過程控制系統(tǒng)建模方法課件

建模概念過程控制系統(tǒng)建模的兩個基本方法42.1

過程控制系統(tǒng)建模概念第1頁/共117頁建模的概念建立被控對象的數(shù)學(xué)模型例如，典型的RLC電路ucu用方程列寫的數(shù)學(xué)模型用圖形表示的數(shù)學(xué)模型輸出uc輸入u第2頁/共117頁建模需要三類主要的信息源1、要確定明確的輸入量與輸出量通常選一個可控性良好，對輸出量影響最大的一個輸入信號作為輸入量，其余的輸入信號則為干擾量。

建模的概念第3頁/共117頁2、要有先驗知識在建模中，被控對象內(nèi)部所進(jìn)行的物理、化學(xué)過程符合已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的許多定理、原理及模型。在建模中必須掌握建模對象所要用到的先驗知識。3、試驗數(shù)據(jù)過程的信息也能通過對對象的試驗與測量而獲得。合適的實驗數(shù)據(jù)是驗證模型和建模的重要依據(jù)。建模需要三類主要的信息源（續(xù)）第4頁/共117頁建模的概念圖2.1數(shù)學(xué)建模的信息源第5頁/共117頁用于控制的數(shù)學(xué)模型要求準(zhǔn)確可靠，但并非越準(zhǔn)確越好，這是因為：準(zhǔn)確→復(fù)雜→實時性差→影響在線運用閉環(huán)控制本身具有一定的魯棒性，模型的誤差可以視為干擾，閉環(huán)控制在某種程度上具有自動消除干擾影響的能力。所以——適用性在建立數(shù)學(xué)模型時，要抓住主要因素，忽略次要因素，需要做很多近似處理，如：線性化、分布參數(shù)系統(tǒng)和模型降階處理等。建模的概念關(guān)于過程系統(tǒng)建模的說明——模型的準(zhǔn)確性第6頁/共117頁42.1

過程控制系統(tǒng)建模概念

建模概念

過程控制系統(tǒng)建模的兩個基本方法第7頁/共117頁機(jī)理法建模過程系統(tǒng)建模方法測試法建模

過程控制系統(tǒng)建模的兩個基本方法第8頁/共117頁1、機(jī)理法建模根據(jù)生產(chǎn)過程中實際發(fā)生的變化機(jī)理，寫出各種有關(guān)的平衡方程：物質(zhì)平衡方程；能量平衡方程；動量平衡方程以及反映流體流動、傳熱、傳質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)等基本規(guī)律的運動方程，物性參數(shù)方程和某些設(shè)備的特性方程等。如

RLC電路，遵循基爾霍夫定理如單容水槽，遵循物料平衡關(guān)系過程控制系統(tǒng)建模的兩個基本方法第9頁/共117頁1、機(jī)理法建模（續(xù)）機(jī)理法建模的首要條件生產(chǎn)過程的機(jī)理為人們充分掌握，并且可以比較確切地加以數(shù)學(xué)描述機(jī)理法建模的問題煩瑣模型中某些參數(shù)難以確定機(jī)理建模的準(zhǔn)則簡單、適用、滿足合理的精度和實時性要求

過程控制系統(tǒng)建模的兩個基本方法第10頁/共117頁2、測試法建模根據(jù)工業(yè)過程的輸入和輸出的實測數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理后得到的模型。特點是把被研究的工業(yè)過程視為一個黑匣子，完全從外特性上測試和描述它的動態(tài)性質(zhì)，不需要深入掌握其內(nèi)部機(jī)理。過程控制系統(tǒng)建模的兩個基本方法輸入輸出二階系統(tǒng)第11頁/共117頁測試建模中施加擾動的必要性為了獲得動態(tài)特性，必須使被研究的過程處于被激勵的狀態(tài)，如施加一個階躍擾動或脈沖擾動等。測試建模中對過程機(jī)理了解的必要性測試建模較機(jī)理建模簡單測試建模的分類經(jīng)典辨識法和現(xiàn)代辨識法過程控制系統(tǒng)建模的兩個基本方法2、測試法建模（續(xù)）第12頁/共117頁2.2

機(jī)理建模方法單容對象的傳遞函數(shù)具有純遲延的單容對象特性無自平衡能力的單容對象特性多容對象的動態(tài)特性第13頁/共117頁1、單容水槽涉及變量流入量Qi調(diào)節(jié)閥開度u流出量Qo水位h研究目標(biāo)分析水位在調(diào)節(jié)閥開度擾動下的動態(tài)特性Δu~Δh單容對象的傳遞函數(shù)圖2.2單容水槽1—控制閥門2—水槽3—負(fù)載閥(液阻R)第14頁/共117頁各量定義如下：

