11材料力學(xué)組合變形

第11章組合變形組合變形1組合變形目錄9.1拉伸（壓縮）與彎曲的組合9.2扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合9.3兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2一、組合變形

在復(fù)雜外載作用下，構(gòu)件的變形會(huì)包含幾種簡(jiǎn)單變形，當(dāng)幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力屬同一量級(jí)時(shí)，不能忽略之，這類構(gòu)件的變形稱為組合變形。組合變形MPRzxyPP引言3組合變形Phg4組合變形水壩qPhg5二、組合變形的研究方法——疊加原理①外力分析：外力向形心(或彎心)簡(jiǎn)化并沿形心主慣性軸分解②內(nèi)力分析：求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面。③應(yīng)力分析：畫危險(xiǎn)面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件。組合變形6組合變形§9.1拉伸（或壓縮）與彎曲的組合一、桿件同時(shí)受橫向力和軸向力的作用而產(chǎn)生的變形PR以圖(a)中的起重機(jī)橫梁AB為例，其受力簡(jiǎn)圖如圖(b)所示。軸向力FAx和FBx引起壓縮，橫向力FAy、W、FBy引起彎曲，所以AB桿即產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。若AB桿的抗彎剛度較大，彎曲變形很小，則可略去軸向力因彎曲變形而產(chǎn)生的彎矩。這樣，軸向力就只引起壓縮變形，不引起彎曲變形，疊加原理就可以應(yīng)用了。7組合變形8組合變形

[例1]

最大吊重G＝8kN的起重機(jī)如圖(a)所示(單位：mm)。若AB桿為工字鋼，材料為Q235鋼，＝100MPa，試選擇工字鋼型號(hào)。

解

AB桿的受力簡(jiǎn)圖如圖(b)所示，設(shè)CD桿的拉力為F，由平衡方程得解得

42kN

9組合變形把F分解為沿AB桿軸線的分量Fx和垂直于AB桿軸線的分量Fy，可見AB桿在AC段內(nèi)產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。且有作出AB桿的彎矩圖和AC段的軸力圖，如圖(c)所示。從圖中可以看出，C點(diǎn)截面左側(cè)，其彎矩值為最大，而軸力與其它截面相同，故為危險(xiǎn)截面。開始試算時(shí)，可以先不考慮軸力Fx的影響，只根據(jù)彎曲強(qiáng)度條件選取工字鋼。這時(shí)截面系數(shù)為

W≥

10查型鋼表C，選取16號(hào)工字鋼，其W＝141cm3，A＝26.1cm2。選定工字鋼后，同時(shí)考慮軸力Fx及彎矩M，再進(jìn)行強(qiáng)度校核。在危險(xiǎn)截面C的下邊緣各點(diǎn)上發(fā)生最大壓應(yīng)力，且為

結(jié)果表明，最大壓應(yīng)力與許用應(yīng)力接近相等，故無需重新選取截面的型號(hào)。

組合變形11組合變形PxyzPMyxyzPMyMz二、偏心拉伸(壓縮)

如果外力的作用線平行于桿件的軸線，但不通過桿件橫截面的形心，則將引起偏心拉伸(壓縮)。

1、分解：

122、應(yīng)力分析：組合變形PMyMzPMZMyxyzz

y134、危險(xiǎn)點(diǎn)（距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)）3、中性軸方程對(duì)于偏心拉壓?jiǎn)栴}中性軸組合變形P（zP，

yP）yzyz14解：兩柱橫截面上的最大正應(yīng)力均為壓應(yīng)力

[例2]圖示不等截面與等截面柱，受力P=350kN，試分別求出兩柱內(nèi)的絕對(duì)值最大正應(yīng)力。圖（1）圖（2）組合變形MPPd..P300200200P20020015

[例3]

