數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念說(shuō)課文字稿 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

各位評(píng)委老師好，我今天說(shuō)課的題目是《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》。我將從教材分析，目標(biāo)分析，學(xué)情分析，重難點(diǎn)分析，教法學(xué)法，教學(xué)過(guò)程，板書(shū)設(shè)計(jì)七個(gè)方面來(lái)展開(kāi)我的說(shuō)課。首先是教材分析。本節(jié)課選自人教A版必修第二冊(cè)第七章第一節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念。本節(jié)課的學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生回顧數(shù)集擴(kuò)充的過(guò)程，體會(huì)虛數(shù)引入的必要性和合理性，進(jìn)而讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念。本節(jié)課是該章的基礎(chǔ)課，起始課，具有承前啟后的作用。新課標(biāo)把復(fù)數(shù)內(nèi)容從選修變?yōu)楸匦?，?qiáng)調(diào)了該部分知識(shí)的重要性。新課標(biāo)中對(duì)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式的要求提高，由了解變?yōu)槔斫狻５诙?，學(xué)情分析。高一的學(xué)生在義務(wù)教育階段已經(jīng)經(jīng)歷了從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程，對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充有了一定的認(rèn)識(shí)。這就為本節(jié)課類(lèi)比有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集的過(guò)程和方法，將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集提供了可能，但是由于在現(xiàn)實(shí)生活中沒(méi)有任何事物支持虛數(shù)，加之學(xué)生對(duì)于數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則不熟悉，所以對(duì)虛數(shù)單位的引入以及虛數(shù)單位和實(shí)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的理解會(huì)出現(xiàn)一定困難。第三，目標(biāo)分析。1.學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)需要了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，理解復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，復(fù)數(shù)相等的充要條件。2.感受數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中人類(lèi)理性思維的作用，提升數(shù)學(xué)抽象邏輯推理素養(yǎng)。3.提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，拓寬數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)應(yīng)用與文化價(jià)值，增強(qiáng)探索精神。依據(jù)以上學(xué)情分析以及教學(xué)目標(biāo)，我確定了如下教學(xué)重難點(diǎn)。首先教學(xué)重點(diǎn)是數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程以及復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的分類(lèi)，復(fù)數(shù)相等的充要條件，而教學(xué)難點(diǎn)在于復(fù)數(shù)及擴(kuò)充過(guò)程中的數(shù)學(xué)基本思想，以及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式。根據(jù)以上重難點(diǎn)，我提出如下應(yīng)對(duì)策略。首先我會(huì)適當(dāng)介紹數(shù)系擴(kuò)充簡(jiǎn)史，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的生動(dòng)性。接著通過(guò)解方程問(wèn)題進(jìn)行引導(dǎo)，借助已有的數(shù)擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)，從特殊到一般，幫助學(xué)生梳理出數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中出現(xiàn)的規(guī)則，感受引入負(fù)數(shù)的必要性與合理性。第五教法學(xué)法分析。科學(xué)合理的教學(xué)方法能使教學(xué)效果事半功倍，達(dá)到教與學(xué)的和諧統(tǒng)一，我將通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)史材料激發(fā)學(xué)生的求知欲，設(shè)置問(wèn)題串，采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生追溯歷史，提煉數(shù)系擴(kuò)充的原則。幫助學(xué)生合乎情理的建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此我將采用引導(dǎo)探究法，講授法，發(fā)現(xiàn)法等多種教學(xué)方法融合，學(xué)生主要進(jìn)行的是探究學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)。