145等腰三角形的性質(zhì)（分層練習(xí)）

14.5等腰三角形的性質(zhì)（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用下列長(zhǎng)度的三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)，能構(gòu)成等腰三角形的是（

）A．2、2、1 B．3、3、6 C．4、4、10 D．8、8、18【答案】A【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義即可對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、∵，則2、2、1可以構(gòu)成三角形，又∵2=2，∴2、2、1能構(gòu)成等腰三角形，故本選項(xiàng)正確；B、∵，則3、3、6不能構(gòu)成三角形，∴3、3、6不能構(gòu)成等腰三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵，則4、4、10不能構(gòu)成三角形，∴4、4、10不能構(gòu)成等腰三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵，則8、8、18不能構(gòu)成三角形，∴8、8、18不能構(gòu)成等腰三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊的關(guān)系和等腰三角形的定義，正確理解三邊關(guān)系和等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．通常利用兩個(gè)短邊的和與最長(zhǎng)的邊進(jìn)行比較，即可判斷是否能構(gòu)成三角形．2．（2022春·上海寶山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）性質(zhì)“等腰三角形的三線合一”，其中所指的“線”之一是（

）A．等腰三角形底角的平分線 B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中線 D．等腰三角形頂角的平分錢(qián)【答案】D【分析】根據(jù)在等腰三角形中，頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：等腰三角形中三線合一，即在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三線合一中的三線分別指頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線．3．（2022春·上?！て吣昙?jí)上外附中?？计谀┑妊切蔚捻斀菫棣?，那么這個(gè)等腰三角形一條腰上的高與底邊的夾角為（）A．α B．2α C．α D．90°﹣α【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．【詳解】解：如圖：∵∠BAC＝α，∴．∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣α，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是理解等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．4．（2022春·上?！て吣昙?jí)校考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．如果兩條直線被第三條直線所截，那么截得的同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)B．等腰三角形中，底邊上的高是它的對(duì)稱(chēng)軸C．聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短D．在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)內(nèi)角及一條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等【答案】C【分析】利用平行線，軸對(duì)稱(chēng)，垂線段，等腰三角形，全等三角形的判定定理依次判斷即可．【詳解】解：A、兩條平行直線被第三條直線所截，那么截得的同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、等腰三角形的高是線段，對(duì)稱(chēng)軸是直線，底邊上的高不是對(duì)稱(chēng)軸，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、垂線段最短，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；D、邊的位置未確定，有兩個(gè)內(nèi)角及一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線，軸對(duì)稱(chēng)，垂線段，等腰三角形，全等三角形的判定，掌握相關(guān)知識(shí)是求解本題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2021春·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是和，那么它的周長(zhǎng)是___________．【答案】29cm##29厘米【分析】分兩種情況討論：若以為腰，若以為腰，即可求解．【詳解】解：若以為腰，該三角形的三邊長(zhǎng)為、、，∵，∴不能構(gòu)成三角形，不合題意，舍去；若以為腰，該三角形的三邊長(zhǎng)為、、，∴它的周長(zhǎng)是；綜上所述，該三角形的周長(zhǎng)為29cm．故答案為：29cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，熟練掌握有兩邊相等的三角形是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·上海閔行·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為，那么其余的兩個(gè)角的度數(shù)是______．【答案】，或，【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分類(lèi)討論即可得到答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)頂角時(shí)，其余兩個(gè)角是底角且相等，則有：；②當(dāng)時(shí)底角時(shí)，則有：頂角；故答案為：，或，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)：兩個(gè)底角相等，還考查了分類(lèi)討論的思想．7．（2022秋·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）在中，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，如果點(diǎn)B'恰好落在直線上，那么的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】##35度【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：如圖，∵將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，則∠DEF的度數(shù)是_____．