=624689.48億元，

因為624689.48<630000,故D錯誤.

故選：C.

3.（2022秋?河北保定?高三河北省唐縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）（多選）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)如圖

①所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視情況，衛(wèi)生部門根據(jù)當(dāng)?shù)刂行W(xué)生人數(shù)，用分層抽樣的方法

抽取了10%的學(xué)生進行視力調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如圖②所示，下列說法正確的有（）

圖①圖②

A.該地區(qū)的中小學(xué)生中，高中生占比為20%

B.抽取調(diào)查的高中生人數(shù)為200人

C.該地區(qū)近視的中小學(xué)生中，高中生占比超過40%

D.從該地區(qū)的中小學(xué)生中任取3名學(xué)生，記近視人數(shù)為九則J的數(shù)學(xué)期望約為0.81

【答案】ABD

【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖計算高中生的占比，可判斷A選項；利用分層抽樣可判斷B選項；計算出

近視的中小學(xué)生中，高中生的占比，可判斷C選項；分析可知4?8（3,需），利用二項分布的期望

公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，由圖①可知，該地區(qū)的中小學(xué)生中，高中生占比為

2000

x100%=20%,A對;

2000+3500+4500

對于B選項，用分層抽樣抽取了10%的學(xué)生，則抽取的高中生人數(shù)為2000xl0%=200人，B對;

對于C選項，該地區(qū)近視的中小學(xué)生中，小學(xué)生近視的人數(shù)為3500x0.1=350人，

初中生近視的人數(shù)為4500x0.3=1350人，高中生近視的人數(shù)為2000x0.5=1000A,

所以，該地區(qū)近視的中小學(xué)生中，高中生占比為350+鬻L。。吟咚0錯；

對于D選項，從該地區(qū)中的中小學(xué)生中任意抽取一名，該學(xué)生近視的概率為

2700_27

3500+2000+4500-100r

從該地區(qū)的中小學(xué)生中任取3名學(xué)生，記近視人數(shù)為則J?8（3,磊）

77

所以，E（4）=3x志=0.81,D對.

故選：ABD.

4.（福建省泉州市安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實驗中學(xué)2023屆高三期中）（多選）某醫(yī)

院護士對甲、乙兩名住院病人一周內(nèi)的體溫進行了統(tǒng)計，其結(jié)果如圖所示，則下列說法正確的有（）

A.病人甲體溫的極差為0.3y

B.病人乙的體溫比病人甲的體溫穩(wěn)定

C.病人乙體溫的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都為36.4%：

D.病人甲體溫的上四分位數(shù)為36.4%：

【答案】BC

【分析】根據(jù)折線圖，結(jié)合極值，百分位數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)的計算，對每個選項進行逐一

分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對于選項A：病人甲體溫的最大值為366C,最小值為36.2。?,故極差為0.4%：,故A錯

誤；

對于選項B：病人乙的體溫波動較病人甲的小，極差為0.2。（3,也比病人甲的小，因此病人乙的體

溫比病人甲的體溫穩(wěn)定，故B正確：

對于選項C：病人乙體溫按照從小到大的順序排列為：

36.3℃,36.3℃,36.4℃,36.4℃,36.4℃,36.5℃,36.5℃,

病人乙體溫的眾數(shù)、中位數(shù)都為36.4。（2,

病人乙體溫的平均數(shù)為：；（36.3+36.3+36.4+36.4+36.4+36.5+36.5）=36.4（,故C正確；

對于選項D：病人甲體溫按照從小到大的順序排列為：

36.2℃,36.2℃,36.4℃,36.4℃,36.5℃,36.5℃,36.6℃,

又7x75%=5.25,

病人甲體溫的上四分位數(shù)為上述排列中的第6個數(shù)據(jù)，QP36.5℃,故D錯誤.

故選：BC.

5.（2022秋?江蘇南京?高三南京市第二十九中學(xué)校考期中）（多選）隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展和人民

生活水平的不斷提高，我國社會物流需求不斷增加，物流行業(yè)前景廣闊.社會物流總費用與GDP的

比率是反映地區(qū)物流發(fā)展水平的指標(biāo)，下面是2017-2022年我國社會物流總費用與GDP的比率統(tǒng)

計，貝！1（）

A.2018-2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，且2021年增長的最多

B.2017-2022這6年我國社會物流總費用的70%分位數(shù)為萬億元

C.2017-2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為0.3%

D.2022年我國的GDP超過了121萬億元

【答案】AD

【分析】由圖表逐項判斷可得答案.