圖示鋼板受力P=100kN，試求最大正應(yīng)力；若將缺口移至板寬的中央，且使最大正應(yīng)力保持不變，則挖空寬度為多少？解：內(nèi)力分析如圖坐標(biāo)如圖，挖孔處的形心組合變形PPPPMN2010020yzyC1016PPMN應(yīng)力分析如圖孔移至板中間時(shí)組合變形2010020yzyC＋17

[例4]

如圖所示小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖

(a)所示。已知材料的許用拉應(yīng)力＝30MPa，許用壓應(yīng)力＝160MPa。試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的最大許可壓力FP。立柱的截面尺寸如圖

(b)所示(尺寸單位：mm)。

組合變形a)b)18組合變形解首先，根據(jù)截面尺寸計(jì)算橫截面面積，確定截面形心位置，求出截面對(duì)形心主慣性軸y的主慣性矩Iy。計(jì)算結(jié)果為其次，分析立柱的內(nèi)力和應(yīng)力。像立柱這樣的受力情況有時(shí)稱為偏心拉伸。根據(jù)任意截面m-m以上部分的平衡(圖c))，容易求得截面m-m上的軸力FN和彎矩My分別為橫截面上與軸力FN對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是均布的拉應(yīng)力，且19組合變形與彎矩My對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力按線性分布，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別是從圖c)可以看出，疊加以上兩種應(yīng)力后，在截面內(nèi)側(cè)邊緣上發(fā)生最大拉應(yīng)力，且在截面的外側(cè)邊緣上發(fā)生最大壓應(yīng)力，且最后，由抗拉強(qiáng)度條件得

≤45.1kN。由抗壓強(qiáng)度條件得≤為使立柱同時(shí)滿足抗拉和抗壓強(qiáng)度條件，壓力FP不應(yīng)超過。20

[例5]方形截面桿的橫截面面積在mn

處減少一半，試求由軸向載荷

P

引起的mn

截面上的最大拉應(yīng)力。

解：

組合變形21組合變形

§9.2

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形在機(jī)械工程中是常見的。下面以操縱手柄為例來說明這類組合變形時(shí)應(yīng)力及其強(qiáng)度的計(jì)算方法。圖

a)所示為一鋼制手柄，AB段是直徑為d的等直圓桿，A端的約束可視為固定端，BC段長(zhǎng)度為a?，F(xiàn)在來討論在C端鉛垂力FP作用下，AB桿的受力情況。將FP力向AB桿B端的形心簡(jiǎn)化，即可將外力分為橫向力FP及作用在桿端平面內(nèi)的力矩Mx＝FPa，其受力情況如圖

b)所示。它們分別使AB桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲變形。

22組合變形23組合變形用截面法可計(jì)算出AB桿橫截面上的彎矩M和扭矩MT，其M圖和MT圖分別如圖c)和d)所示。因?yàn)锳截面上內(nèi)力最大，該截面為危險(xiǎn)截面，其內(nèi)力值分別為彎矩M＝FPl，扭矩MT＝FPa。在危險(xiǎn)截面A上，與彎矩M相對(duì)應(yīng)的彎曲正應(yīng)力，在y軸方向的直徑上下兩端點(diǎn)1和2處最大(圖e))；與扭矩MT相對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力在橫截面的周邊各點(diǎn)處最大(圖f))。所以在1和2兩點(diǎn)處的應(yīng)力和，都為最大值，稱其為危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)?，F(xiàn)取其中的1點(diǎn)來研究，如圖g)所示(圖h)為其平面圖)。作用在1點(diǎn)上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，分別按彎曲正應(yīng)力公式和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式來計(jì)算。其值為24組合變形很明顯，1點(diǎn)處于二向應(yīng)力狀態(tài)，需要采用適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論來進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。首先，計(jì)算1點(diǎn)的主應(yīng)力。利用公式可得

然后，選用強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件。因手柄用鋼材制成，應(yīng)選用第三或第四強(qiáng)度理論。若采用第三強(qiáng)度理論，可得其強(qiáng)度條件為

