2023-2024學年北京六十六中高三（上）期中數(shù)學試題和答案

高中PAGE1試題2023北京六十六中高三（上）期中數(shù)學試卷說明：1．本試卷共三道大題，共4頁.2．卷面滿分150分，考試時間120分鐘.3．試題答案一律在答題紙上作答，在試卷上作答無效.一、選擇題（每小題4分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，則的公比為（）A.2 B. C.4 D.3.已知，且，則（）A. B. C. D.4.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.要得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位； B.向右平移個單位；C.向左平移個單位； D.向右平移個單位6.下列函數(shù)中，在其定義域上既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調遞減的是()A.y＝x2 B.y＝x＋1C.y＝－lg|x| D.y＝－2x7.設，，，則（）A. B.C. D.8.若命題“”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象的解析式為（）A.y2x B.2x C. D.10.對實數(shù)，定義運算“”：設函數(shù).實數(shù)互不相等，且，則的取值范圍是A. B. C. D.二、填空題（每小題5分，共25分）11.在中，若，，，則______．12.已知復數(shù)，則____________.13.已知向量，，，且，則實數(shù)__________．14.已知向量，．若存在實數(shù)，使得與的方向相同，則的一個取值為__________．15.設數(shù)列的前項和為，，．給出下列四個結論：①是遞增數(shù)列；②都不是等差數(shù)列；③當時，是中的最小項；④當時，．其中所有正確結論的序號是____________．三、解答題（共6小題，共85分）16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求不等式的解集．17.已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求的通項公式；（2）等比數(shù)列的首項為1，公比為，使得的每一項都是中的項．若，求m．（用含k的式子表示）18.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為求的值；若函數(shù)存在極大值，求的取值范圍.19.在中，點是邊上一點，且.記，.（1）求證：；（2）若，，，求的長.20.設函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若有兩個極值點和，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．21.若數(shù)列的子列均為等差數(shù)列，則稱為k階等差數(shù)列．（1）若，數(shù)列的前15項與的前15項中相同的項構成數(shù)列，寫出的各項，并求的各項和；（2）若數(shù)列既是3階也是4階等差數(shù)列，設的公差分別為．（?。┡袛嗟拇笮￡P系并證明；（ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列．

參考答案1.【答案】C【分析】根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】因為，，所以.故選：C2.【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運算可得，然后利用等比數(shù)列的概念結合條件即得.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，所以，∴，，所以.故選：B.3.【答案】A【分析】由同角三角函數(shù)基本關系的平方關系可以求出的值且，再利用即可求解.【詳解】由得，因為，所以，所以，所以，故選：A4.【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結合指數(shù)函數(shù)的單調性即可得出答案.【詳解】因為指數(shù)函數(shù)單調遞增，由可得：，充分性成立，當時，，但不一定，必要性不成立，故選：A5.【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換規(guī)則計算可求解.【詳解】由題意知：，所以只需的圖像向右平移個單位就可以得到的圖像，故D項正確.故選：D.6.【答案】C【分析】選項A：在上單調遞增，不符合條件；選項B：代入特殊值，可知，且，故是非奇非偶函數(shù)，不符合條件；選項C：先求出定義域，再根據(jù)奇偶性的定義，確定是偶函數(shù)，時，單調遞減，故符合條件；選項D：代入特殊值，可知，且，故是非奇非偶函數(shù)，不符合條件.【詳解】選項A：的定義域為，在上單調遞增，不符合題意，故A不正確；選項B：記，則，，則，，故是非奇非偶函數(shù)，不符合題意，故B不正確；選項C：定義域，記，則，所以，即是偶函數(shù)，當時，，因為在上單調遞增，所以在上單調遞減，故C正確；選項D：記，則，，則，，不符合題意，故D不正確.故選C.【點睛】本題考查函數(shù)單調性與奇偶性的綜合，要求掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調性是解決本題的關鍵．7.【答案】D【分析】根據(jù)指對數(shù)函數(shù)及余弦函數(shù)性質判斷大小關系即可.【詳解】由，則，而，所以.故選：D8.【答案】B【分析】不等式能成立，等價于方程有實數(shù)解，用判別式計算求參數(shù)即可.【詳解】由題可知，不等式在實數(shù)范圍內有解，等價于方程有實數(shù)解，即，解得.