【詳解】由圖表可知，2018-2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，2021年增長的最多，艮增

長為16.7-14.9=1.8萬億元，故A正確；

因為6x70%=4.2,則70%分位數(shù)為第5個，即為，所以這6年我國社會物流總費用的70%分位數(shù)

為萬億元，故B錯誤；

由圖表可知，2017-2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為14.8%-14.6%=0.2%,

故C錯誤；

由圖表可知，2022年我國的GDP為17.8+14.7%~121.1萬億元，故D正確.

故選：AD.

題型02

6.（2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶一中期中考試）要調(diào)查某地區(qū)高中學(xué)生身體素質(zhì)，從高中生中抽

取100人進行跳遠測試，根據(jù)測試成績制作頻率分布直方圖如圖，現(xiàn)從成績在120,140）之間的學(xué)生

中用分層抽樣的方法抽取5人，應(yīng)從［120,130）間抽取人數(shù)為6,則（）.

A.a=0.025,b=2B.a=0.025,b=3

C.4=0.030,b=4D.a=0.030,b=3

【答案】D

【分析】先由頻率之和為1解得。值，再分別計算各段學(xué)生人數(shù)，根據(jù)抽樣比得6.

【詳解】由題得10x（0.005+0.035+0+0.020+0.010）=1,所以a=0.030.

在［120,130）之間的學(xué)生：100創(chuàng)00.030=30人,

在［130,140）之間的學(xué)生:100創(chuàng)00.020=20人,

在［120,140）之間的學(xué)生：50人，

又用分層抽樣的方法在［120,140）之間的學(xué)生50人中抽取5人，即抽取比為：

所以成績在［120,130）之間的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為30x'=3,即6=3.

故選：D.

7.（河北省高碑店市崇德實驗中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）（多選）為了向社會輸送優(yōu)秀畢業(yè)生，

中等職業(yè)學(xué)校越來越重視學(xué)生的實際操作（簡稱實操）能力的培養(yǎng).中職生小王在對口工廠完成實

操產(chǎn)品100件，質(zhì)檢人員測量其質(zhì)量（單位：克），將所得數(shù)據(jù)分成5組：

［95,97）,［97,99）,［99,101）,［101,10）,［103,105］.根據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中

質(zhì)量在［99,101）內(nèi)的為優(yōu)等品.對于這100件產(chǎn)品，下列說法正確的是（）

A.質(zhì)量的平均數(shù)為克（同一區(qū)間的平均數(shù)用區(qū)間中點值代替）B.優(yōu)等品有45件

C.質(zhì)量的眾數(shù)在區(qū)間［98,100）內(nèi)D.質(zhì)量的中位數(shù)在區(qū)間［99,101）內(nèi)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及其數(shù)據(jù)特征估計值的計算，可得答案.

【詳解】對于選項A,質(zhì)量的平均數(shù)為

（96x0.025+98x0.15+100x0.225+102x0.075+104x0.025）x2=99.7（克），選項A正確；

對于選項B,優(yōu)等品有0.225x2x100=45件，選項B正確：

對于選項C,頻率分布直方圖上不能判斷質(zhì)量眾數(shù)所在區(qū)間，質(zhì)量眾數(shù)不一定落在區(qū)間［98,100）

內(nèi)，所以選項C錯誤：

時于選項D,質(zhì)量在［99,101）內(nèi)的有45件，質(zhì)量在［10L103）內(nèi)的有15件，質(zhì)量在［103,105］內(nèi)的有

5件，所以質(zhì)量的中位數(shù)一定落在區(qū)間［99,101）內(nèi)，所以選項D正確.

故選：ABD.

8.（重慶市第一中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）（多選）近年來，加強青少年體育鍛煉，重視體質(zhì)

健康已經(jīng)在社會形成高度共識，某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，舉行了一場身體素質(zhì)體能測試,

以便對體能不達標(biāo)的學(xué)生進行有效地訓(xùn)練，促進他們體能的提升，現(xiàn)從全部測試成績中隨機抽取200

名學(xué)生的測試成績，進行適當(dāng)分組后，畫出如圖所示頻率分布直方圖，則()

A.a=0.020

B.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［80,100］內(nèi)的學(xué)生有70人

C.估計全校學(xué)生體能測試成績的平均數(shù)為77

D.估計全校學(xué)生體能測試成績的69%分位數(shù)為84

【答案】AD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中頻率和等于1可求出判斷A；求出成績落在［80,100］內(nèi)的頻率,

再乘以總?cè)藬?shù)可判斷B；根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)的求解方法即可判斷C；根據(jù)百分位數(shù)的定義

求解可判斷D.