≤

25組合變形若采用第四強(qiáng)度理論，可將上述三個(gè)主應(yīng)力代入公式，其強(qiáng)度條件成≤若將式代入上兩式，并注意到對(duì)圓截面桿有WP＝2W，則以上兩式改寫成≤

≤式中的M和MT分別為圓截面桿危險(xiǎn)截面上的彎矩和扭矩。下面舉例說明怎樣利用這些理論對(duì)圓截面鋼軸進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算26組合變形

[例6]

電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)一圓軸AB，在軸中點(diǎn)處裝有一重G＝5kN、直徑D＝1.2m的膠帶輪(圖a))，膠帶緊邊的拉力F1＝6kN，松邊的拉力F2＝3kN。若軸的許用應(yīng)力＝50MPa，試按第三強(qiáng)度理論求軸的直徑d。解把作用于輪子上的膠帶拉力F1、F2向軸線簡(jiǎn)化，如圖b)所示。由受力簡(jiǎn)圖可見，軸受鉛垂方向的力為

F＝G+F1+F2＝(5+6+3)kN＝14kN

該力使軸發(fā)生彎曲變形。同時(shí)軸又受由膠帶的拉力產(chǎn)生的力偶矩為

kN·m

該力偶矩使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。所以軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形。

27組合變形28組合變形根據(jù)橫向力作出的彎矩圖如圖c)所示。最大彎矩在軸的中點(diǎn)截面上，其值為

kN·m

根據(jù)扭轉(zhuǎn)外力偶矩M，作出的扭矩圖如圖d)所示。扭矩為

kN·m

由此可見，軸中間截面右側(cè)為危險(xiǎn)截面。按第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，有≤代入相應(yīng)數(shù)據(jù)得≤故得

≥

m＝98mm。

29解：拉扭組合,危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖

[例7]

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,[

]=100MPa，試按第三強(qiáng)度理論校核此桿的強(qiáng)度。故，安全。組合變形AAPPTT30§9.3兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲一、斜彎曲：桿件產(chǎn)生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與外力（橫向力）不共面。二、斜彎曲的研究方法：1.分解：將外載沿橫截面的兩個(gè)形心主軸分解，于是得到兩個(gè)正交的平面彎曲。組合變形PzPyyzPjxyzPPyPz312.疊加：對(duì)兩個(gè)平面彎曲進(jìn)行研究；然后將計(jì)算結(jié)果疊加起來。組合變形xyzPyPzPPzPyyzPj32解：1.將外載沿橫截面的形心主軸分解2.研究?jī)蓚€(gè)平面彎曲①內(nèi)力：組合變形PzPyyzPj33②應(yīng)力：My引起的應(yīng)力：Mz引起的應(yīng)力：合應(yīng)力：組合變形LPzPyyzPjxyzPyPzPLmmx34④最大正應(yīng)力：⑤變形計(jì)算：③中性軸方程：可見：只有當(dāng)Iy=Iz時(shí)，中性軸與外力才垂直。在中性軸兩側(cè)，距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)為拉壓最大正應(yīng)力點(diǎn)。當(dāng)

=

時(shí)，即為平面彎曲。組合變形D1D2a中性軸PzPyyzPjD1D2affzfyb35

[例8]結(jié)構(gòu)如圖，P過形心且與z軸成

角，求此梁的最大應(yīng)力與撓度。當(dāng)Iy=Iz時(shí)，即發(fā)生平面彎曲。解：危險(xiǎn)點(diǎn)分析如圖組合變形最大正應(yīng)力變形計(jì)算中性軸ffzfybyzLxPyPzPhbPzPyyzPjD2D1a36

[例9]矩形截面木檁條如圖，跨長(zhǎng)L=3m，受集度為q=800N/m的均布力作用，[

]=12MPa，許可撓度為：[f/L]=1/200，E=9GPa，試選擇截面尺寸，并校核剛度。解：外力分析，