第3章不等式（章末題型歸納總結(jié)）

第3章不等式章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題題型一：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用題型二：利用不等式求值或范圍題型三：利用基本不等式求最值題型四：證明不等式題型五：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法題型六：由一元二次不等式的解確定參數(shù)題型七：不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用題型八：恒成立與有解問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題題型一：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【典例11】（2024·高一·福建福州·階段練習(xí)）已知，則下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.【典例12】（2024·高一·上?！ふn堂例題）如果，那么下列不等式中成立的是（

）A．； B．； C．； D．.【答案】B【解析】對(duì)于A：由得，錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，則有，即，正確；對(duì)于C：由得，則根據(jù)不等式的性質(zhì)有，即，由可得，錯(cuò)誤；對(duì)于D：由得，則，即，錯(cuò)誤.故選：B【變式11】（2024·高一·福建泉州·期中）若，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，由不能推出，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)，時(shí)，由不能推出，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，由不能推出，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，又，所以，所以D正確.故選：D【變式12】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，且，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，又，所以，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：B.【變式13】（2024·高一·上海楊浦·期中）設(shè)為實(shí)數(shù)，則下列命題為真命題的是（

）.A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對(duì)于A項(xiàng)，顯然正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：A題型二：利用不等式求值或范圍【典例21】（2024·高一·山東·專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．取值范圍為【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，，，所以的取值范圍為，的取值范圍為，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，，，所以的取值范圍為，的取值范圍為，故C正確，D正確.故選：B【典例22】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知，,所以.故選：D.【變式21】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè),即,所以解得,所以因?yàn)?所以,所以,即,故選：D.【變式22】（2024·高一·全國(guó)·假期作業(yè)）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，又，所?故選：D.【變式23】（2024·高一·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，所以，解得，即可得，因?yàn)?，，所以，故選：A．題型三：利用基本不等式求最值【典例31】（2024·高一·廣西·開學(xué)考試）已知，且，則的最小值是.【答案】9【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故所求最小值為9，故答案為：9【典例32】（2024·高一·廣東河源·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【解析】正數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．故答案為：．【變式31】（2024·高一·天津·期末）若實(shí)數(shù)，，且滿足，則的最小值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，又?shí)數(shù)，，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：.【變式32】（2024·高一·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則；．【答案】21【解析】因?yàn)?所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng),即x=2時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：.【變式33】（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足：.(1)求和的最大值；(2)求的最小值和最大值.【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為，∵，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為；（2）∵，∴，∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為，又，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為.【變式34】（2024·高一·江蘇·開學(xué)考試）（1）求函數(shù)的最大值；（2）求函數(shù)的最小值；（3）若，且，求的最小值.【解析】（1）由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以原函數(shù)的最大值為.（2）由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以原函數(shù)的最小值為9.（3）因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，所以的最小值為.【變式35】（2024·高一·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）（1）若，求的最大值；（2）求在時(shí)的最小值．（3）已知，且，求的最小值．（4）已知正數(shù)滿足．求的最大值．【解析】（1），，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時(shí)等號(hào)成立，的最大值為12.（2）,令,則則可化為,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,的最小值為.（3），即，解得或(舍),當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)武立，的最小值為6.（4）正數(shù)a,b,c滿足，,即,,，，當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí)等號(hào)成立,故的最大值為.【變式36】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（4）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（5）設(shè)，求函數(shù)的值域．（6）①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；②求函數(shù)的最大值；【解析】（1）因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為.（2）因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以函數(shù)的最大值為.