均值定理課件

（1）若a>0，則

；（2）若a>0且b>0，則

；（3）用比較法證明不等式的步驟：①

；②

；③

。知識(shí)準(zhǔn)備作差計(jì)算（與0作比較）下結(jié)論第1頁/共21頁Ⅰ.探索與研究

一個(gè)矩形的長為a，寬為b，畫兩個(gè)正方形，要求第一個(gè)正方形的面積與矩形的面積相同，第二個(gè)正方形的周長與矩形的周長相同。問哪個(gè)正方形的面積大？S=abC=2(a+b)(1)(2)1、分析問題：第2頁/共21頁第一個(gè)正方形的面積是ab,可得邊長為

。第二個(gè)正方形的周長為2(a+b)，邊長為

。第3頁/共21頁

我們要比較兩個(gè)正方形面積的大小，只需要比較兩個(gè)正方形的邊長哪個(gè)長。

對(duì)于兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b，我們把叫做a與b的，把叫做a與b的。2、概念幾何平均值算術(shù)平均值第4頁/共21頁由于對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b,有因此≥等號(hào)成立？第5頁/共21頁

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)，即對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b，有≥等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b.這個(gè)結(jié)論通常稱為3.結(jié)論均值定理第6頁/共21頁當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。第7頁/共21頁應(yīng)用例1

(1)已知a>0,b>0,且ab=36,求a+b的最小值.（2）已知a>0,b>0,且a+b=6,求ab的最大值.第8頁/共21頁2、中,當(dāng)a，b相加和為定值時(shí)，你又能得出什么結(jié)論？答：ab有最大值。問題：1、中,當(dāng)a，b相乘積是一個(gè)定值時(shí)，你能得出什么結(jié)論？答：a+b有最小值。積為定值，和有最小值和為定值，積有最大值第9頁/共21頁例2.已知x>0,求的最小值。解：因?yàn)閤>0,由均值定理知當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),即x=1時(shí)等號(hào)成立所以有最小值為2。(一正)(二定)(三相等)(結(jié)論)第10頁/共21頁練習(xí):已知x>0,求的最小值。解：因?yàn)閤>0,由均值定理知當(dāng)且僅當(dāng)27x=時(shí)，x=時(shí)等號(hào)成立有最小值為6。所以(一正)(二定)(三相等)(結(jié)論)第11頁/共21頁課堂練習(xí)（1）已知a>0,b>0,且a+b=10,求ab的最大值.(2)已知a>0,b>0,且ab=12,求a+b的最小值.（3）已知a>0,b>0,且2a+b=8,求ab的最大值.(4)已知a>0,b>0,且ab=3,求4a+3b的最小值.（5）設(shè)0<x<3，求x（3-x）的最大值；(6)設(shè)a>0,求的最小值25812第12頁/共21頁

例3.(1)已知x>0,求的最小值。

求的最大值。(2)已知x>0,(3)已知x>3,求的最小值.注意:1:用均值定理求最值時(shí)常數(shù)可以先不考慮;2:用添項(xiàng)拆項(xiàng)消去乘積的x是一種常用技巧.第13頁/共21頁例4.(1)已知0<x<4,求x(4-x)的最大值。(2)已知0<x<,求x(1-3x)的最大值。注意:用配系數(shù)使和消去x又是常用的技巧.

可用逆推法去湊系數(shù).第14頁/共21頁練習(xí)1:若a>0,求2a+的最小值.2:若0<x<,求x(1-2x)的最大值.3:若x>0,求的最大值.4:若x>-1,求的最小值.第15頁/共21頁

求的最小值，并求出相應(yīng)的x值。思考題：第16頁/共21頁Ⅲ小結(jié)：一正：函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù);二定：函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是

定值；三相等：等號(hào)成立條件必須存在.均值定理必須滿足：第17頁/共21頁2、為了圍成一個(gè)面積為49cm的矩形小框，至少要用多長的鐵絲？演練反饋1、用一根長為20cm的鐵絲，圍成一個(gè)矩形小框，長與寬各為多少時(shí)，面積最大？第18頁/共21頁解：設(shè)圍成的矩形的長與寬分別為xcm、ycm。

答：矩形的長與寬都等于5cm時(shí)，面積最大，達(dá)到25。演練1答案等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),由已知條件得，x+y=。據(jù)均值定理得

此時(shí)達(dá)到最大值5，從而達(dá)到最大值25.第19頁/共21頁

解：設(shè)圍成的矩形的長與寬分別為xcm、ycm。答：至少要用28cm長的鐵絲。

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y=