第二十八章 銳角三角函數(shù) 單元測試 2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊

第二十八章綜合素質(zhì)評價一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)1．eq\r(2)cos45°－1的值等于()A．0B．1C.eq\f(\r(2),2)－1D.eq\r(2)－12．李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：tan(α＋20°)＝1，你猜想銳角α的度數(shù)應(yīng)是()A．45°B．35°C．25°D．15°3．若∠A是銳角，且sinA＝eq\f(1,3)，則()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4.已知：sin232°＋cos2α＝1，則銳角α等于()A．32°B．58°C．68°D．以上結(jié)論都不對5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，定義：斜邊與∠A的對邊的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如設(shè)該直角三角形的三邊分別為a，b，c，則cscA＝eq\f(c,a)，那么下列說法正確的是()A．cscB·sinA＝1B．cscB＝eq\f(b,c)C．cscA·cosB＝1D．csc2A＋csc2B＝16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DC＝eq\f(1,3)AD，BD平分∠ABC，則tanA的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),4)7.如圖①是一款桌面可調(diào)整的學(xué)習(xí)桌，圖②是其示意圖，其中桌面寬度AB為60cm，桌面平放時高度DE為70cm，若書寫時桌面適宜傾斜角(∠ABC)的度數(shù)為α，則桌沿(點A)處到地面的高度h為()A．(60sinα＋70)cmB．(60cosα＋70)cmC．(60tanα＋70)cmD．130cm8．如圖，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”這些條件作△ABC.他先作出了∠A和AB，在用圓規(guī)作BC時，發(fā)現(xiàn)點C出現(xiàn)了C1和C2兩個位置，那么C1C2的長是()A．3cmB．4cmC．2eq\r(5)cmD．2eq\r(7)cm9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點B為圓心，BC長為半徑作弧交AB于點D，再分別以點C，D為圓心，BC長為半徑作弧交于點E，若BC＝5，cosA＝eq\f(12,13)，則CF的長為()A.eq\f(10,3)B．3C.eq\f(8,3)D.eq\f(7,3)10．如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝4，射線AN∥BC，D為AN上一點，過點D作DE∥AB，交射線BC于點E.研究發(fā)現(xiàn)線段CE的長y與線段AD的長x之間的關(guān)系可用圖②的圖象表示，已知點M(8，2)，則∠B的正切值為()A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,4)D.eq\f(\r(7),4)二、填空題(共5小題，每小題3分，共15分)11.若規(guī)定cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則cos15°＝________．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P是第一象限的點，其坐標(biāo)為(x，8)，且OP與x軸正半軸的夾角α的正切值為eq\f(4,3)，則x的值為________．13．如圖，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當(dāng)太陽光與水平面的夾角為60°時，大樹在斜坡上的影子BE的長為10m，則大樹AB的高為________m.14.如圖，△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一條直線上，連接AG，與邊DC，DE，F(xiàn)E分別交于點P，Q，N.若△DPQ是以∠DPQ為直角的直角三角形，則sin∠BAC＝________．15．在平面直角坐標(biāo)系中，用12個含有30°角的直角三角形拼成如圖所示的圖形，若A0A1＝1，則圖中與△OA11A12位似的三角形的直角頂點坐標(biāo)是________．三、解答題(共75分)16．(8分)觀察下列等式：①sin30°＝eq\f(1,2)，cos60°＝eq\f(1,2)；②sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)；③sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2).(1)根據(jù)上述規(guī)律，計算：sin2α＋sin2(90°－α)＝________；(2)計算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.17．(10分)設(shè)θ為直角三角形的一個銳角，給出θ角三角函數(shù)的兩條基本性質(zhì)：①tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)；②cos2θ＋sin2θ＝1，利用這些性質(zhì)解答本題．已知cosθ＋sinθ＝eq\f(\r(6),2)，求：(1)tanθ＋eq\f(1,tanθ)；(2)|cosθ－sinθ|.18．(10分)如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60°，AD：AB＝2：3，BD＝eq\r(7)，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝120°，求CD的長．19．