【詳解】對于A,根據(jù)頻率和等于1得104=1-10x(0.005+0.030+0.035+0.010)=0.20,解得

。=0.020,故A正確；

對于B,成績在區(qū)間［80,100］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約為200x10x(0.035+0.010)=90,故B錯誤；

對于C,學(xué)生體能測試成績的平均數(shù)約為

(55x0.005+65x0.020+75*0.030+85x0.035+95x0.010)x10=77.5,故C錯誤；

對于D,0.005x10+0.020x10+0.030x10=0.55<0.69.

0.005xl0+0.020xl0+0.030xl0+0.035xl0=0.9>0.69,

所以這組數(shù)據(jù)的69%分位數(shù)的估計值落在區(qū)間［80,90)內(nèi)，

又因為80+需f^xl0=84,故學(xué)生體能測試成績的69%分位數(shù)為84,故D正確，

故選：AD.

9.(廣東省深圳市紅嶺中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中)(多選)在某市高三年級舉行的一次調(diào)

研考試中，共有30000人參加考試.為了解考生的某科成績情況，抽取了樣本容量為〃的部分考生成

績，已知所有考生成績均在［50,10()］,按照［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］的分組作出如圖

所示的頻率分布直方圖.若在樣本中，成績落在區(qū)間［50,60)的人數(shù)為16,則由樣本估計總體可知下

列結(jié)論正確的為()

A.x=0.016

B./?=1000

C.考生成績的第70百分位數(shù)為76

D.估計該市全體考生成績的平均分為71

【答案】AC

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1,即可判斷A,根據(jù)成績落在區(qū)間［50,60)

內(nèi)的人數(shù)和頻率可判斷B,根據(jù)百分位數(shù)的定義和平均數(shù)的定義可判斷CD.

【詳解】對于A,因為(x+0.030+0.040+0.010+0.004)xl0=l,解得x=0.016,故A正確；

對于B,因為成績落在區(qū)間［50,60)內(nèi)的人數(shù)為16,所以樣本容量〃=二!■■工=100,故B錯誤；

0.016x10

對于C,0^(0.016+0.030)x10=0.46<0.7,(0.016+0.030+0.040)x10=0.86>0.7,

所以考生成績的第70百分位數(shù)落在區(qū)間［70,80),

設(shè)考生成績的第70百分位數(shù)為機，則0.46+(x-70)x0.04=0.7,解得根=76,

即考生成績的第70百分位數(shù)為76,故C正確；

對于D,學(xué)生成績平均分為

0.016x10x55+0.030x10x65+0.040x10x75+0.010x10x85+0.004x10x95=70.6D錯誤.

故選:AC.

10.(2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中)(多選)某書店為了解其受眾人群，對100名顧客的年齡(x)

進行調(diào)研，并將所統(tǒng)計的數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知…,G是各個小矩形上短

邊的中點,若點中點C在一條直線上，點C,。,瓦F,G在一條直線上，且c=0.024,g=0.0064,則下

列描述正確的是()

A./的值為

B.數(shù)據(jù)x的眾數(shù)大于中位數(shù)

C.數(shù)據(jù)x的中位數(shù)小于平均數(shù)

D.數(shù)據(jù)x的第80百分位數(shù)大于60

【答案】AC

【分析】先從直線的性質(zhì)，可求出。/,。/,%/達的值，再利用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)的

概念求解即可.

【詳解】因為點CRE,尸,G在一條直線上，且CD,瓦尸,G的橫坐標(biāo)的差相同，

所以它們的縱坐標(biāo)的差值也相同，

因為"生”蛆=034,

4

所以d=0.024-0.0044=0.0196,e=0.0196-0.0044=0.015：,f=0.0152-0.0044=0.0108.

0.1-0.0196-0.0152-0.0108-0.0064=0.048,

點48,C在一條直線上，

所以6=^^=0.016,4=0.048-0.024-0.016=0.008,A正確；

數(shù)據(jù)x的眾數(shù)的估計值為雙產(chǎn)=35，

設(shè)中位數(shù)為，,因為(0.008+0.016+0.024)xl0=0.48,

所以0.0196x(7-40)=0.02,

解得141.02,即數(shù)據(jù)x的中位數(shù)約為，

所以數(shù)據(jù)x的眾數(shù)小于中位數(shù)，B錯誤；

因為三=15x0.08+25x0.16+35x0.24+45x0.196+55x0.152+65x0.108+75x0.064=42.6,所以平均

數(shù)大于中位數(shù)，C正確：

因為1-(0.0108+0.0064)x10=0.828,所以數(shù)據(jù)x的第8()百分位數(shù)小于60,D錯誤.