【答案】65°【分析】首先證明△DBE≌△ECF，進(jìn)而得到∠EFC＝∠DEB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠CFE+∠FEC的度數(shù)，進(jìn)而得到∠DEB+∠FEC的度數(shù)，然后可算出∠DEF的度數(shù)．【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC＝∠DEB，∵∠A＝50°，∴∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CFE+∠FEC＝180°﹣65°＝115°，∴∠DEB+∠FEC＝115°，∴∠DEF＝180°﹣115°＝65°，故答案為：65°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，以及三角形內(nèi)角和的定理，關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和是180°．9．（2022春·上?！て吣昙?jí)上外附中?？计谀┑妊切蔚闹荛L(zhǎng)是50，一邊長(zhǎng)為10，則其余兩邊長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】20，20【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】∵等腰三角形的周長(zhǎng)為50，∴當(dāng)10為腰時(shí)，它的底長(zhǎng)＝50﹣10﹣10＝30，10+10＜30，不能構(gòu)成等腰三角形，舍去；當(dāng)10為底時(shí)，它的腰長(zhǎng)＝（50﹣10）÷2＝20，10+20＞20，能構(gòu)成等腰三角形，即它的另外兩邊長(zhǎng)分別為20，20．故答案為：20，20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊之間的關(guān)系，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·上海楊浦·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，是直線上的點(diǎn)，若HA//BF，，，則______度．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理已經(jīng)平行線的性質(zhì)．掌握各定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·上海楊浦·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知，，那么______度．【答案】【分析】由可知，由三角形外角性質(zhì)得，再由可知，為等腰三角形，由內(nèi)角和定理求．【詳解】解：，，，又，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)“等邊對(duì)等角”，外角性質(zhì)，內(nèi)角和定理求解．12．（2022春·上海閔行·七年級(jí)上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校西校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線，含30°角的三角板的直角頂點(diǎn)C在上，30°角的頂點(diǎn)A在上，如果邊AB與交于點(diǎn)D，且，那么________度．【答案】120【分析】根據(jù)DA=DC，得到∠DCA=∠DAC=30°，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠2=60°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求∠1的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=30°，∴∠2=∠DCA+∠DAC=60°，∵l1//l2，∴∠1+∠2=180°，∴∠1=180°?60°=120°．故答案為120．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)及平行線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．13．（2022春·上海寶山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，是頂角的平分線，，則_______°．【答案】【分析】根據(jù)是頂角的平分線可求出，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，∵是頂角的平分線，，∴，∵，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·上海寶山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）等腰三角形的底角為，那么它的頂角的度數(shù)為_(kāi)__________．【答案】##100度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：因?yàn)榈妊切蔚牡捉菫?，所以它的頂角的度?shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題15．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀并填空：如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且AD＝AE，說(shuō)明BD＝CE的理由．解：因?yàn)锳B＝AC，所以；（等邊對(duì)等角）因?yàn)?，（已知）所以∠AED＝∠ADE；（等邊對(duì)等角）因?yàn)椤螦ED＝∠EAC＋∠C，∠ADE＝∠BAD＋∠B，（

）所以∠BAD＝∠EAC；（等式性質(zhì)）在△ABD與△ACE中，所以△ABD≌△ACE（A．S．A）所以．（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）【答案】∠B＝∠C，AD＝AE，；三角形外角的性質(zhì)，BD＝CE【分析】先證明△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=CD，即可得答案．【詳解】解：因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C；（等邊對(duì)等角）因?yàn)锳D＝AE，（已知）所以∠AED＝∠ADE；（等邊對(duì)等角）因?yàn)椤螦ED＝∠EAC+∠C，∠ADE＝∠BAD+∠B，（三角形外角的性質(zhì)）所以∠BAD＝∠EAC；（等式性質(zhì)）在△ABD與△ACE中，，所以△ABD≌△ACE（ASA）所以BD＝CE．（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，MF∥DA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求證：BE＝CF．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC交EM的延長(zhǎng)線于N，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得BM＝CM，然后利用“角角邊”證明△BMN和△CMF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BN＝CF，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD＝∠CAD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E＝∠BAD，∠N＝∠CFM＝∠CAD，從而得到∠E＝∠N，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE＝BN，最后等量代換即可得證．【詳解】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC交EM的延長(zhǎng)線于N，∴∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMN和△CMF中，，∴△BMN≌△CMF（AAS），∴BN＝CF，∵AD為∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵M(jìn)E∥AD，∴∠E＝∠BAD，∠MFC＝∠CAD，∴∠E＝∠MFC，

