2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機變量及其分布7.5正態(tài)分布學(xué)案含解析新人教A版選擇性必修第三冊

7.5正態(tài)分布最新課標(biāo)(1）通過誤差模型，了解聽從正態(tài)分布的隨機變量，通過詳細(xì)實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征．(2）了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義．[教材要點]要點一正態(tài)曲線1.正態(tài)曲線：我們稱f(x）＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，(其中2.正態(tài)曲線的特點(1）曲線位于x軸上方；(2）曲線和x軸之間的區(qū)域面積為1；(3）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(4）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值(最大值）eq\f(1,σ\r(2π))；(5）當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．要點二正態(tài)分布1.正態(tài)分布：若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為，x∈R，則稱隨機變量X聽從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2）.特殊地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．2.均值與方差若X～N(μ，σ2），則E(X）＝μ，D(X）＝σ2.3.三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值(1）P(μ－σ<X≤μ＋σ）≈________．(2）P(μ－2σ<X≤μ＋2σ）≈________．(3）P(μ－3σ<X≤μ＋3σ）≈________．4.3σ原則在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為聽從于正態(tài)分布N(μ，σ2）的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)對小概率事務(wù)(一般狀況下，指發(fā)生的概率小于0.27%的事務(wù)）要有一個正確的理解：(1）這里的“幾乎不行能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，假如試驗次數(shù)多了，該事務(wù)當(dāng)然是很有可能發(fā)生的；(2）當(dāng)我們運用“小概率事務(wù)幾乎不行能發(fā)生”的原理進(jìn)行推斷時，也有0.27%的犯錯的可能．[基礎(chǔ)自測]1.推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1）正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的改變而改變的．(）(2）正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱．(）(3）在正態(tài)分布中，參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去估計；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計．(）(4）正態(tài)曲線的對稱軸的位置由μ確定，曲線形態(tài)由σ確定．(）2.已知三條正態(tài)曲線(x∈R，i＝1，2，3）如圖所示，則下列推斷正確的是(）A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ33.正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱，則它所對應(yīng)的正態(tài)總體均值為(）A．1B．－1C．0D．不確定4.設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2），且P(X≤c）＝P(X>c），則c＝________．題型一正態(tài)曲線及其特點——自主完成1.(多選題）甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg）分別聽從正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))），N(μ2，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))），其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是(）A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均質(zhì)量C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量聽從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99

2.某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為f(x）＝eq\f(1,10\r(2π))e，則下列命題中不正確的是(）A．這次考試的數(shù)學(xué)平均成果為80分B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D．這次考試的數(shù)學(xué)成果的標(biāo)準(zhǔn)差為10方法歸納要確定一個正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ確定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形態(tài)和函數(shù)的最大值有關(guān)．題型二正態(tài)分布的概率計算——師生共研例1(1）已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2，σ2），P(X<4）＝0.84，則P(X≤0）＝(）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84(2）若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(0，1），已知P(ξ<－1.96）＝0.025，則P(|ξ|<1.96）＝(）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975(3）據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，某市高二學(xué)生中男生的身高X(單位：cm）聽從正態(tài)分布N(174，9）.若該市共有高二男生3000人，試估計該市高二男生身高在(174，180]范圍內(nèi)的人數(shù)為________．方法歸納求解正態(tài)分布的概率問題的思路利用正態(tài)曲線的對稱性求概率是正態(tài)分布的基本題型，也是高考考查的重點．解題的關(guān)鍵是利用對稱軸x＝μ確定所求概率對應(yīng)的隨機變量的區(qū)間與已知概率對應(yīng)的隨機變量的區(qū)間的關(guān)系，必要時，可借助圖形推斷，常用結(jié)論如下．1.對于正態(tài)分布N(μ，σ2），由直線x＝μ是正態(tài)曲線的對稱軸知：(1）對隨意的實數(shù)a，P(X<μ－a）＝P(X>μ＋a）；(2）P(X<x0）＝1－P(X≥x0）；(3）P(a<X<b）＝P(X<b）－P(X≤a）.2.對于μ＝0的正態(tài)分布，求X落在某區(qū)間的概率時常利用如下兩個公式：(1）P(X<－x0）＝1－P(X≤x0）；(2）P(a<X<b）＝P(X<b）－P(X≤a）.3.