數值積分方法

關于數值積分方法abf(x)數值積分的應用背景:1)被積函數的原函數不能表示為初等函數某些實際問題僅有一些離散函數值,無法給出被積函數表達式3)被積函數過于復雜,難以求得其原函數借助于被積函數在一些點的函數值,推算出滿足一定精度的定積分近似值---數值積分方法第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天預備知識牛頓―萊布尼茲公式如果函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且原函數為F(x)，則可用牛頓―萊布尼茲公式來求定積分。第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天預備知識積分中值定理若f是[a,b]上的連續(xù)函數，則存在x∈[a,b]，使第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天預備知識廣義積分中值定理若f在[a,b]上連續(xù)，g在[a,b]上可積，且g(x)在[a,b]上不變號，存在x,x∈[a,b]，使第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天數值積分問題牛頓―萊布尼茲公式

找原函數很困難，有些原函數不能用初等函數表示

原函數表達式過于復雜

f(x)是由測量或計算得到的數據表第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-1數值積分問題第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.1插值型求積公式f(x)在這些節(jié)點的值f(xi)，求定積分第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天定義設有計算的求積公式如其求積系數，則稱此求積公式為插值型求積公式.定積分轉換成被積函數的有限個函數值的線性組合，無需求被積函數的原函數.5.1插值型求積公式第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天兩點公式x0=a,x1=b,n=1梯形公式：5.1插值型求積公式一、梯形公式---兩點線性插值幾何意義：用梯形面積代替被積函數的曲邊梯形面積第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天梯形公式誤差5.1插值型求積公式廣義積分中值定理若f在[a,b]上連續(xù)，g在[a,b]上可積，且g(x)在[a,b]上不變號，存在x,x∈[a,b]，使

利用這一定理梯形與曲邊梯形面積的對比：正負決定

第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天三點二次拉格朗日插值積分--辛卜生公式x0x2x1y=f(x)L2(x)5.1插值型求積公式第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天辛卜生公式:取x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,n=2辛卜生公式：5.1插值型求積公式誤差精度較梯形高第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天yxoy=f(x)

ab5.2復合梯形公式第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天分段線性插值--復合梯形法等分求積區(qū)間，比如取步長，分[a,b]為n等分，分點為

,k=0,1,2,…,n2.在區(qū)間[xk,xk+1]上求3.取和值，作為整個區(qū)間上的積分近似值第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天復合梯形公式誤差由各小區(qū)間梯形誤差累加小區(qū)間增多,誤差減小→控制第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天……x0x1x2xkxk+1xn-1xn復合梯形公式(節(jié)點加密)第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天復合梯形公式(節(jié)點加密)由遞推逐漸逼近，達到計算精度即停止。條件成立則終止計算并以T2n為定積分的近似值第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天教材P68--例5.1(1)牛頓-萊布尼茲公式—0.8670(2)梯形公式—0.75(3)辛卜生公式—0.8775(4)復合梯形公式T4=0.8617第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.3其它復合求積公式借用積分中值定理若f是[a,b]上的連續(xù)函數，則存在x∈[a,b]，使得將其用于積分的近似計算，取ξ=b,得---積分右矩形公式復合右矩形公式第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天如在區(qū)間[a,b]內插入節(jié)點xj=a+jh(j=0,1,···,n),h=(b-a)/n得到復合右矩形求積公式：利用拉格朗日中值定理求右矩形公式的誤差估計復合右矩形公式第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天復合辛卜生公式記每2個節(jié)點間增加一個中值節(jié)點,節(jié)點數由n→2n.節(jié)距變?yōu)閔=(b-a)/2n.展開,得第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天利用數據表xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.76473.50683.20002.87642.46002.265492計算積分復合求積方法比較取n=8用復合梯形公式=第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天取n=4,用復合辛卜生公式復化求積方法第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天定義如果一個求積公式(a)對于次數不超過m的多項式均能準確成立，但至少對一個m+1次多項式不準確成立，則稱該求積公式具有m次代數精度。定理對于求積公式(a)具有m次代數精度的充分必要條件為該公式對f(x)=1,x,…..xm

精確成立，而對f(x)=xm+1，不精確成立。5.4數值積分公式的代數精度第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求代數精度的階數--確定以下求積公式的代數精度5.4數值積分公式的代數精度?階代數精度1階代數精度?階代數精度第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.4數值積分公式的代數精度證明代數精度的階數第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天若求積節(jié)點xk任意選取，則求積公式中含有2n+2個待定參數xk和Ak(k=0,1,…n),適當選取這些參數，可使求積公式具有2n+1次代數精度，稱這種用n+1個求積節(jié)點而具有2n+1次代數精度的求積公式為高斯求積公式，n+1個節(jié)點為高斯點。5.4高斯求積公式對于插值型求積公式第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例：求形如的兩點高斯求積公式。梯形公式：高斯公式：對求積公式中的四個待定系數A0,A1,x0,x1適當選取，使求積公式對f(x)=1，x，x2，x3

都準確成立3次代數精度5.4高斯求積公式第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.4高斯求積公式第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求三點高斯求積公式高斯公式：對求積公式中的6個待定系數A0,A1,A2,x0,x1,x2，使求積公式對f(x)=1,x,x2,x3,x4,x5都準確成立代數精度階數(2n+1)=55.4高斯求積公式n+1個求積節(jié)點數為3→n=2得三點高斯求積公式:第31頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.4高斯求積公式高斯求積公式在定積分中的應用構造對應函數x(t)=k+jt,使x(-1)=a且x(1)=b

得k=(a+b)/2,j=(b-a)/2，相應有第32頁,共36頁，2024年2月25日，星期天P75.例5.6(1)梯形公式—0.75(2)辛卜生公式—0.8775(3)復合梯形公式T4=0.8617第33頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求二重積分的四點高斯求積公式(了解)其中:將二點高斯求積公式直接應用到二重積分的累次積分中第34頁,共36頁，2024年2月25日，星期天3.