故選：AC.

11.(湖北省七市(州)教研協(xié)作體2023屆高三上學(xué)期期中)某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯

式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三擋：月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費，

超過200度但不超過400度的部分按0.8元/度收費，超過400度的部分按1.0元/度收費.

(1)求某戶居民月用電費N(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：度)的函數(shù)解析式；

(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后

得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的占80%,

求。力的值.

0.5x,0<x<200

【答案】(1)0.8x-60,200<x<400,

x-140,x>400

(2)。=0.0015,6=0.0020

【分析】(1)根據(jù)題目條件，分段列出函數(shù)解析式即可；

(2)將)，=260代入(1)中解析式得到x的值，再結(jié)合頻率分布直方圖求。用的值；

【詳解】(1)當(dāng)04x4200時，y=0.5x；

當(dāng)200Vx4400Il'J,y=0.5x200+0.8x(x-200)=0.8x-60,

當(dāng)X〉400時，^=0.5x200+0.8x200+1.0x(x-400)=x-140,

f0.5x,0<x<200

所以V與x之間的函數(shù)解析式為V=0.8x-60,200<x440(),

[x-140,x>400

(2)由(1)可知：當(dāng)y=260時,x=400,則尸(x4400)=0.80,

0.1+2x1006+0.3=0.8

結(jié)合頻率分布直方圖可知:

100a+0.05=0.2

a=0.0015,/)=0.0020

線性回歸方程

12.（湖北省荊門市龍泉中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知兩組數(shù)據(jù)％,生,…,生。和4也,…，狐，其中

141410且iwZ時，a.=i-且ieZ時，bl0=a,我們研究這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性，

在集合｛8』1,12,13｝中取一個元素作為。的值，使得相關(guān)性最強，則所（）

A.8B.IIC.12D.13

【答案】B

【分析】根據(jù)相關(guān)性與線性回歸方程的關(guān)系即可得到答案.

【詳解】設(shè)點坐標(biāo)為（《,4）,14"10旦iwZ,

由題意得前9個點位于直線V=x上，面須=10,則要使相關(guān)性更強，如應(yīng)更接近10,

四個選項中11更接近10,

故選：B.

13.（安徽省合肥市廬江第五中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）（多選）某同學(xué)將收集到的六對數(shù)

據(jù)制作成散點圖如下，得到其經(jīng)驗回歸方程為4：i=0.68x+i,計算其相關(guān)系數(shù)為小決定系數(shù)為

/?,.經(jīng)過分析確定點尸為“離群點”，把它去掉后，再利用剩下的五對數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸方程為

l2-.y=bx+0.6S,相關(guān)系數(shù)為4,決定系數(shù)為火；.下列結(jié)論正確的是（）

A.%>0B.

C.0<6<0.68D.否>0.68

【答案】AC

【分析】根據(jù)散點圖對相關(guān)性的強弱的影響即可判斷四個選項.

【詳解】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故4＞0,弓＞0,去掉"離群點''后，相關(guān)性更強，所以耳＜々，

故凡2＜RJ,故A正確，B不正確.

根據(jù)圖象當(dāng)去掉F點后，直線的基本在A,B,C,D,E附近的那條直線上，直線的傾斜程度會略向x軸

偏向，故斜率會變小，因此可判斷0＜右＜0.68,故C正確,D錯誤.

故選：AC.

14.（2022秋?浙江紹興?高三紹興一中?？计谥校└鶕?jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百

千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)廠并加以說

明（若上|＞。萬，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)液體肥料每畝使用量為10千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約

為多少？

za-初乂-力^x^.-nxy

附：相關(guān)系數(shù)公式廠=

（Z-7）2y^-ny'

參考數(shù)據(jù)：疝*0.55,回“0.95

回歸方程f=&+6中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

Z(x,-?亍)(％一刃Zx^-nxy

b=M

i=l

【答案】（1"=0.95,說明見解析

(2)j^=0.3x+2.5；550T?克

【分析】（I）根據(jù)散點圖中的數(shù)據(jù)分別求得可得嚏，y，磯乂-3），

進而求得相關(guān)系數(shù)廠，再與比較卜結(jié)論.

（2）結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)，分別求得％,3寫出回歸方程，然后將x=10代入求解.