∴∠E＝∠N，∴BE＝BN，∴BE＝CF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·上?！て吣昙?jí)期末）在△ABC中，∠ABC＝48°，點(diǎn)D在BC邊上，且滿(mǎn)足∠BAD＝18°，DC＝AD，則∠CAD＝_____度．【答案】57【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解∠ADC的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)得∠C＝∠CAD，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：如圖，∵∠ABC＝48°，∠BAD＝18°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝48°+18°＝66°，∵DC＝AD，∴∠C＝∠CAD，∵∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠CAD＝＝57°，故答案為：57．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．18．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度數(shù)．【答案】72°【分析】首先根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠B＝∠C，然后利用∠B＝2∠A得到∠B＝∠C＝2∠A，從而利用三角形內(nèi)角和定理求得答案．【詳解】解：∵等腰△ABC中AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝2∠A，∴∠B＝∠C＝2∠A，設(shè)∠A＝x°，則∠B＝∠C＝2x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+2x+x＝180，解得：x＝36，∴∠B＝2x＝2×36°＝72°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，難度不大．19．（2022春·上?！て吣昙?jí)期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形有一種特性，即經(jīng)過(guò)它某一頂點(diǎn)的一條射線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你解答問(wèn)題；如圖2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，請(qǐng)你在圖中畫(huà)一條射線（不必寫(xiě)畫(huà)法），把它分成兩個(gè)小等腰三角形，并寫(xiě)出底角的大?。敬鸢浮恳?jiàn)解析.【分析】先根據(jù)AB＝AC，∠A＝108°，求得∠C＝36°，再過(guò)點(diǎn)A作∠DAC＝36°，則△ACD和△ABD均為等腰三角形．【解答】解：如圖2所示，由AB＝AC，∠A＝108°，可知∠C＝36°，過(guò)點(diǎn)A在∠BAC內(nèi)部作射線AD，使得∠DAC＝36°，則△ABD中，∠BAD＝72°，∠ADB＝72°，△ACD中，∠DAC＝∠C＝36°，故△ACD和△ABD均為等腰三角形，故射線AD即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題時(shí)注意：等腰三角形的兩個(gè)底角相等．簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角．20．（2022春·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，已知D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠B的度數(shù)．【答案】36°【分析】根據(jù)AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠B．【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC，∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD，∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理和方程思想的應(yīng)用．21．（2022春·上?！て吣昙?jí)校考期末）填空完成下列說(shuō)理：如圖，與交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、、，已知，．說(shuō)明：．在與中，（已知）（已知）（______）≌（______）（______）（______）（______）（______）即．【答案】對(duì)頂角相等；ASA；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；等邊對(duì)等角；等式性質(zhì)．【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等得到，再證明≌，所以，根據(jù)等邊對(duì)等角證明，最后根據(jù)等式性質(zhì)即可解答．【詳解】解：在與中，已知，已知，對(duì)頂角相等，≌，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，等邊對(duì)等角，等式性質(zhì)，即．故答案為：對(duì)頂角相等；ASA；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；等邊對(duì)等角；等式性質(zhì)．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的知識(shí)的掌握與應(yīng)用．22．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D，E在的邊上，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，，即可得出答案．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一，是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周長(zhǎng)為18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一條底邊的長(zhǎng)等于（）A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分為兩種情況進(jìn)行討論，求解即可．