【整合學(xué)案】11.1.3　多面體與棱柱

高中數(shù)學(xué)精選資源2/211.1.3學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解多面體的定義及其分類．(重點(diǎn))2.理解棱柱的定義和結(jié)構(gòu)特征．(重點(diǎn))3.在棱柱中構(gòu)造恰當(dāng)?shù)奶卣鲌D形，研究其中的線段數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(難點(diǎn))1.通過多面體的定義與分類學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).2.借助棱柱結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1．多面體(1)定義由若干個(gè)平面多邊形所圍成的封閉幾何體稱為多面體．(2)相關(guān)概念(如圖所示)①多面體的面、棱與頂點(diǎn)圍成多面體的各個(gè)多邊形稱為多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)稱為多面體的頂點(diǎn)．②多面體的面對(duì)角線與體對(duì)角線一個(gè)多面體中，連接同一面上兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，如果不是多面體的棱，就稱其為多面體的面對(duì)角線；連接不在同一面上兩個(gè)頂點(diǎn)的線段稱為多面體的體對(duì)角線．如上圖所示的多面體中，AC是一條面對(duì)角線，而BD′是一條體對(duì)角線．③多面體的截面與表面積一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)，稱為這個(gè)幾何體的一個(gè)截面，如上圖中多面體的一個(gè)截面ACE.多面體所有面的面積之和稱為多面體的表面積(或全面積)．(3)凸多面體把多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則稱這樣的多面體為凸多面體．思考1：長(zhǎng)方體、正方體是多面體嗎？[提示]是．長(zhǎng)方體是由6個(gè)矩形圍成的，正方體是由6個(gè)正方形圍成的，均滿足多面體的定義．思考2：最簡(jiǎn)單的多面體由幾個(gè)面所圍成？[提示]四個(gè)．2．棱柱(1)定義有兩個(gè)面互相平行，且該多面體的頂點(diǎn)都在這兩個(gè)面上，其余各面都是平行四邊形，這樣的多面體稱為棱柱．(2)圖示及相關(guān)概念棱柱的兩個(gè)互相平行的面稱為棱柱的底面(底面水平放置時(shí)，分別稱為上底面、下底面)，其他各面稱為棱柱的側(cè)面，兩個(gè)側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱．(3)棱柱的表示方法棱柱可以用底面上的頂點(diǎn)來表示，也可用表示它的體對(duì)角線來表示，如上圖所示的棱柱可表示為棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示為棱柱AC′.(4)棱柱的高與側(cè)面過棱柱一個(gè)底面上的任意一個(gè)頂點(diǎn)，作另一個(gè)底面的垂線所得到的線段(或它的長(zhǎng)度)稱為棱柱的高，棱柱所有側(cè)面的面積之和稱為棱柱的側(cè)面積．(5)棱柱的分類特別地，底面是正多邊形的棱柱稱為正棱柱．(6)平行六面體與直平行六面體底面是平行四邊形的棱柱也稱為平行六面體．側(cè)棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體．1．一個(gè)多面體的面至少為()A．3個(gè) B．4個(gè)C．5個(gè) D．6個(gè)B[由多面體的特征知，一個(gè)多面體至少有4個(gè)面，它是三棱錐．]2．下列幾何體中是棱柱的個(gè)數(shù)有()A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)D[由棱柱的定義知①③是棱柱，選D.]3．下面沒有體對(duì)角線的一種幾何體是()A．三棱柱 B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱A[三棱柱只有面對(duì)角線，沒有體對(duì)角線．]4．一個(gè)棱柱至少有__________個(gè)面；面數(shù)最少的棱柱有________個(gè)頂點(diǎn)，有________條棱．569[面數(shù)最少的棱柱是三棱柱，有5個(gè)面，6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱．]棱柱的有關(guān)概念【例1】下列關(guān)于棱柱的說法正確的個(gè)數(shù)是()①四棱柱是平行六面體；②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱；④底面是正多邊形的棱柱是正棱柱．A．1B．2C．3D．4A[四棱柱的底面可以是任意四邊形；而平行六面體的底面必須是平行四邊形，故①不正確；說法③就是棱柱的定義，故③正確；對(duì)比定義，顯然②不正確；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，故④不正確．]棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧(1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除．提醒：判斷一個(gè)說法錯(cuò)誤時(shí)，才用舉反例的方法．1．一個(gè)棱柱是正四棱柱需滿足的條件是()A．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形B．