【詳解】（1）由己知數(shù)據(jù)可得了=-------------=5,y=-------------=4,

所以￡(西_可(乂一同=(-3)x(-l)+(-1)x0+0xO+1xO+3xl=6,

(-3)2+(-1)2+02+1+32=2店,

i-歹)2=7(-l)2+02+02+02+l2=y/2,

力(X,-可包-J)

6需皿5

所以相關(guān)系數(shù)==15T15----------------------

2>/5xV2

V/=!V1=1

因為,?>0.75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

￡(占一可包-7)6

(2)b=-^-^-----------=—=0.3,0=4-5x0.3=26,

X")220

/=1

所以回歸方程為f=O3x+2.5.

當(dāng)x=10時，y=0.3x10+2.5=5.5.

即當(dāng)液體肥料每畝使用量為10千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為55（）千克

15.（江蘇省徐州市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖是某采礦廠的污水排放量雙單位：噸）與

礦產(chǎn)品年產(chǎn)量以單位：噸）的折線圖：

（1）依據(jù)折線圖計算相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01）,并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合夕與x的關(guān)系？

（若|網(wǎng)>0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）

（2）若可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請建立J關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測年產(chǎn)量為10噸

時的污水排放量.

ZU-立乂-刃

相關(guān)公式：”],,,參考數(shù)據(jù)：風(fēng)=0.55,洞20.95.

住《-可￡（乃-7）2

V/=1r=l

,￡（項-丁）（必-月.

回歸方程3=+&中，b=------------,a=y-bx.

￡（x,-x）2

i=l

【答案】（1）相關(guān)系數(shù)0.95,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系

（2）j=0.3x+2.5,5.5噸

【分析】（1）代入數(shù)據(jù)，算出相關(guān)系數(shù)?，將其絕對值與0.75比較，即可判斷可用線性回歸模型擬

合y與x的關(guān)系.

（2）先求出回購方程，求出當(dāng)x=10時的值，即為預(yù)測值.

【詳解】（I）由折線圖得如下數(shù)據(jù)計算得：

5

x=5,歹=4,Z（x,-項必-力=6,

/=1

所以相關(guān)系數(shù)廠=萬三方=屈々0?95,

因為|r|>0.75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系

（2）5=二=0.3,

20

6=7一宸=4-03x5=2.5,

所以回歸方程為？=0.3X+2.5,

當(dāng)x=10時，/=5.5,

所以預(yù)測年產(chǎn)量為10噸時的污水排放量為5.5噸

16.（湖北省部分省級示范高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）小李準(zhǔn)備在某商場租一間商鋪開服

裝店，為了解市場行情，在該商場調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計得到了它們的面積x（單位：n?）和

2020

日均客流量y（單位：百人）的數(shù)據(jù)（x,,?）（i=l,2,…,20）,并計算得》>,=2400,￡%=210,

r=li=l

2020

￡（x,.-x）2=42000,Xa-可（必-刃=6300.

f=lf=l

（1）求y關(guān)于X的回歸直線方程；

（2）已知服裝店每天的經(jīng)濟效益〃=左五+妙（左>0,，*>0）,該商場現(xiàn)有60?150m2的商鋪出租，根據(jù)

（1）的結(jié)果進行預(yù)測，要使單便理積的經(jīng)濟效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪？

￡（毛-可（％-刃

附：回歸直線J=R+&的斜率和截距的最小二乘估計分別為：B=J--------------,a=y-bx.

f（占一元『

/=!

【答案】（l）j>=0」5x-7.5

（2）小李應(yīng)該租100n?的商鋪

【分析】（I）由已知條件結(jié)合回歸直線公式可求出回歸直線方程，

（2）根據(jù)題意得Z=^="應(yīng)三+"，604x4150,構(gòu)造函數(shù)〃x）=更經(jīng)心亙，利用二次

XXX

函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值，從而可求出Z的最大值

120120

【詳解】（1）由已知可得亍=h2%=120,7=少乏>,=1。5,

20

.za-可(%-刃6300

b=-----------=_^_=0/5,

g_、242000

二(x,-x)

/=1

&=歹一衍=10.5-0.15x120=-7.5,

所以回歸直線方程為了=0」5x-7.5.

(2)根據(jù)題意得z="=與包叵三巨+加，604x4150.

XX

0.15X-7.50.157.5令'j專皿?

設(shè)/(x)=~2—2

XXX

則/(X)=g(f)=0.15,-7.5r=-7.5x(z-0.01)2+0.00075,

當(dāng)1=0.01,即x=100時，/(x)取最大值,

又因為上m>0,所以此時Z也取最大值,

因此，小李應(yīng)該租1OOn?的商鋪.

