數(shù)學(xué)必修二學(xué)案第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系23232

平面與平面垂直的判定目標(biāo)定位1.了解二面角及其平面角的概念，會求簡單的二面角的大小.2.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納平面與平面垂直的判定定理.3.能運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.自主預(yù)習(xí)1.二面角(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱.這兩個半平面叫做二面角的面.如圖(1)可記作：二面角α－l－β或P－AB－Q或P－l－Q.如圖(2)對二面角α－l－β若有：①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l.則∠AOB就叫做二面角α－l－β的平面角.2.平面與平面的垂直(1)定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)畫法：記作：α⊥β.(3)面面垂直的判定定理文字語言：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.圖形語言：如圖所示符號語言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥β,a?α))?α⊥β.即時自測1.判斷題(1)若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β.(×)(2)若直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β相交且垂直.(√)提示(1)當(dāng)b⊥β時，才能推出α⊥β.2.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面()A.有1個 B.有2個 C.有無數(shù)個 D.不存在解析由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個.答案C3.從空間一點(diǎn)P向二面角α－l－β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角的平面角的大小是()A.60° B.120° C.60°或120° D.不確定解析若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60°.答案C4.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小為________.解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC為二面角C1－AB－C的平面角，其大小為45°.答案45°類型一二面角及其平面角的概念【例1】下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系.其中正確的是()A.①③ B.②④ C.③④ D.①②解析由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，所以①不對，實質(zhì)上它共有四個二面角；由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對；由定義知④正確.故選B.答案B規(guī)律方法(1)要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致.(2)要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角面上的角的聯(lián)系與區(qū)別.(3)可利用實物模型，作圖幫助判斷.【訓(xùn)練1】若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角()A.相等 B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ) D.關(guān)系無法確定解析如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定，故二面角H－DG－F的大小不確定.答案D

類型二面面垂直的判定與證明【例2】如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.證明連接AC，BC，因為C是圓周上異于A、B的任一點(diǎn)，且AB是⊙O直徑.則BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥面PBC.規(guī)律方法面面垂直的判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只需轉(zhuǎn)證線面垂直，關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直.【訓(xùn)練2】如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.求證：平面AEC⊥平面PDB.證明∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，∴AC⊥平面PDB.又∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.

類型三二面角(互動探究)【例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.[思路探究]探究點(diǎn)一求二面角的大小關(guān)鍵是什么？提示求二面角的大小關(guān)鍵是要找出或作出平面角.探究點(diǎn)二二面角的兩種常見求法是什么？提示1.定義法：在二面角的棱上找一點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)過該點(diǎn)分別作垂直于棱的射線.2.垂面法：過棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個半平面形成交線，這兩條射線(交線)所成的角，即為二面角的平面角.解取A1C1的中點(diǎn)O，連接B1O，BO.由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O為A1C1的中點(diǎn)，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.因為BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.設(shè)正方體的棱長為a，則OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角B－A1C1－B1的正切值為eq\r(2).規(guī)律方法1.求二面角的大小關(guān)鍵是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角→證明→計算.2.為在適當(dāng)位置作出平面角要注意觀察二面角兩個面的圖形特點(diǎn)，如是否為等腰三角形等.【訓(xùn)練3】已知正四棱錐(底面為正方形各側(cè)面為全等的等腰三角形)的體積為12，底面對角線的長為2eq\r(6)，求側(cè)面與底面所成的二面角.解設(shè)正四棱錐為S－ABCD，如圖所示，高為h，底面邊長為a，則2a2＝(2eq\r(6))2，∴a2＝12.又eq\f(1,3)a2h＝12，∴h＝eq\f(36,a2)＝3.設(shè)O為S在底面上的射影，作OE⊥CD于E，連接SE，可知SE⊥CD，∠SEO為所求二面角的平面角.tan∠SEO＝eq\f(h,\f(a,2))＝eq\f(3×2,\r(12))＝eq\f(2×3,2\r(3))＝eq\r(3)，∴∠SEO＝60°.∴側(cè)面與底面所成二面角的大小為60°.[課堂小結(jié)]1.證明兩個平面垂直的主要途徑：(1)利用面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.2.證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現(xiàn)的，因此，在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的.3.下面的結(jié)論，有助于判斷面面垂直：(1)m∥n，m⊥α，n?β?α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n?α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α?γ⊥β.1.對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是()A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n?αC.m∥n，n⊥β，m?α D.m∥n，m⊥α，n⊥β解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.答案C2.空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.答案D3.如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小為________.解析PA⊥平面ABC，∴∠BAC即為二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°，∴二面角B－PA－C的大小為90°.答案90°4.(2016·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明(1)由已知，DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，且DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.基礎(chǔ)過關(guān)1.如果直線l，m與平面α，β，γ滿足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有()A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ解析B錯，有可能m與β相交；C錯，有可能m與β相交；D錯，有可能α與β相交.答案A2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖所示)，圖中互相垂直的平面有()A.1對 B.2對 C.3對 D.5對解析∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同樣BC⊥平面PAB，又易知AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5對.答案D3.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為()A.60° B.30° C.45° D.15°解析由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴PC⊥BC，∴∠PCA為二面角P－BC－A的平面角.在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，所以C對.答案C4.已知三棱錐D－ABC的三個側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝eq\r(3)，BC＝2，則二面角D－BC－A的大小為________.解析如圖由題意知AB＝AC＝BD＝CD＝eq\r(3)，BC＝AD＝2.取BC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA為所求二面角的平面角.易得AE＝DE＝eq\r(2)，又AD＝2，所以AE2＋DE2＝AD2.即∠DEA＝90°.答案90°5.E是正方形ABCD的邊AB中點(diǎn)，將△ADE與△BCE沿DE，CE向上折起，使得A，B重合于點(diǎn)P，那么二面角D－PE－C的大小為________.解析易得∠CPD即為二面角D－PE－C的平面角.在△PCD中，PC＝PD＝DC，∴∠CPD＝60°.答案60°6.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求證：平面PBD⊥平面PAC.證明∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.7.如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小.(1)證明如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.在Rt△PAB中，tan∠PBA＝eq\f(PA,AB)＝eq\r(3)，∠PBA＝60°，故二面角A－BE－P的大小是60°.能力提升8.在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個結(jié)論中不成立的是()A.BC∥面PDF B.DF⊥面PAEC.面PDF⊥面ABC D.面PAE⊥面ABC解析如圖所示，∵BC∥DF，BC?平面PDF，DF?平面PDF，∴BC∥平面PDF.∴A正確.由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.又BC∥DF，∴DF⊥平面PAE.∴B正確.∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE).∴D正確.答案C9.如圖所示，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直線BC∥平面PAED.直線PD與平面ABC所成的角為45°解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°，選D.答案D10.如圖，二面角α－l－β的大小是60°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是________.解析如圖，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連接OB，OC，則OC⊥l.設(shè)AB與β所成的角為θ，則∠ABO＝θ，由圖得sinθ＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AC,AB)·eq\f(AO,AC)＝sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4).答案eq\f(\r(3),4)11.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點(diǎn).(1)求證：平面MNF⊥平面ENF；(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值.(1)證明連接MN，∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點(diǎn)，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN?平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.又∵M(jìn)，E均為所在棱的中點(diǎn)，∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形.∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NE∩NF＝N，∴MN⊥平面NEF.而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.(2)解在平面NEF中，過點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，連接MG.由(1)得MN⊥平面NEF，又EF?平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，又MG?平面MNG，∴EF