【詳解】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分為兩種情況：①當(dāng)BC是底邊時(shí)，腰AB＝AC，A′B′＝A′C′，∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝AC＝A′B′＝A′C′，∵等腰△ABC的周長(zhǎng)為18cm，BC＝8cm，∴△A′B′C′中一定有一條底邊B′C′的長(zhǎng)是8cm，②BC是腰時(shí)，腰是8cm，∵等腰△ABC的周長(zhǎng)為18cm，∴△A′B′C′中一定有一條底邊的長(zhǎng)是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm，即底邊長(zhǎng)是8cm或2cm，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是要進(jìn)行分類(lèi)討論．2．（2022春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）中，厘米，厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以v厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒，則當(dāng)與全等時(shí)，v的值為（）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5【答案】C【分析】分兩種情況討論：①若，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，則厘米，求得（厘米），根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系即可求得；②若，則厘米，，繼而可解．【詳解】解：中，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，厘米，，若，則需厘米，（厘米），點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米秒，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：，（厘米秒）；若，則需厘米，，，解得：；的值為：2.25或3；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，將等腰△ABC（AB＝AC）繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使A點(diǎn)落在BC邊上的點(diǎn)A1處，點(diǎn)C落在點(diǎn)C1處，如果A，A1，C1三點(diǎn)在一直線上，那么，∠BAC＝_____．【答案】108°##108度【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝A1B＝A1C，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C1＝∠A1BC1，∠BAA1＝∠BA1A，由三角形內(nèi)角和定理列出方程，即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AB＝A1B＝A1C，∴∠C1＝∠A1BC1，∠BAA1＝∠BA1A，設(shè)∠ABC＝x，則∠BAA1＝∠AA1B＝2x，在△ABA1中，∠ABA1+∠BAA1+∠AA1B＝180°，即x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，故答案為108°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．4．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為_(kāi)____；已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊BC的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】

40°或140°

11cm或7cm【分析】（1）分兩種情況討論：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)；先求出頂角∠BAC，即可求出底角的度數(shù)．（2）分兩種情況討論：當(dāng)AB+AD＝12，BC+DC＝15或AB+AD＝15，BC+DC＝12，所以根據(jù)等腰三角形的兩腰相等和中線的性質(zhì)可求得，三邊長(zhǎng)為8，8，11或10，10，7．所以BC的長(zhǎng)為7cm或11cm．【詳解】（1）當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖1，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴三角形的頂角為40°；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，如圖2，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝140°∴三角形的頂角為140°；綜上，三角形的頂角為40°或140°；（2）如圖3，設(shè)AD＝xcm，則當(dāng)2x+x＝12時(shí)，x＝4，即AB＝AC＝8cm，∵周長(zhǎng)是12+15＝27cm，∴BC＝11cm；當(dāng)2x+x＝15時(shí)，x＝5，即AB＝AC＝10cm，∵周長(zhǎng)是12+15＝27cm，∴BC＝7cm，綜上可知，底邊BC的長(zhǎng)為7cm或11cm．故答案為40°或140°；7cm或11cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問(wèn)題要全面，必要的時(shí)候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類(lèi)討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．5．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）在中，，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接、、，且交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得，，若，則的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】##40度【分析】根據(jù)證明，再利用全等三角形的性質(zhì)，然后由三角形的外角性質(zhì)，，可說(shuō)明，再利用等腰三角形的性質(zhì)可求出，最后利用三角形的內(nèi)角和解答即可．【詳解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵是和的外角，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．6．（2022春·上?！て吣昙?jí)校考期末）如圖已知A、B、C在同一條直線上，且、、，那么的角度是______．【答案】62【分析】先根據(jù)證明≌，即得出，，，又根據(jù)平角定義、三角形內(nèi)角和、等邊對(duì)等角等知識(shí)點(diǎn)即可解答．