題型04非線性回歸方程

17.(2022秋?浙江杭州?高三學(xué)軍中學(xué)校考期中)害蟲防控對于提高農(nóng)作物產(chǎn)量具有重要意義.已知某

種害蟲產(chǎn)卵數(shù)N(單位：個)與溫度x(單位：。C)有關(guān)，測得一組數(shù)據(jù)(x2,)(i=L2,L,20),可

用模型V=qe?！边M行擬合，利用z=Iny變換得到的線性回歸方程為2=O.3x+(5.若

2020

X毛=600,=120,則q的值為.

/=1?=1

【答案】e-3

【分析】將非線性模型”4片兩邊同時取對數(shù)可得Efx+lnq=0.3x+&,再將樣本中心點(R)

代入回歸方程可得Inq=&=-3,即可計算出q=e-3.

【詳解】對尸弓戶兩邊同時取對數(shù)可得Iny=lnkei)=lnq+lne°/fx+lnq；

即乞=c2x4-lnc)=0.3x+G,可得q=0.3,Inq-a

2020

由工耳二600,y^lny-=120可得％=30,Iny=z=6,

/=1r=l

彳弋入2=0.3x+a可得力=一3,HPInc,j=a=-3,所以q=e".

故答案為：e-3

18.(河北省石家莊市第十七中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中)抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的

一個重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個重要方面.

某研究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得

到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，抗體藥物攝入量為X(單位：mg),體內(nèi)抗體數(shù)量為y

（單位：AU/mL）.

10101010

Zz,

1=1i=l1=1r=l

1216

(1)根據(jù)經(jīng)驗，我們選擇y=cxJ作為體內(nèi)抗體數(shù)量v關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=ex"兩

邊取對數(shù)，得lny=lnc+dlnx,可以看出Inx與Iny具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立了關(guān)

于x的回歸方程，并預(yù)測抗體藥物攝入量為25mg時，體內(nèi)抗體數(shù)量V的值；

(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗統(tǒng)計得z服從正態(tài)分布N:(0.48,0.032),

那這種抗體藥物的有效率z超過的概率約為多少？

附：①對于一組數(shù)據(jù)=,10),其回歸直線$=/“+?的斜率和截距的最小二乘估計分別

〃_

為萬=二'a—v—^u;

2

-WM

>=i

②若隨機變量Z?則有尸(〃-b<Z<〃+b)=0.6826,P(〃-2b<Z<〃+2b)x0.9544,

P(p-3<T<Z<p+3cr)?0.9974；

③取e=2.7.

［答案］(l)j=ex°5；y=13.5AU/mL

(2)0.0228

【分析】(1)用最小二乘法求解回歸直線方程，再求非線性回歸方程即可；

(2)根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解給定區(qū)間的概率即可.

【詳解】(1)將y=c/兩邊取對數(shù),得lny=lnc+dlnx,

設(shè)z=lny,，=lnx,則回歸方程變?yōu)閦=lnc+力，

由表中數(shù)據(jù)可知，Z=RZZ=1.6,t=^yti=\.2,

1Uj=|Iv/=|

10_

所以八Vt.Z爭i—10一7,z=292-10xL2xl.6

ln￡=5-防=1.6-0.5x1.2=l，

%-10尸34.470x1.22

i=l

所以，=1+0.5/，即In>>=1+0.5Inx=Ine+Inx05=Inex"',

故y關(guān)于x的回歸方程為i=ex°$,

當(dāng)x=25mg時，夕=e?2505?2.7x5=13.5AU/mL.

(2)因為z服從正態(tài)分布N(0.48,0.032),其中〃=0.48,b=0.03,

所以F(〃-2cr<z<〃+2b)=P(0.42<z<0.54卜0.9544,

所以尸(z>0.54)」.P(°42；z<。54)=「*44,

=0022

故這種抗體藥物的有效率z超過的概率約為0.0228.

19.(河北省滄州市滄縣中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中)經(jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)了與溫度x有

關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度占和產(chǎn)卵數(shù)%(i=l,2,…,10)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散

點圖及一些統(tǒng)計量表.