（3）因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為.（4），令，則，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，也即時(shí)，取得等號(hào)，所以，所以函數(shù)的最大值為.（5）,因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?（6）①令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，也即時(shí)，取得等號(hào)，所以，所以函數(shù)的最大值為1.②令，則，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值為4，所以，所以函數(shù)的最大值為.題型四：證明不等式【典例41】已知實(shí)數(shù)，求證：．【解析】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，綜上，.【典例42】（2024·高一·上?！卧獪y(cè)試）（1）已知、是任意實(shí)數(shù)，求證：，并指出等號(hào)成立的條件；（2）已知，，求證：．【解析】（1），即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（2）因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），從而得到，所以．【變式41】（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）選用恰當(dāng)?shù)淖C明方法，證明下列不等式.(1)已知均為正數(shù)，且，求證：；(2)已知，求證：.【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以．（2）證明：，因?yàn)?，所以，所以，所以，即．【變?2】（2024·高一·上海浦東新·期中）若實(shí)數(shù)、、滿足，則稱比遠(yuǎn)離．(1)若比遠(yuǎn)離，求的取值范圍；(2)對(duì)任意正數(shù)，，證明：；(3)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，，證明：比遠(yuǎn)離．【解析】（1）由比遠(yuǎn)離，則，解得或，所以的取值范圍是；（2）由，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述不等式等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（3）若證比遠(yuǎn)離，即證，則，且，所以即證，即證，又，所以，即，即比遠(yuǎn)離.【變式43】（2024·高一·云南昆明·期中）基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，我們可以應(yīng)用其解決數(shù)學(xué)中的最值問題．(1)已知，R，證明；(2)已知，，，R，證明，并指出等號(hào)成立的條件；(3)已知，，，，證明：，并指出等號(hào)成立的條件.(4)應(yīng)用（2）（3）兩個(gè)結(jié)論解決以下兩個(gè)問題：①已知，證明：；②已知，，且，求的最小值.【解析】（1）由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以.（2）因?yàn)?，由?）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.（3）當(dāng)，，，時(shí)，因?yàn)?，由?）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.（4）①由（2）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，即，所以②因?yàn)?，由?）可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.【變式44】（2024·高一·江西·階段練習(xí)）（1）設(shè)，，比較，的大??；（2）若，根據(jù)性質(zhì)“如果，，那么”，證明：.【解析】（1），所以.（2）因?yàn)?，，所以，所以，?又因?yàn)椋?題型五：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法【典例51】（2024·高一·江蘇淮安·開學(xué)考試）解不等式(1)；(2)(3)；(4)【解析】（1）因?yàn)?，解得，所以不等式的解集?（2）因?yàn)?，解得，所以不等式的解集?（3）不等式轉(zhuǎn)化為，且，解得，所以不等式的解集為.（4）不等式轉(zhuǎn)化為，解得，所以不等式的解集為.【典例52】（2024·高一·河南駐馬店·開學(xué)考試）解下列不等式(1)(2)(3)【解析】（1）由可得，所以或，即不等式的解集為.（2）由可得，化簡(jiǎn)可得，解得或，即不等式的解集為.（3）由，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，所以.綜上，不等式的解集為.【變式51】（2024·高一·河南駐馬店·開學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)解關(guān)于的不等式；(2)若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，求的最小值．【解析】（1）不等式即為，∴，方程的兩根分別為2和，當(dāng)時(shí)，解不等式可得，當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解，當(dāng)時(shí)，解不等式可得，綜上可知：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．（2）方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，即方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，則，解得，由韋達(dá)定理得，，，故，當(dāng)時(shí)，，達(dá)到最小值，故的最小值為．【變式52】（2024·高一·北京石景山·期中）求下列關(guān)于x的不等式的解集：(1)；(2)【解析】（1）由不等式，可得，解得，即不等式的解集為.（2）由不等式，可得化為，若，不等式可化為，解得，即解集為；若，不等式可化為當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得或，即不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式即為，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得，解集為；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得，解集為；③當(dāng)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得，解集為綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【變式53】（2024·高一·上?！卧獪y(cè)試）解關(guān)于的不等式（組）．(1)(2)．【解析】（1）由得，解得，由可得，即，解得或．故不等式組的解集為．（2）當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得或；當(dāng)時(shí)，，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，不等式化為，解得．綜上，時(shí)，不等式的解集是；時(shí)，不等式的解集是或；時(shí)，不等式的解集是；時(shí)，不等式無(wú)實(shí)數(shù)解；時(shí)，不等式的解集是．【變式54】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）解關(guān)于的不等式．【解析】不等式可化為，即．即.①當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，③當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為．【變式55】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：(1)；(2)．【解析】（1）原不等式等價(jià)于，即，．∵，∴原不等式的解集為．（2）∵的兩根為，．①當(dāng)即時(shí)，，即；②當(dāng)即時(shí)，，即或；③當(dāng)即時(shí)，，即或．綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．【變式56】（2024·高一·廣東深圳·期末）（1）若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求關(guān)于的不等式的解集.【解析】（1）若對(duì)一切x∈R恒成立，當(dāng)時(shí)，則有，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則有，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）對(duì)于不等式，，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，不等式的解集為R；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，方程的根為，此時(shí)，不等式的解集為或；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為R；當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為或.題型六：由一元二次不等式的解確定參數(shù)【典例61】（2024·高一·河北石家莊·開學(xué)考試）已知不等式的解集為，則=，=【答案】【解析】依題意，不等式的解集為，所以，解得.故答案為：；【典例62】（2024·高二·陜西寶雞·期末）若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為.【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以是的兩個(gè)根，且a>0，可得，所以，所以得，即，由得，所以,所以或，則不等式的解集為.故答案為：.【變式61】（2024·高二·福建龍巖·階段練習(xí)）若不等式的解集為，則．【答案】5【解析】由題意可知：為方程的兩根，則，即，所以.故答案為：5.【變式62】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）已知不等式的解集為，則，此時(shí)不等式的解集為．【答案】【解析】根據(jù)題意可知，的兩根分別為和，則，，解得，，所以，而可化為，解得，故答案為：，．【變式63】（2024·高一·安徽安慶·期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【解析】由已知，不等式的解集為，故，且，為方程的兩根，所以，解得，故不等式為，即，解得或.故答案為：．【變式64】（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．【答案】2+3/【解析】因?yàn)閰^(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則有，，，，所以，且a，b是兩個(gè)不同的正數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即，等號(hào)成立，滿足，故的最小值是.故答案為：.【變式65】（2024·高一·廣東潮州·期中）若關(guān)于的不等式的解集為或，則的值為.【答案】【解析】根據(jù)題意，方程的兩根為和，故可得，解得.故答案為：.題型七：不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例71】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)觀測(cè)，某公路在某時(shí)段內(nèi)的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/小時(shí)）之間有函數(shù)關(guān)系：．在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量y最大？【解析】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以當(dāng)汽車的平均速度千米/小時(shí)時(shí)，車流量y最大．【典例72】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）甲、乙兩名司機(jī)的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說(shuō)“師傅，給我加300元的油”，而乙則說(shuō)“師傅幫我把油箱加滿”，假設(shè)①甲、乙各加同一種汽油兩次；②兩人第一次加油的油價(jià)均為x，第二次加油的油價(jià)均為y且；③乙每次加滿油箱加入的油量都為a升．就加油兩次來(lái)說(shuō)，甲、乙誰(shuí)更合算？【解析】?jī)纱渭佑偷挠蛢r(jià)分別是元/升且，甲加兩次油的平均單價(jià)為元/升,乙每次加油a升，加兩次油的平均單價(jià)為元/升，即甲的平均單價(jià)低，甲更合算．【變式71】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）有一批材料，可以建成長(zhǎng)為的圍墻，如圖，如果用材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場(chǎng)地，中間用同樣材料隔成三個(gè)相等面積的矩形，怎樣圍法才可以取得最大面積？

【解析】如圖，設(shè)每個(gè)小矩形的長(zhǎng)為，寬為，由題可知，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.【變式72】（2024·高一·江蘇徐州·期中）如圖所示，為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙上設(shè)計(jì)大小相等的左右兩個(gè)矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為，為了美觀，要求海報(bào)上四周空白的寬度為，兩個(gè)宣傳欄之間的空隙的寬度為，設(shè)海報(bào)紙的長(zhǎng)和寬分別為(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少?【解析】（1）由題知，兩個(gè)矩形宣傳欄的長(zhǎng)為，寬為，所以有，整理得.（2）由（1）知，即，因?yàn)?，所以由基本不等式可得，令，則，解得（舍去）或.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以海報(bào)長(zhǎng)，寬時(shí)，用紙量最少，最少用紙量為.【變式73】（2024·高一·湖北黃岡·期中）小明同學(xué)喜歡玩折紙游戲，經(jīng)常對(duì)折紙中的一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究.已知一矩形紙片其中的周長(zhǎng)為他把沿AC向折疊，AB折過(guò)去后交DC于點(diǎn)他在思索一個(gè)問題：如果改變AB的長(zhǎng)度(周長(zhǎng)保持不變)，的面積是否存在最大值?請(qǐng)幫他確定的面積是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相應(yīng)的AB的長(zhǎng)度；若不存在，試說(shuō)明理由?【解析】由題意可知，矩形的周長(zhǎng)為，設(shè)，則設(shè)，則，，而為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，此時(shí)，滿足，故時(shí)，取最大面積【變式74】（2024·高一·廣東陽(yáng)江·階段練習(xí)）輛貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時(shí)速都是千米/時(shí)，為安全起見，要求每?jī)奢v貨車的間隔等于千米（為常數(shù)，，貨車長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.(1)將第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達(dá)站所需時(shí)間表示成的函數(shù)；(2)當(dāng)取何值時(shí)，有最小值.【解析】（1）因?yàn)檩v貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時(shí)速都是千米/時(shí)，且每?jī)奢v貨車的間隔等于千米，第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達(dá)站，最后一輛車行駛的總路程為千米，所以，.（2）因?yàn)?