新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值課件新人教A版選擇性必修第三冊

第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.通過具體的實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征數(shù)學(xué)抽象2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值數(shù)學(xué)運(yùn)算自學(xué)導(dǎo)引一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn加權(quán)平均數(shù)平均水平【預(yù)習(xí)自測】思維辨析(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化． (

)(2)隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同． (

)(3)隨機(jī)變量的均值反映隨機(jī)變量取值的平均水平． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.【預(yù)習(xí)自測】已知Y的分布列如下表，則Y的期望為________.兩點(diǎn)分布的期望一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX＋b)＝__________．a(chǎn)E(X)＋b離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)【預(yù)習(xí)自測】設(shè)E(X)＝5，則E(2X＋3)＝________．【答案】13【解析】E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×5＋3＝13.課堂互動(2023年鄭州期末)甲、乙、丙三人參加2022年冬奧會北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)的志愿服務(wù)活動，若每人只能選擇一個(gè)賽區(qū)，且選擇其中任何一個(gè)賽區(qū)是等可能的，求三人選中的賽區(qū)個(gè)數(shù)的均值．題型1利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值求離散型隨機(jī)變量均值的步驟求離散型隨機(jī)變量均值的關(guān)鍵是寫出分布列，一般分為四步：①確定X的可能取值；②計(jì)算出P(X＝k)；③寫出分布列；④利用E(X)的公式進(jìn)行計(jì)算．已知隨機(jī)變量X的分布列為題型2離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【例題遷移1】

(改變問法)本例條件不變，若Y＝2X－3,求E(Y).與離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路若給出的隨機(jī)變量ξ與X的關(guān)系為ξ＝aX＋b(a，b為常數(shù))，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)；也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，解題關(guān)鍵是由X的取值計(jì)算ξ的取值(對應(yīng)的概率相等)，再由定義法求得E(ξ).2．已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，則m的值為 (

)【答案】A(2023年北京模擬)隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為ξ.(1)求ξ的分布列和均值；(2)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？題型3均值的實(shí)際應(yīng)用ξ621－2P0.630.250.10.02E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬元).(2)設(shè)技術(shù)革新后三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03.所以三等品率最多為3%.實(shí)際問題中的均值問題均值在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，如在體育比賽的安排和成績預(yù)測、消費(fèi)預(yù)測、工程方案的預(yù)測、產(chǎn)品合格率的預(yù)測、投資收益等，都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估計(jì)．概率模型的解答步驟(1)審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些．(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值．(3)對照實(shí)際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論．3．某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．由于下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)．無雨時(shí)收益為20萬元；有雨時(shí)收益為10萬元．額外聘請工人的成本為a萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益．(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人？請說明理由．解：(1)設(shè)下周一無雨的概率為p，由題意知p2＝0.36，解得p＝0.6，則下周一有雨的概率為1－p＝1－0.6＝0.4.基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5，則P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列為X2015107.5P0.360.240.240.16基地的預(yù)期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(萬元).(2)設(shè)基地額外聘請工人時(shí)的收益為Y萬元，則其預(yù)期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(萬元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a.綜上，當(dāng)額外聘請工人的成本高于1.6萬元時(shí)，不外聘工人；當(dāng)成本低于1.6萬元時(shí)，外聘工人；當(dāng)成本恰為1.6萬元時(shí)，是否外聘工人均可以．若X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則E(E(X)－X)＝ (

)A．0 B．1C．2E(X) D．不確定錯(cuò)解：由于E(E(X)－X)＝E(E(X))－E(X)，E(E(X))不確定，故選D．易錯(cuò)警示對離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)理解不清致誤易錯(cuò)防范：離散型隨機(jī)變量的均值E(X)是一個(gè)數(shù)值，是隨機(jī)變量X本身固有的一個(gè)數(shù)字特征，它不具有隨機(jī)性，反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平．正解：由離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)知，當(dāng)Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)時(shí)，有E(Y)＝aE(X)＋b.又因?yàn)镋(X)是常數(shù)，所以E(E(X)－X)＝E(X)＋E(－X)＝E(X)－E(X)＝0.素養(yǎng)達(dá)成1．求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：(1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值；(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；(3)根據(jù)公式求出均值．2．設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率，則兩點(diǎn)分布的均值E(X)＝p.3．若X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b.1．(題型1)已知離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為則X的均值E(X)等于 (

)【答案】D2．(題型2)已知隨機(jī)變量X的分布列為則E(5X＋4)等于

(

)A．15 B．11C．2.2 D．2.3【答案】A【解析】由隨機(jī)變量X的分布列，可得期望E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，所以E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.故選A．X124P0.40.30.33．(題型3)(2023年漳州模擬)某企業(yè)計(jì)劃加大技改力度，需更換一臺設(shè)備，現(xiàn)有兩種品牌的設(shè)備可供選擇，A品牌設(shè)備需投入60萬元，B品牌設(shè)備需投入90萬元，企業(yè)對兩種品牌設(shè)備的使用年限情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查：A品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更換設(shè)備技改后，每年估計(jì)可增加效益100萬元，從年均收益的角度分析 (

)A．不更換設(shè)備B．更換為A設(shè)備C．更換為B設(shè)備D．更換為A或B設(shè)備均可【答案】C【解析】設(shè)更換為A品牌設(shè)備使用年限為X，則E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3，更換為A品牌設(shè)備年均收益為3×100－60＝240(萬元)；設(shè)更換為B品牌設(shè)備使用年限為Y，則E(Y)＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7，更換為B品牌設(shè)備年均收益為3.7×100－90＝280(萬元).280>240，所以更換為B品牌設(shè)備．