【詳解】解：如圖，∵在和中，≌，，，，，，，，在中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角．熟練掌握以上性質(zhì)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．7．（2022春·上?！て吣昙?jí)期末）在等腰△ABC中，如果過(guò)頂角頂點(diǎn)A的一條直線AD將△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，那么∠BAC＝___．【答案】90°或108°．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論，利用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：①當(dāng)BD=AD，CD=AD時(shí)，如圖①所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C，設(shè)∠B=∠C=x，∵BD=AD，CD=AD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x，∴4x=180°，∴x=45°，∴∠BAC=2x=45°×2=90°；②當(dāng)AD=BD，AC=CD時(shí)，如圖②所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C設(shè)∠B=∠C=x，∵AD=BD，AC=CD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=，∴+x=180°2x，解得：x=36°，∴∠BAC=180°2x=180°2×36°=108°，故答案為：90°或108°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形分類(lèi)討論，利用三角形的內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．8．（2022春·上海楊浦·七年級(jí)?？计谀┮阎粋€(gè)等腰三角形，其中一條腰上的高與另一條腰的夾角為25°，則該等腰三角形的頂角為_(kāi)_______．【答案】65°或115°【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)．另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù)．【詳解】解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，∴∠A＝65°，即頂角的度數(shù)為65°．②如圖，等腰三角形為鈍角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，∴∠BAD＝65°，∴∠BAC＝115°．故答案為：65°或115°．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于正確的畫(huà)出圖形，認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算．9．（2022春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，如果的面積是12，那么的面積是______．【答案】【分析】由得到是的中線，進(jìn)而得到，再由E是的中點(diǎn)得到．【詳解】解：，是的中線，，是等腰三角形，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，明確三角形的中線會(huì)平分三角形的面積是解題關(guān)鍵．10．（2022春·上海·七年級(jí)期末）在一個(gè)等腰三角形中，如果它的底角是頂角的兩倍，這樣的三角形我們稱(chēng)之為“黃金三角形”．如圖，已知點(diǎn)A在∠MON的邊OM上，點(diǎn)B在射線ON上，且∠OAB＝100°，以點(diǎn)A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)O、點(diǎn)B重合），當(dāng)△ABC為“黃金三角形”時(shí)，那么∠OAC的度數(shù)等于___．【答案】64°或28°【分析】分三種情況：①AB=AC時(shí)；②BA=BC時(shí)；③CA=CB時(shí)；分別由等腰三角形的性質(zhì)和“黃金三角形”的定義求出∠BAC的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：當(dāng)△ABC為“黃金三角形”時(shí)，分三種情況：①AB=AC時(shí)，∠ACB=∠ABC=2∠BAC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠BAC=×180°=36°，∴∠OAC=∠OAB∠BAC=100°36°=64°；②BA=BC時(shí)，∠BAC=∠BCA=2∠ABC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠BAC=×180°=72°，∴∠OAC=∠OAB∠BAC=100°72°=28°；③CA=CB時(shí)，∠BAC=∠ABC=2∠ACB，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠BAC=×180°=72°，∴∠OAC=∠OAB∠BAC=100°72°=28°；綜上所述，∠OAC的度數(shù)等于64°或28°，故答案為：64°或28°．【點(diǎn)睛】本題考查了“黃金三角形”的定義、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握黃金三角形的定義、等腰三角形的性質(zhì)，求出∠BAC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論．11．（2022春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，一條腰上的中線把三角形的周長(zhǎng)分為兩部分，其中一部分比另外一部分長(zhǎng)2，則三角形的腰長(zhǎng)是______．【答案】8或4【分析】根據(jù)中線的定義，知道兩部分的差實(shí)際上是腰與底的差的絕對(duì)值，計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，∵BD是△ABC腰AC的中線，∴AD=DC，∴AB+AD（BC+DC）=2或BC+DC（AB+AD）=2，∵BC=6，∴AB=8或AB=4．故答案為：8或4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的定義即三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線，分類(lèi)思想，正確進(jìn)行分類(lèi)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，如果周長(zhǎng)是10，那么底邊長(zhǎng)等于_________．【答案】2或4【分析】設(shè)等腰三角形的腰是x，底是y，然后判斷1至4中能構(gòu)成三角形的情況.【詳解】設(shè)等腰三角形的腰是x，底是y，∴2x+y=10當(dāng)x取正整數(shù)時(shí)，x的值可以是：從1到4共4個(gè)數(shù)，相應(yīng)的y的對(duì)應(yīng)值是：8,6,4,2.經(jīng)判斷能構(gòu)成三角形的有：3、3、4或4、4、2，故答案為2或4.