故選：B.9.【答案】D【分析】先根據(jù)題意求得、、的值，得到函數(shù)的解析式，然后通過平移變換得到所求的解析式．【詳解】由圖象得，，．∵點在函數(shù)的圖象上，，，，又，，．將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象對應的解析式為．故選：D．10.【答案】B【分析】由新定義寫出分段函數(shù)，由題意作函數(shù)的圖象，由二次函數(shù)的對稱軸得，由此利用函數(shù)的圖象可求的范圍.【詳解】由，得，作函數(shù)的圖象如下圖：∵互不相等，且，可設，∵，，由圖象得，且，∴，故選B．【點睛】本題考查分段函數(shù)及運用，考查數(shù)形結合的思想方法和運用，注意通過圖象觀察，考查運算能力，屬于中檔題．二、填空題（每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】利用正弦定理可得答案.【詳解】由正弦定理可得，所以.故答案為：.12.【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的模長公式直接運算求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：.13.【答案】【詳解】分析：先根據(jù)向量加法求，再根據(jù)向量數(shù)量積為零得方程，解得實數(shù)值.詳解：，∵，∴，解得．點睛：(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加減乘：14.【答案】（答案不唯一，小于的實數(shù)均可）【分析】由兩向量同向可知，由此可構造方程組求得，由可求得滿足題意的的范圍，進而得到結果.【詳解】與方向相同，，，，由得：，存在實數(shù)，，使得與方向相同.故答案為：（答案不唯一，小于的實數(shù)均可）.15.【答案】③④【分析】利用特殊數(shù)列排除①②，當時顯然有，對數(shù)列遞推關系變形得到，再判斷③④即可.【詳解】當數(shù)列為常數(shù)列時，，不是遞增數(shù)列，是公差為的等差數(shù)列，①②錯誤；當時，，顯然有，所以，又因為，所以由遞推關系得，所以，故數(shù)列是遞增數(shù)列，是中的最小項，③正確；當時，由③得，所以由基本不等式得，當且僅當時等號成立，所以，所以，④正確.故選：③④.三、解答題（共6小題，共85分）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和公式化簡，再利用最小正周期公式求解即可；（2）由正弦函數(shù)的圖像和性質求解即可.【小問1詳解】由題意得，所以的最小正周期.【小問2詳解】由（1）得，當時，，解得，即不等式的解集為.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條件列出方程組，求解和，可得通項公式；（2）求出，由，可得．從而求出．【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得所以．【小問2詳解】因為，，所以，因為，即．得，因為，為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以．可得．18.【答案】；【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，結合切線方程得到關于的方程組，解出即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，結合二次函數(shù)，求出函數(shù)的單調區(qū)間，結合函數(shù)的存在極大值，確定的范圍即可．【詳解】解：因為在點處的切線方程為，所以解得，①當時，不存在極大值，不符合題意.②當時，.令.(i)當，即時，不符合題意.(ii)當，即時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.設方程兩個根為，且.的變化如表所示:極大值極小值所以為極大值.③當時，恒成立.設方程兩個根為，且.的變化如表所示:極大值極小值所以，為極大值.綜上，若函數(shù)存在極大值，的取值范圍為.【點睛】本題考查了切線方程問題，導數(shù)在函數(shù)的單調性和極值問題中的應用，考查分類討論思想，轉化思想等數(shù)學思想，是一道綜合題．19.【答案】（1）詳見解析；（2）.【詳解】試題分析：(1)由題意結合正弦定理整理計算即可證得結論；(2)利用題意結合余弦定理，設，，列方程求解可得.試題解析：（1）由正弦定理，在中，在中，因為，所以，因為，所以.（2）因為，，由（1）得，設，，，由余弦定理得到，解得，所以.20.【答案】（1）答案見解析：（2）不存在【詳解】（1）定義域為，，令，①當時，，，故在上單調遞增，②當時，，的兩根都小于零，在上，，故在上單調遞增，③當時，，的兩根為，當時，；當時，；當時，；故分別在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由（1）知，，因為.所以,又由（1）知，，于是，若存在，使得，則，即，亦即（）再由（1）知，函數(shù)在上單調遞增，而，所以，這與（）式矛盾，故不存在，使得.21.【答案】（1）的各項為：4，16，28，40；的各項和為：（2）（?。?證明見解析；（ⅱ）證明見解析；【分析】（1）根據(jù)題意，利用枚舉法，即可求解；（2）（?。└鶕?jù)題意，均為等差數(shù)列，通過等量代換找到的關系即可；（ⅱ）均為等差數(shù)列，由（?。┑?，設，進而利用等量代換關系，得到，進而可以遞推，得到，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列【小問1詳解】，，，前15項分別為：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43；前15項分別為：4，8，12