(11分)在綜合實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決實際問題．實踐報告如下：活動課題測量教學(xué)樓前旗桿的高度CD.活動工具一把皮尺(最大長度是10m)和一臺測角儀.測量過程(1)在教學(xué)樓的底端A處，測得旗桿頂端C的仰角是40°，然后爬到教學(xué)樓二樓的B處，測得旗桿底端D的俯角是15°.(2)測得AB＝4m.解決問題根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算旗桿CD的高度．(結(jié)果保留一位小數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)20．(11分)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，C是eq\o(DBA,\s\up8(︵))的中點，F(xiàn)C⊥AC于C，與⊙O及AD的延長線分別交于點E，F(xiàn)，且eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).(1)求證：△CBA∽△FDC；(2)如果AC＝9，AB＝4，求tan∠ACB的值．21．(12分)圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿AB⊥BC，活動桿AD可繞點A旋轉(zhuǎn)，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm.(1)如圖②，當(dāng)活動桿AD處于水平狀態(tài)時，求可伸縮支撐桿CD的長度(結(jié)果保留根號)；(2)如圖③，當(dāng)活動桿AD繞點A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度α，且tanα＝eq\f(3,4)(α為銳角)時，求此時可伸縮支撐桿CD的長度(結(jié)果保留根號)．22．(13分)如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1km的碼頭MN，在碼頭西端M的正西方向23.5km處有一觀察站A，某時刻測得A處的西偏北60°且與A相距40km的B處，有一艘勻速直線航行的輪船，輪船沿南偏東51.8°的方向航行，經(jīng)過2h，又測得該輪船位于A處的東偏北30°的C處．(參考數(shù)據(jù)：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40，eq\r(3)≈1.73)(1)填空：∠ABC＝________°，∠BAC＝________°；(2)求輪船航行的速度；(精確到0.1km/h)(3)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好至碼頭MN靠岸？請說明理由．

答案一、1.A2.C3.A4.A5.C6．D【點撥】過點D作AB的垂線，垂足為M，如圖．∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DM⊥AB，∴CD＝MD.∵DC＝eq\f(1,3)AD，則設(shè)DC＝a，則AD＝3a.∴DM＝DC＝a.∴在Rt△ADM中，AM＝eq\r(（3a）2－a2)＝2eq\r(2)a.∴tanA＝eq\f(DM,AM)＝eq\f(a,2\r(2)a)＝eq\f(\r(2),4).7．A8．D【點撥】過點B作BM⊥AC2于點M，如圖．∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm，∴BM＝eq\f(1,2)AB＝3cm.∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2，∴C1M＝C2M＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)cm.∴C1C2＝2eq\r(7)cm.故選D.9．A【點撥】由題知，BF平分∠ABC，過點F作AB的垂線，垂足為M，如圖．∵在Rt△ABC中，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13)，∴設(shè)AC＝12x，則AB＝13x.又∵BC＝5，∴(12x)2＋52＝(13x)2，解得x＝1(負值已舍去)．∴AC＝12，AB＝13.∵BF平分∠ABC，∠C＝90°，F(xiàn)M⊥AB，∴CF＝MF.∵S△ABC＝S△BCF＋S△ABF，即eq\f(1,2)×5×12＝eq\f(1,2)×5·CF＋eq\f(1,2)×13·MF，∴CF＝eq\f(10,3).10．A【點撥】∵AN∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABED為平行四邊形．∴BE＝AD.根據(jù)題圖②，得M點在圖象拐點的右側(cè)，即點E在點C的右側(cè)，∴AD＝x＝8，EC＝y(tǒng)＝2.∴BE＝AD＝8.∴BC＝BE－EC＝8－2＝6.如圖，過點A作AF⊥BC交BC于點F，∵AB＝AC＝4，BC＝6，∴BF＝CF＝eq\f(1,2)BC＝3.∴AF＝eq\r(AB2－BF2)＝eq\r(7).∴∠B的正切值＝eq\f(AF,BF)＝eq\f(\r(7),3).二、11.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)12.613．(4eq\r(15)－2eq\r(5))【點撥】如圖，過點E作水平地面的平行線，交AB的延長線于點H，則∠BEH＝∠DCF.∵斜坡CD的坡度i＝1：2，∴在Rt△BEH中，tan∠BCF＝tan∠BEH＝eq\f(BH,EH)＝eq\f(1,2).∴設(shè)BH＝xm，則EH＝2xm.∴BE＝eq\r(EH2＋BH2)＝eq\r(5)x＝10m.∴x＝2eq\r(5).∴BH＝2eq\r(5)m，EH＝4eq\r(5)m.∵∠EAH＝180°－60°－90°＝30°，∴在Rt△AEH中，AH＝eq\r(3)EH＝4eq\r(15)m.∴AB＝AH－BH＝(4eq\r(15)－2eq\r(5))m.14.eq\f(\r(5),3)【點撥】∵△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，∴BC＝CE＝EG，∠B＝∠DCE＝∠FEG.