【點(diǎn)睛】此題考查三角形的三邊關(guān)系及等腰三角形的定義，首先根據(jù)周長(zhǎng)找到整數(shù)的邊長(zhǎng)的情況，判斷其是否為等腰三角形即可解答.13．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）用一條線段可以把一個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為直角三角形，另一個(gè)為等腰三角形，且分得的直角三角形的最小內(nèi)角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我們說(shuō)這個(gè)三角形可以“閃亮分割”．那么可以“閃亮分割”的三角形的最小內(nèi)角的大小可以是__．（至少寫(xiě)出兩種情況）【答案】22.5°或18°或36°或45°【分析】根據(jù)“閃亮分割”的定義，畫(huà)出圖形，共分為4種情況：①當(dāng)這個(gè)三角形如圖1所示時(shí)，AD⊥BC且將△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；②當(dāng)這個(gè)三角形如圖2所示時(shí)，AD⊥BC且將△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；③當(dāng)這個(gè)三角形如圖3所示時(shí)，AD⊥AC于點(diǎn)A且將△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD；④當(dāng)這個(gè)三角形如圖4所示時(shí)，∠A＝90°，CD將△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC；根據(jù)角度的數(shù)量關(guān)系求解最小的內(nèi)角即可．【詳解】解：由題意知，共分為4種情況：①當(dāng)這個(gè)三角形如圖1所示時(shí)，AD⊥BC且將△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，設(shè)∠B＝x且為最小的內(nèi)角，則，，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴，解得，∴△ABC中最小內(nèi)角為22.5°；②當(dāng)這個(gè)三角形如圖2所示時(shí)，AD⊥BC且將△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，設(shè)∠BAD＝y(tǒng)且為中最小的內(nèi)角，則由題意得，，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴，解得y＝22.5°，∴△ABC中最小內(nèi)角為；③當(dāng)這個(gè)三角形如圖3所示時(shí)，AD⊥AC于點(diǎn)A且將△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD，設(shè)∠C＝z且為中最小的內(nèi)角，則由題意得∠B＝∠BAD＝2z，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴，解得z＝18°，∴△ABC中最小內(nèi)角為18°；④當(dāng)這個(gè)三角形如圖4所示時(shí)，∠A＝90°，CD將△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC，設(shè)∠ACD＝m且為中最小的內(nèi)角，則由題意可得∠B＝∠DCB＝2m，∵∠B+∠BCA＝90°，∴2m+3m＝90°，解得m＝18°，∴△ABC中最小內(nèi)角為．綜上所述，可以“閃亮分割”的三角形的最小內(nèi)角的大小可以是22.5°或18°或36°或45°．故答案為：22.5°或18°或36°或45°．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．理解題意畫(huà)出圖形并分類(lèi)討論做到不漏解是解題的關(guān)鍵．三、解答題14．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀并填空：如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且AD＝AE，說(shuō)明BD＝CE的理由．解：因?yàn)锳B＝AC，所以（等邊對(duì)等角）．因?yàn)椋ㄒ阎┧浴螦ED＝∠ADE（等邊對(duì)等角）．因?yàn)椤螦ED＝∠EAC+∠C∠ADE＝∠BAD+∠B（）所以∠BAD＝∠EAC（等式性質(zhì)）在△ABD與△ACE中，所以△ABD≌△ACE（ASA）所以．（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）【答案】∠B=∠C，AD=AE，三角形外角的性質(zhì)，∠B=∠C，∠BAD＝∠EAC，BD=CE．【分析】先證明△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=CD，即可得答案．【詳解】解：因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C(等邊對(duì)等角)，因?yàn)锳D=AE，所以∠AED=∠ADE(等邊對(duì)等角)，因?yàn)椤螦ED＝∠EAC+∠C，∠ADE＝∠BAD+∠B（三角形外角的性質(zhì)），所以∠BAD＝∠EAC（等式性質(zhì)），在△ABD和△ACD中，，所以△ABD≌△ACD(ASA)，所以BD=CE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)，故答案為：∠B=∠C，AD=AE，三角形外角的性質(zhì)，∠B=∠C，∠BAD＝∠EAC，BD=CE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．(1)說(shuō)明△ABC與△DEF全等的理由；(2)如果AC＝CF，∠1＝30°，∠D＝105°，求∠AFC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)75°【分析】（1）由BF＝EC，可得BC＝EF，根據(jù)“SSS“可得△ABC≌△DEF；（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，有∠BAC＝∠D，根據(jù)∠D＝105°，∠1＝30°，可得∠FAC＝75°，而AC＝CF，故∠AFC＝∠FAC＝75°．（1）證明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠BAC＝∠D，∵∠D＝105°，∴∠BAC＝105°，∵∠1＝30°，∴∠FAC＝∠BAC﹣∠1＝75°，∵AC＝CF，∴∠AFC＝∠FAC＝75°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬基礎(chǔ)題型，解題的關(guān)鍵掌握三角形全等的判定：SSS、SAS、ASA、AAS．16．（2022春·上海·七年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，，，，與相交于點(diǎn)，如圖，的大小與的大小有什么關(guān)系？若，，則與大小關(guān)系如何？若，，則與大小關(guān)系如何？【答案】．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)即可計(jì)算．【詳解】解：，，，，即；，，，即；，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線，等腰三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．