底面是正方形，兩個(gè)側(cè)面垂直于底面C．底面是菱形，有一個(gè)頂點(diǎn)處的兩條棱互相垂直D．底面是正方形，每個(gè)側(cè)面都是全等矩形D[對(duì)于A，滿足了底面是正方形，但當(dāng)側(cè)面中的兩個(gè)對(duì)面是矩形時(shí)并不能保證另兩個(gè)側(cè)面也是矩形；對(duì)于B，垂直于底面的側(cè)面不能保證側(cè)棱垂直于底面；對(duì)于C，底面是菱形但不一定是正方形，同時(shí)側(cè)棱也不一定和底面垂直；對(duì)于D，側(cè)面全等且為矩形，保證了側(cè)棱與底面垂直，底面是正方形，保證了底面是正多邊形，因而符合正棱柱的定義和基本特征．故選D.]多面體的表面展開圖【例2】某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個(gè)正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該為()ABCDA[兩個(gè)不能并列相鄰，B、D錯(cuò)誤；兩個(gè)不能并列相鄰，C錯(cuò)誤，故選A．也可通過實(shí)物制作檢驗(yàn)來判定．]多面體展開圖問題的解題策略1．繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖．2．由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個(gè)幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開圖．2．下列四個(gè)平面圖形中，每個(gè)小四邊形都是正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個(gè)正方體的是()ABCDC[將四個(gè)選項(xiàng)的平面圖形折疊，可知C中的圖可復(fù)原為正方體．]多面體或棱柱的計(jì)算問題【例3】如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱AA1)到達(dá)頂點(diǎn)C1，與AA1的交點(diǎn)記作M(1)三棱柱側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)；(2)從B經(jīng)M到C1的最短路線長(zhǎng)及此時(shí)eq\f(A1M,AM)的值．[解]將正三棱柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)矩形BB1B1′B′(如圖)．(1)∵矩形BB1B1′B′的長(zhǎng)BB′＝6，寬BB1＝2，∴三棱柱側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).(2)由側(cè)面展開圖可知：當(dāng)B，M，C1三點(diǎn)共線時(shí)，由B經(jīng)M到C1的路線最短，∴最短路線長(zhǎng)為BC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，顯然Rt△ABM≌Rt△A1C1M，∴A1M＝AM，即eq\f(A1M,AM)＝1.求簡(jiǎn)單幾何體表面上兩點(diǎn)間最短距離的步驟此類問題一般將立體圖形(或其一部分)展開為平面，使立體幾何問題平面化．其基本步驟是：(1)將立體圖形展開為平面圖形；(2)在平面圖形上找出表示最短距離的線段；(3)計(jì)算此線段的長(zhǎng)．3．一個(gè)棱柱的側(cè)面展開圖是三個(gè)全等的矩形，矩形的長(zhǎng)和寬分別為6cm,4cm，則該棱柱的側(cè)面積為________cm2.72[棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×6×4＝72(cm2)．]1．在理解的基礎(chǔ)上，牢記多面體與棱柱的有關(guān)概念，能根據(jù)定義判斷幾何體的形狀．2．能夠繪制展開圖和由展開圖還原幾何體的方法．3．幾種常見四棱柱的關(guān)系1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形． ()(2)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形． ()(3)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和． ()(4)沿不同的棱將多面體展開，得到的展開圖相同，表面積相等． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．下列說法中正確的是()A．直四棱柱是直平行六面體B．直平行六面體是長(zhǎng)方體C．六個(gè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱C[直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故A錯(cuò)；直平行六面體的底面不一定是矩形，故B錯(cuò)；C正確；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D錯(cuò)．]3．底面為正方形的直棱柱，它的底面對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(6)，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是()A．2 B．4C．6 D．8D[由已知得底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(6－2)＝2.∴S側(cè)＝1×2×4＝8.]4．有一粒正方體的骰子每一面有一個(gè)