∴AB∥DC∥EF.∴△CPG∽△BAG.∴eq\f(PC,AB)＝eq\f(GC,GB).令A(yù)B＝AC＝m，則eq\f(PC,m)＝eq\f(2,3)，∴PC＝eq\f(2,3)m.∴在Rt△APC中，AP＝eq\r(m2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),3)m.∴sin∠ACP＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\f(\r(5),3)m,m)＝eq\f(\r(5),3).∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACP.∴sin∠BAC＝sin∠ACP＝eq\f(\r(5),3).15.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16\r(3),9)，\f(16,9)))【點撥】由題意，OA1＝2A0A1＝2，OA2＝OA1÷cos30°，OA3＝OA1÷cos230°，…，OA5＝OA1÷cos430°＝2÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(32,9)，∴A5(－eq\f(32,9)×eq\f(\r(3),2)，eq\f(32,9)×eq\f(1,2))，即A5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16\r(3),9)，\f(16,9))).∴與△OA11A12位似的三角形的直角頂點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16\r(3),9)，\f(16,9))).三、16.【解】(1)1(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(sin21°＋sin289)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋sin245°＝1＋1＋…1＋eq\f(1,2)＝44＋eq\f(1,2)＝eq\f(89,2).17．【解】∵cosθ＋sinθ＝eq\f(\r(6),2)，∴(cosθ＋sinθ)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)，即cos2θ＋2cosθ·sinθ＋sin2θ＝eq\f(3,2).∴cosθ·sinθ＝eq\f(1,4).(1)tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,cosθ·sinθ)＝eq\f(1,\f(1,4))＝4.(2)∵(cosθ－sinθ)2＝cos2θ－2cosθ·sinθ＋sin2θ＝1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，∴cosθ－sinθ＝±eq\f(\r(2),2).∴|cosθ－sinθ|＝eq\f(\r(2),2).18．【解】(1)如圖，過D作DE⊥AB于E，設(shè)AE＝a.在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°.∴AD＝2a，DE＝eq\r(3)a.∵AD：AB＝2：3，∴AB＝3a.∴EB＝2a.∴在Rt△DEB中，(eq\r(3)a)2＋(2a)2＝(eq\r(7))2，解得a＝1.∴DE＝eq\r(3)，BE＝2.∴sin∠ABD＝eq\f(DE,BD)＝eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).(2)過C作CF⊥DE于F.∵CB⊥AB，CF⊥DE，DE⊥AB，∴∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°.∴四邊形CFEB是矩形．∴CF＝EB＝2，BC＝EF，∠FCB＝90°.又∵∠DCB＝120°，∴∠DCF＝30°.∴DF＝CF·tan30°＝eq\f(2\r(3),3).∴CD＝2DF＝eq\f(4\r(3),3).19．【解】由題意，得∠ADB＝15°.在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ADB＝15°，AB＝4m，∴AD＝eq\f(AB,tan∠ADB)≈14.81m.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝40°，∴CD＝AD·tan40°≈14.81×0.84≈12.4(m)．∴旗桿CD的高度約為12.4m.20．(1)【證明】∵eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠FCD＝∠CAB.∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FDC＝∠ABC.∴△CBA∽△FDC.(2)【解】∵C是eq\o(DBA,\s\up8(︵))的中點，∴eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵)).∴DC＝AC＝9.∵△CBA∽△FDC，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(CF,CD).∴eq\f(9,4)＝eq\f(CF,9).∴CF＝eq\f(81,4).∵△CBA∽△FDC，∴∠ACB＝∠CFD.∵FC⊥AC，∴tan∠CFA＝eq\f(AC,CF)＝eq\f(9,\f(81,4))＝eq\f(4,9).∴tan∠ACB＝tan∠CFA＝eq\f(4,9).21．【解】(1)過點C作CE⊥AD，垂足為E，如圖．由題意得AB＝CE＝10cm，BC＝AE＝20cm.∵AD＝50cm，∴ED＝AD－AE＝50－20＝30(cm)．∴在Rt△CED中，CD＝eq\r(CE2＋DE2)＝eq\r(102＋302)＝10eq\r(10)(cm)．∴可伸縮支撐桿CD的長度為10eq\r(10)cm.(2)過點D作DF⊥BC，交BC的延長線于點F，交AD′于點G，如圖．由題意得四邊形ABFG為矩形，∴AB＝FG＝10cm，AG＝BF，∠AGD＝90°.∵在Rt△ADG中，tanα＝eq\f(DG,AG)＝eq\f(3,4)