第六，教學(xué)過(guò)程。教學(xué)過(guò)程我分為創(chuàng)設(shè)情境，方程求解，擴(kuò)充數(shù)集，例題講解，小結(jié)提升，布置作業(yè)六個(gè)模塊。首先創(chuàng)設(shè)情境，我將提出第一個(gè)問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們求解一元二次方程，你能得出怎樣的兩個(gè)根？在此學(xué)生會(huì)嘗試解答，并發(fā)現(xiàn)該方程無(wú)實(shí)數(shù)根。而用一元二次方程求根公式得出來(lái)的兩個(gè)根出現(xiàn)了負(fù)實(shí)數(shù)開(kāi)平方的情況。我在此繼續(xù)追問(wèn)：無(wú)實(shí)根的方程有很多，我們能否將類(lèi)似的方程最終簡(jiǎn)化為最簡(jiǎn)單的方程是否有解的問(wèn)題？帶學(xué)生簡(jiǎn)化得出方程之后，我將向?qū)W生介紹數(shù)系發(fā)展的簡(jiǎn)史：像這樣負(fù)實(shí)數(shù)開(kāi)平方的情況早在1545年，卡爾丹在解方程的過(guò)程中就已經(jīng)遇到了；后來(lái)笛卡爾用imaginarynumber來(lái)形容這樣虛無(wú)縹緲的數(shù)，叫做虛數(shù)；歐拉選擇了首字母i作為他的符號(hào)，進(jìn)而將實(shí)數(shù)集進(jìn)行了擴(kuò)充。創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，我用兩個(gè)問(wèn)題來(lái)引出矛盾，融入簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)史上負(fù)實(shí)數(shù)開(kāi)平方的歷程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)新概念的產(chǎn)生是曲折的，我們要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家不屈不撓，精益求精的精神，并由此引出需要擴(kuò)充數(shù)系。學(xué)生對(duì)于數(shù)系的擴(kuò)充有了初步的了解，但仍不清楚擴(kuò)充的規(guī)則，于是于是我提出第二個(gè)問(wèn)題：請(qǐng)學(xué)生在給定數(shù)集當(dāng)中求出方程的解，并聯(lián)系生活實(shí)際談一談。在這個(gè)問(wèn)題當(dāng)中學(xué)生對(duì)這些方程是比較熟悉的，能夠快速的得出方程的解，但這些解并不在給定數(shù)集當(dāng)中，進(jìn)而需要不斷擴(kuò)充數(shù)系，部分學(xué)生也能講出方程的一些實(shí)際意義，但不完整。學(xué)生討論得出部分結(jié)果之后，我做出補(bǔ)充，一同梳理出從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程及其實(shí)際意義，同時(shí)板書(shū)這些數(shù)集之間的關(guān)系。在這個(gè)問(wèn)題當(dāng)中，通過(guò)求方程的解來(lái)梳理數(shù)的發(fā)展歷史，使學(xué)生了解數(shù)的產(chǎn)生以及數(shù)系的不斷擴(kuò)充是基于兩個(gè)方面的需求：社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐的需要和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。引入新數(shù)就要引入新的運(yùn)算，而加法和乘法運(yùn)算是上述數(shù)系當(dāng)中最基本的運(yùn)算。由此提出第三個(gè)問(wèn)題：數(shù)系的每一次擴(kuò)充加法和乘法運(yùn)算所滿(mǎn)足的性質(zhì)是否有一致性？由此你能梳理數(shù)系擴(kuò)充遵循的規(guī)則嗎？學(xué)生小組討論，教師引導(dǎo)分析并做出總結(jié)，原數(shù)集當(dāng)中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算在新的數(shù)集當(dāng)中仍然成立，比如有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的加法運(yùn)算，乘法運(yùn)算等等表示出實(shí)數(shù)，在此總結(jié)數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則，為后續(xù)實(shí)數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充提供方法，進(jìn)而突破本節(jié)課的難點(diǎn)。梳理出規(guī)則之后回歸第一個(gè)問(wèn)題：類(lèi)比從有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程，你能設(shè)想一種方法使得方程有解嗎？經(jīng)過(guò)前面的鋪墊，學(xué)生能夠回答出：給這個(gè)方程引入一個(gè)新的數(shù)，并學(xué)著歐拉用字母i來(lái)表示，所以歸納出虛數(shù)單位的概念：我們引入一個(gè)數(shù)i，使得，這樣它就是方程的解。在這個(gè)問(wèn)題當(dāng)中幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為基本問(wèn)題來(lái)解決，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比方法解決問(wèn)題。問(wèn)題5：引入新數(shù)之后，實(shí)數(shù)能否與新數(shù)i進(jìn)行加法、乘法運(yùn)算？