1010101010、

2之％可

/=|1=1/=1i=\?=1

36054.5136044384

10.101010

Eu-n￡(D(M-力之(須-可(必一力

1=11=11=1/=1

3588326430

_110

表中4=J匕,z,=姑必,彳=高24

(1)根據(jù)散點圖判斷，夕=0+云/=〃+加4與'=。聲"哪一個適宜作為》與X之間的回歸方程模型并

求出V關(guān)于X回歸方程；(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個魚卵，其中“死卵”有2個；第二批中共有8個

魚卵，其中“死卵”有3個.現(xiàn)隨機挑選一批，然后從該批次中隨機取出2個魚卵，求取出“死卵”個

數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)(％#)(右,匕)「一("”匕,)，其回歸直線丫=&+例的斜率和截距的最小二乘估計分

別為B=千-----------。=v-pu.

Z=1

【答案】（l）y=qe,2,適宜，j=

17

（2）分布列見解析,—.

【分析】（1）根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以y=qe"適宜作為》與

x之間的回歸方程模型：令z=lny,轉(zhuǎn)化線性回歸方程求解，進而得夕關(guān)于x回歸方程；

（2）由題意，J的取值為01,2,由全概率公式求得對應(yīng)的概率，從而可求分布列及數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，

所以y=。盧,適宜作為V與x之間的回歸方程模型;

￡io(x,.-x)(z,.-z)32i

令z=/，貝Ijz=c?x+Inc-,,c2=-----------=—=—

ZU-)238412

1=1

Inq=z-c2x=z=^x+1.4,

y關(guān)于x的回歸方程為；y-_ve：-C-

（2）由題意，設(shè)隨機挑選一批，取出兩個魚卵，其中“死卵”個數(shù)為自，則&的取值為01,2,

設(shè)4="所取兩個魚卵來自第i批”[=1,2）,所以R=紇=；,

設(shè)瓦="所取兩個魚卵有i個”“死卵”（i=1,2）,

由全概率公式

p（g=o）=尸（聞4）尸（4）+尸（聞4"（4）=3m+9言=言,

1c1C11C'C144Q

尸("i)=尸(刃4)P(4)+P?4)尸⑷=5x^+5屋廣痛,

產(chǎn)(“2)=p⑷4)*4)+尸⑷幻尸(幻=31+3卷=言，

所以取出“死卵”個數(shù)的分布歹IJ為:

02

5344973

P

M0840840

E⑷=0x至+lx記+2乂衛(wèi)=59517

v714084084084024

所以取出“死卵”個數(shù)的數(shù)學(xué)期望三.

20.（福建省安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實驗中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）中醫(yī)藥是包

括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論技術(shù)方法的

醫(yī)藥體系，長期呵護著我們的健康，為中華文明的延續(xù)作出了突出貢獻.某科研機構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某味

中藥的藥用量x（單位：克）與藥物功效j（單位：藥物功效單位）之間具有關(guān)系j=10x-x2.

（1）估計該味中藥的最佳用量與功效；

（2）對一批含有這昧中藥的合成藥物進行檢測，發(fā)現(xiàn)這味中藥的藥用量平均值為6克，標(biāo)準(zhǔn)差為2,

估計這批合成藥的藥物功效j的平均值.

【答案】（1）該藥物使用量為5克時可達最大功效25.

（2）20

【分析】（1）根據(jù)用量x與功效j之間具有關(guān)系$=結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

III1II_]〃1〃

（2）根據(jù)題意求得一\>,=6,—\>,2-矛=4,結(jié)合則y=—?>，=-即可求解.

〃1=1〃/=1n;=|n1=1

【詳解】（1）解：由題意，某味中藥的藥用量X與藥物功效i之間具有關(guān)系$=10》一》2,

可得S=I0X-X2=-（X-5）2+25，所以當(dāng)X=5時，ymx=50-25=25.

即該藥物使用量為5克時可達最大功效25.

_1"1?1n

（2）解：由題意，得x=—>>,=6,52=一?,2—元2=4,所以一Z±2=40,

〃/=|〃i=l〃/=1

則必」￡（10%7；）=1043=60-40=20,

〃,=1〃/=1〃1=1〃/,=1

這批合成藥的藥物功效平均值為20.

21.（2022秋?遼寧沈陽?高三沈陽市第一二。中學(xué)?？计谥校┪逡恍￠L假期間，文旅部門在某地區(qū)推

出/,B,C,D,E,尸六款不同價位的旅游套票，每款套票的價格占（單位：元；i=l,2,…,6）與

購買該款套票的人數(shù)上（單位：千人）的數(shù)據(jù)如下表:

套票類別ABCDEF

套票價格玉（元）405060657288

購買人數(shù)匕（千人）

（注：A,B,C,D,E,F對應(yīng)i的值為1,2,3,4,5,6）為了分析數(shù)據(jù)，令w=ln%,3=ln,,

發(fā)現(xiàn)點（4⑼）集中在一條直線附近.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立購買人數(shù)y關(guān)于套票價格x的回歸方程；

（2）規(guī)定：當(dāng)購買某款套票的人數(shù)y與該款套票價格x的比值在區(qū)間g,會上時，該套票為“熱門套

票”.現(xiàn)有甲、乙、丙三人分別從以上六款旅游套票中購買一款.假設(shè)他們買到的套票的款式互不相

同，且購買到“熱門套票''的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和期望.