，其中，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)千米/時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)千米/時(shí)，取最小值.【變式75】（2024·高一·江蘇·期中）某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買手套和帽子用于獎(jiǎng)勵(lì)在秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中獲獎(jiǎng)的運(yùn)動(dòng)員，其中手套的單價(jià)為元，帽子的單價(jià)為元，且.現(xiàn)有兩種購(gòu)買方案.方案一：手套的購(gòu)買數(shù)量為件，帽子的購(gòu)買數(shù)量為個(gè)；方案二：手套的購(gòu)買數(shù)量為件，帽子的購(gòu)買數(shù)量為個(gè)；(1)采用方案一需花費(fèi)，采用方案二需花費(fèi)，試問采用哪種購(gòu)買方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，，，滿足，，求這兩種方案花費(fèi)的差值的最小值.（注：差值）【解析】（1）方案一的總費(fèi)用為，方案二的總費(fèi)用為，則，因?yàn)?，，所以，即，所以采用方案二花費(fèi)更少.（2）由（1）可知，因?yàn)?，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，令，則，所以，當(dāng)時(shí),即，等號(hào)成立，所以差值的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，，，時(shí)，等號(hào)成立.故兩種方案花費(fèi)的差值的最小值為54.題型八：恒成立與有解問題【典例81】（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）根據(jù)要求完成下列問題：(1)解關(guān)于的不等式；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，即時(shí)，原不等式可化為，解得，所以原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原不等式可化為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以原不等式的解集為；?dāng)時(shí)，即時(shí)，，因?yàn)椋栽坏仁降慕饧癁?；?）因?yàn)?，即，因?yàn)楹愠闪?，所以，故，令，因?yàn)?，所以，所以?duì)于一切恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【典例82】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）已知等式恒成立，求常數(shù)、的值．【解析】等式恒成立，即，由得：.【變式81】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】設(shè)，，則的最大值小于等于0．而，∴對(duì)稱軸，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴的最大值為，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式82】（2024·高一·全國(guó)·階段練習(xí)）已知，，且.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.【解析】（1）由，得，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8；（2）由恒成立，得恒成立，又，所以，由（1）可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，即，故的最大值是4.【變式83】（2024·高一·山東濟(jì)南·期中）（1）對(duì)任意，函數(shù)的值恒大于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）不等式對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，則，因?yàn)?，所以，所以，由單調(diào)遞減，知當(dāng)時(shí)，，即.（2）因?yàn)閷?duì)于任意的成立，所以對(duì)于任意的成立.即恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，，所以，解得.故實(shí)數(shù)入的取值范圍為.【變式84】（2024·高一·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍．【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的取值范圍為．【變式85】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或.(1)求，的值；(2)當(dāng)，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所?和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，所以，解得，即，.（2）由（1）知，于是有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，依題意有，即，得，即，所以的取值范圍為.【變式86】（2024·高一·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)(1)若不等式的解集為，實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若該函數(shù)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由題意不等式的解集為，可知的兩根是1，1，所以，解得，.（2）把代入函數(shù)得，即，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，化為在R上恒成立，①當(dāng)時(shí)，，則，不合題意；②當(dāng)時(shí)，需滿足，解得綜上可得，.

模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想【典例91】（2024·江蘇南通·高一海門市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解得差不超過(guò)14，則的最大值與最小值的差是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】不等式，時(shí)解集為，時(shí)解集為，時(shí)解集為，由題意可得時(shí)，時(shí)，解得，則的最大值與最小值的差為4，故選：B.【典例92】（2024·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可知，可以異號(hào)，可以同正，當(dāng)異號(hào)時(shí)，必有，故可以推出；當(dāng)同正時(shí)，即，由基本不等式知，則當(dāng)時(shí)，有，解得，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，即“”不能推出“”，故必要性不成立；所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A【變式91】（2024·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】分類討論和兩種情況，分別計(jì)算結(jié)果，并取并集.（1）當(dāng)，即時(shí)，原不等式可化為，顯然恒成立．（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知，即，解得．綜上可知，故a的取值范圍是．故選：A．【變式92】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解中，恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)應(yīng)滿足（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】由，得由解中恰有3個(gè)整數(shù)∴當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得，綜上所述，或故選：D②轉(zhuǎn)化與化歸思想【典例101】（2024·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)