請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出運(yùn)算的組合類(lèi)比前面有理數(shù)與無(wú)理數(shù)進(jìn)行的加法乘法運(yùn)算，學(xué)生能夠?qū)懗鲱?lèi)似于，，，等這樣具體的數(shù)。接著我會(huì)繼續(xù)追問(wèn)，你能寫(xiě)出一個(gè)形式把大家所說(shuō)的數(shù)都包含在內(nèi)，并說(shuō)明理由嗎？引導(dǎo)學(xué)生用實(shí)數(shù)a，b與虛數(shù)單位i進(jìn)行加法乘法運(yùn)算，而，當(dāng)時(shí)只能表示出一個(gè)虛數(shù)i，在時(shí)只能表示出一個(gè)實(shí)數(shù)0，所以這兩個(gè)形式都無(wú)法表示出所有的新數(shù)。于是引導(dǎo)學(xué)生提出用來(lái)表示這個(gè)新的數(shù)。由此引出復(fù)數(shù)的概念：把形如，這樣的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，我將在黑板上板書(shū)出概念和表示式，并標(biāo)出實(shí)部和虛部。通過(guò)以上問(wèn)題導(dǎo)學(xué)由特殊到一般抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)集，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中理性思維的作用。得出概念之后，讓學(xué)生快速口頭回答以下復(fù)數(shù)的實(shí)部虛部分別是什么？通過(guò)這幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)部虛部的辨別，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這些例子當(dāng)中有一些特殊情況，有的實(shí)部為零，有的虛部為零，進(jìn)而引出復(fù)數(shù)的分類(lèi)，再次讓學(xué)生自行思考理解，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于新數(shù)系擴(kuò)充之后的理解，掌握新舊數(shù)系數(shù)集之間的關(guān)系。有了基本概念之后，讓學(xué)生自行閱讀教科書(shū)。說(shuō)出兩個(gè)復(fù)數(shù)和相等的含義。接著教師做總結(jié)，一個(gè)復(fù)數(shù)由虛部和實(shí)部唯一確定，與有序數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，所以?xún)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件就是他們的實(shí)部和虛部分別相等。這里是從保證集合中元素的互異性出發(fā)，研究?jī)蓚€(gè)新數(shù)相等的含義。并由復(fù)數(shù)相等的定義出發(fā)得到復(fù)數(shù)實(shí)際上是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，為研究復(fù)數(shù)的幾何意義奠定基礎(chǔ)。問(wèn)題七，復(fù)數(shù)集，實(shí)數(shù)集，虛數(shù)集，純虛數(shù)集之間存在著怎樣的關(guān)系？在此引導(dǎo)學(xué)生用Veen圖表示出這些數(shù)集之間的關(guān)系，深化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)集是實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充以及對(duì)復(fù)數(shù)的理解。通過(guò)以上問(wèn)題串的引導(dǎo)，學(xué)生已經(jīng)基本能夠理解復(fù)數(shù)的概念。得到復(fù)數(shù)表示式，清楚復(fù)數(shù)相等的充分必要條件。接著我會(huì)通過(guò)以下例一，例二，例三，幫助學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂的鞏固理解。在此通過(guò)例題鞏固復(fù)數(shù)的概念和分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，以及復(fù)數(shù)相等的含義，使學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中內(nèi)化復(fù)數(shù)相等概念，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。課堂的最后進(jìn)行本節(jié)課的小結(jié)，讓學(xué)生自主思考本節(jié)課有哪些收獲？使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)有一個(gè)全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。本節(jié)課的作業(yè)，我布置教材的練習(xí)題作為必做題，提供選做題：類(lèi)比數(shù)的幾何意義分析復(fù)數(shù)有沒(méi)有幾何意義？考慮到學(xué)生的認(rèn)知差異，基于作業(yè)內(nèi)容的鞏固性和發(fā)展性為出發(fā)點(diǎn)，分層布置作業(yè)，設(shè)計(jì)必做題和選做題。必做題是針對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的檢驗(yàn)和反饋，選擇題是為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做鋪墊。以上是我本節(jié)課的板書(shū)設(shè)計(jì)。教學(xué)評(píng)估，本節(jié)課的教學(xué)，我主要是采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式，從概念產(chǎn)生的背景到概念的建立辨析，再到概念的應(yīng)用，層層深入，最后通過(guò)評(píng)價(jià)來(lái)檢測(cè)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)