17．（2022春·上海·七年級(jí)期末）如圖1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，，過(guò)點(diǎn)B作BCAE于點(diǎn)C，在BC上截取CD=CE，連接AD、DE并延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)P；（1）求證：AD=BE；（2）試說(shuō)明ADBE；（3）如圖2，將△CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么AD與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）AD與BE的位置關(guān)系不發(fā)生改變，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用SAS證明△BCE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=BE；（2）根據(jù)△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，即可得到∠BPD=∠DCA=90°；（3）AD⊥BE不發(fā)生變化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由對(duì)頂角相等得到∠BFP=∠ACF，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．【詳解】（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB，∴BC=CA，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴AD=BE；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBE=∠CAD，∵∠CAD+∠ADC=90°，∠BDP=∠ADC，∴∠CBE+∠BDP=90°，∴∠APB=90°，∴AD⊥BE；（3）AD與BE的位置關(guān)系不發(fā)生改變．如圖2，∵，∴，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∵△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，∵∠BFP=∠AFC，∴∠BPF=∠ACF=90°，∴AD⊥BE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△BCE≌△ACD．18．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知在等腰中，點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是，和邊上的點(diǎn)，且，，試說(shuō)明．【答案】見(jiàn)解析．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可知，由三角形外角的性質(zhì)和等式的性質(zhì)可證，然后根據(jù)“ASA”證明即可．【詳解】解：∵（已知），∴（等邊對(duì)等角）．∵（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），（已知），∴（等量代換）．∵（已知），∴（等式性質(zhì)）．在與中，，∴（ASA），∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．19．（2022春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖所示，中，，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥CD于D，交BC于E，且有．求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)A作AF⊥CD于F，由等腰三角形三線合一，可以得到CF=CD；證明△ACF≌△CED，可以得到CF=DE，從而得到結(jié)論．【詳解】證明：過(guò)A作AF⊥CD于F，如下圖：∵AC=AD，AF⊥CD∴CF=CD，∠AFC=∵∴∠ACF+∠DCE=又∵DE⊥CD∴∠CDE=，∠DCE+∠CED=∴∠ACF=∠CED，∠AFC=∠CDE在△ACF與△CED中，∴△ACF≌△CED，∴CF=DE∴DE=CD．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形的三線合一等知識(shí)點(diǎn)，能夠由已知條件，作出相關(guān)的輔助線是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·上海·七年級(jí)期末）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，聯(lián)結(jié)BD并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線干點(diǎn)E，求∠ADE的度數(shù)．【答案】110°【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠BDA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，∵AD＝AB，∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握“等邊對(duì)等角，等腰三角形的三線合一”是解本題的關(guān)鍵.21．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，試說(shuō)明點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)的理由．【答案】理由見(jiàn)解析．【分析】利用一線三直角模型證明AE=ED，從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可．【詳解】解：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，又∵∠B＝90°，∴∠B＝∠AED，∵∠AEC＝∠B+∠BAE，即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∴∠BAE＝∠DEC，在△ABE與△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（ASA），∴AE＝ED，∵EF⊥AD，∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了一線三直角全等模型，等腰三角形的三線合一，熟練掌握三角形全等證明是解題的關(guān)鍵．22．（2022春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=________度；（2）設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．【答案】（1）90；（2）①，理由見(jiàn)解析；②當(dāng)點(diǎn)D在射線BC．上時(shí)，a+β=180°，當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，a=β．【分析】（1）可以證明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，證明∠ACB＝45°，即可解決問(wèn)題；（2）①證