當(dāng)條件中無已知概率時，則要將區(qū)間轉(zhuǎn)化為三個特殊區(qū)間：P(μ－σ<X≤μ＋σ）≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ）≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ）≈0.9973.跟蹤訓(xùn)練1(1）已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(2，σ2），且P(ξ<4）＝0.8，則P(0<ξ<2）＝(）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2(2）已知隨機變量X～N(1，σ2），若P(0<x<3）＝0.5，P(0<X<1）＝0.2，則P(X<3）＝(）A．0.4B．0.6C．0.7D．0.8(3）某工廠制造的某種機器零件的尺寸X～N(100，0.01），現(xiàn)從中隨機抽取10000個零件，尺寸在(99.8，99.9]內(nèi)的個數(shù)約為________．題型三正態(tài)分布的實際應(yīng)用——師生共研例2有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm）聽從正態(tài)分布，即X～N(20，4）.若這批零件共有5000個，試求：(1）這批零件中尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比；(2）若規(guī)定尺寸在24～26mm間的零件不合適，則這批零件中不合適的零件大約有多少個？eq\a\vs4\al(狀元隨筆)(1）識別出P(18≤X≤22）＝P(20－2≤X≤20＋2）＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ）即可得解．(2）P(μ＋2σ≤X≤μ＋3σ）＝eq\f(1,2)[P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ）－P(μ－2σ<X<μ＋2σ）].方法歸納解答這類問題的關(guān)鍵是：第一，能夠依據(jù)正態(tài)分布的參數(shù)，判別出所供應(yīng)區(qū)間與特殊區(qū)間的關(guān)系；其次，熟記正態(tài)變量的取值位于區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上的概率值，同時又要依據(jù)已知的正態(tài)分布確定給定區(qū)間屬于上述三個區(qū)間中的哪一個．跟蹤訓(xùn)練2某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑ξ(單位：cm）聽從正態(tài)分布N(4，0.52）.質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5.7cm，試問：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？溫馨提示：請完成課時作業(yè)(十三）章末質(zhì)量檢測(二）7．5正態(tài)分布新知初探·課前預(yù)習(xí)要點二3．(1)0.6827(2)0.9545(3)0.9973[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，知μ1<μ2＝μ3；σ的大小確定曲線的形態(tài)，σ越大，總體分布越分散，曲線越“矮胖”；σ越小，總體分布越集中，曲線越“瘦高”，則σ1＝σ2<σ3.故選D.答案：D3．解析：由正態(tài)曲線性質(zhì)知E(X)＝0.故選C.答案：C4．解析：由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱的特點可知c＝μ.答案：μ題型探究·課堂解透題型一1．解析：由圖象可知甲曲線關(guān)于直線x＝0.4對稱，乙曲線關(guān)于直線x＝0.8對稱，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正確；因為甲曲線比乙曲線更“高瘦”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均質(zhì)量，故B正確；因為乙曲線的峰值為1.99，即eq\f(1,\r(2π)σ2)＝1.99，所以σ2≠1.99，D錯誤，故選ABC.答案：ABC2．解析：由正態(tài)分布密度函數(shù)知這次考試的數(shù)學(xué)平均成果為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，故A，D正確．因為函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝80對稱，故分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，C正確．B不正確，故選B.答案：B題型二例1解析：(1)由X～N(2，σ2)可知，其正態(tài)曲線如圖所示，對稱軸為直線x＝2，則P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.故選A.(2)由隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≥1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故選C.(3)因為身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3.所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168，180]范圍內(nèi)的概率為0.9545.因為μ＝174，所以身高在(168，174]和(174，180]范圍內(nèi)的概率相等，均為0.47725.故該市高二男生身高在(174，180]范圍內(nèi)的人數(shù)為3000×0.47725≈1432.答案：(1)A(2)C(3)1432跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)因為隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，所以μ＝2，對稱軸是x＝2.因為P(ξ<4)＝0.8，所以P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，所以P(0<ξ<4)＝0.6，所以P(0<ξ<2)＝0.3.故選C.(2)由題意可得P(1<x<3)＝0.5－0.2＝0.3.∵隨機變量X～N(1，σ2)，∴P(X<3)＝0.3＋0.5＝0.8.故選D.(3)∵X～N(100，0.01)，∴μ＝100，σ＝0.1，則P(99.8<X≤99.9)＝P(μ－2σ<X≤μ－σ)＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.故隨機抽取的10000個零件中尺寸在(99.8，99.9]內(nèi)的個數(shù)約為10000×0.1359＝1359.答案：(1)C(2)D(3)1359題型三例2解析：(1)∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2.∴P(18≤X≤22)＝P(20－2≤X≤20＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.∴零件尺寸在18～22mm間的零件所占百分比大約是68.27%.(2)∵P(16≤X≤24)＝P(20－2×2≤X≤20＋2×2)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(14<X<26)＝P(20－3×2<X<20＋3×2)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973，∴P(24≤X≤26)＝eq\f(1,2)[P(14≤X≤26)－P(1