66

附：①參考數(shù)據(jù)：Zf=75.3,3=4.1，石=3.05，1^=101.4.

1=11=1

②對于一組數(shù)據(jù)值⑼）,（彩,牡），…，”"，?），其回歸直線卷=標(biāo)+3的斜率和截距的最小二乘估計分

〃__

Z4可—nvco

別為「=母-------廠，3=石-加.

i=l

【答案】（l）y=e￡；

（2）分布列見解析，期望為2.

【分析】（1）利用給定的數(shù)據(jù)，結(jié)合最小二乘法公式求出a5的回歸方程，再代換作答.

（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合已知，求出“熱門套票”數(shù)，再借助超幾何分布求出分布列、期望作答.

【詳解】（1）由已知點（匕M,）（i=l,2,…,6）集中在一條直線附近，設(shè)|可歸有線方程為血=加+0,

66

由y=4.=3.05,=75.3,￡Y：=101.4,

Vv4w.-nv（o

;￡底,

得不二弋---------75.3-6x4.1x3.05=

10I.4-6x4.1222

1=1

因此變量。關(guān)于V的回歸方程為而=1V+1，

2

令u=lnx,/=lny,則lny=elnx+l,即/=?1，

所以V關(guān)于x的回歸方程為y-ex2.

（2）由2=工=二￡［士，昌，解得49Kxs81,所以＞50,60,65,72,

xx|97

X2

于是B,C,D,E為“熱門套票”，則二人中購買“熱門套票”的人數(shù)X服從超幾何分布，X的可能取值為

1,2,3,

P(X=D=警=>22)=罟=

所以X的分布列為:

22.（2022秋?黑龍江牡丹江?牡丹江一中上學(xué)期期中）當(dāng)前移動網(wǎng)絡(luò)已融入社會生活的方方面面，深

刻改變了人們的溝通、交流乃至整個生活方式.4G網(wǎng)絡(luò)雖然解決了人與人隨時隨地通信的問題，但隨

著移動互聯(lián)網(wǎng)快速發(fā)展，其已難以滿足未來移動數(shù)據(jù)流量暴漲的需求，而5G作為一種新型移動通

信網(wǎng)絡(luò)，不但可以解決人與人的通信問題，而且還可以為用戶提供增強現(xiàn)實、虛擬現(xiàn)實、超高清（3。）

視頻等更加身臨其境的極致業(yè)務(wù)體驗，更重要的是還可以解決人與物、物與物的通信問題，從而滿足

移動醫(yī)療、車聯(lián)網(wǎng)、智能家居、工業(yè)控制、環(huán)境監(jiān)測等物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用需求，為更好的滿足消費者對5G網(wǎng)絡(luò)

的需求，中國電信在某地區(qū)推出了六款不同價位的流量套餐，每款套餐的月資費x（單位：元）與

購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表:

套餐ABCDEF

月資費X（元）384858687888

購買人數(shù)y（萬人）

對數(shù)據(jù)作初步的處理，相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表:

6666

Ew-N電A；

1=1/=1i=\i=l

其中匕=1叫,外=1期，且繪圖發(fā)現(xiàn)，散點3，,9）（1金46）集中在一條直線附近.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出V關(guān)于x的回歸方程；

（2）已知流量套餐受關(guān)注度通過指標(biāo)T（x）=——來測定，當(dāng)7（x）e了,不時相應(yīng)的流量套餐受大

眾的歡迎程度更高，被指定為“主打套餐現(xiàn)有一家四口從這六款套餐中，購買不同的四款各自使用.

記四人中使用“主打套督'’的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)（匕⑼）,（匕，電），…,（匕，。,），其回歸方程3=加+”的斜率和截距的最小二乘估計

值分別為￡=j-----------,a-而.

Z（v/-?）2

1=1

【答案】（l）y=ex；

Q

（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望=1

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)和最小二乘法公式求出。和i即可；

（2）因為是一家4口購買不同的套餐，套餐的種類只有6