Qi——輸入水流量的穩(wěn)態(tài)值(m3／s)ΔQi——輸入水流量的增量(m3／s)Qo——輸出水流量的穩(wěn)態(tài)值(m3／s)ΔQo——輸出水流量的增量(m3／s)h0——液位的穩(wěn)態(tài)值(m)Δh——液位的增量(m)u——調(diào)節(jié)閥的開度(m2)A——液槽橫截面積(m2)R——流出側(cè)負(fù)載閥門的液阻(s／m2)單容對象的傳遞函數(shù)第15頁/共117頁根據(jù)物料平衡關(guān)系，有：初始時刻，水槽處于平衡狀態(tài)：Qo=Qi，h＝h0進(jìn)水閥開度發(fā)生階躍變化Δu時：Qi→Qi+ΔQih→h+ΔhQo→Qo+ΔQo于是有下一步設(shè)法消去ΔQo，并將ΔQi折算到Δu單容對象的傳遞函數(shù)第16頁/共117頁將ΔQi折算到ΔuΔQi是由控制閥開度變化Δu引起的，當(dāng)閥前后壓差不變時，ΔQi與Δu成正比關(guān)系：

其中，Ku為閥門流量系數(shù)(m／s)單容對象的傳遞函數(shù)第17頁/共117頁設(shè)法消去ΔQo流出量與液位高度的關(guān)系為：在液位穩(wěn)態(tài)值(Qo,h0)附近線性化，得：

單容對象的傳遞函數(shù)第18頁/共117頁單容水槽的傳遞函數(shù)單容對象的傳遞函數(shù)第19頁/共117頁被控參數(shù)為爐內(nèi)溫度T,控制量為電熱絲兩端電壓u由熱力學(xué)知識，有：其中，

M為加熱絲質(zhì)量

C為比熱

H為傳熱系數(shù)A為傳熱面積單容對象的傳遞函數(shù)2、電加熱爐一階慣性環(huán)節(jié)第20頁/共117頁單容對象特性分析單容對象的動態(tài)特性都是一階慣性環(huán)節(jié)解微分方程得單容對象的傳遞函數(shù)第21頁/共117頁單容對象特性分析（續(xù)）對時間常數(shù)T的說明T反映對象響應(yīng)速度的快慢對單容水槽，T=RA對放大系數(shù)K的說明K是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)K大，系統(tǒng)的靈敏度高單容對象的傳遞函數(shù)第22頁/共117頁2.2

機(jī)理建模方法單容對象的傳遞函數(shù)具有純遲延的單容對象特性無自平衡能力的單容對象特性

多容對象的動態(tài)特性第23頁/共117頁

有一儲水槽調(diào)節(jié)閥1距水槽有一段較長的距離。調(diào)節(jié)閥1開度變化所引起的流入量變化ΔQi，需要經(jīng)過一段傳輸時間T0，才能對水槽液位產(chǎn)生影響，T0是純延遲時間。具有純延遲的單容對象特性純延遲現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是由于擾動發(fā)生的地點與測定被控參數(shù)位置有一定距離。第24頁/共117頁無延遲的單容對象的微分方程有純延遲的單容對象的微分方程純延遲的單容對象的傳遞函數(shù)具有純延遲的單容對象特性第25頁/共117頁2.2

機(jī)理建模方法單容對象的傳遞函數(shù)具有純遲延的單容對象特性無自平衡能力的單容對象特性多容對象的動態(tài)特性第26頁/共117頁自平衡過程受擾后被調(diào)量能夠自動地穩(wěn)定在新的平衡點上的過程如，用慣性環(huán)節(jié)描述的單容對象自平衡過程是一種穩(wěn)定的過程無自平衡過程受擾后，無法自動恢復(fù)平衡的過程如，用積分環(huán)節(jié)描述的單容對象無自平衡能力的單容對象特性第27頁/共117頁無自平衡能力的單容水槽

無自平衡能力的單容對象特性無自平衡能力的單容對象流出端采用容積式計量泵排出恒定的流量Qo輸入流量受擾后，水位或一直上升或一直下降無法通過控制使其平衡第28頁/共117頁無自平衡能力的單容對象其動態(tài)方程為將上式改寫為

無自平衡能力的單容對象的特性分析無自平衡能力的單容對象特性A——液槽截面積ε——響應(yīng)速度Ta——響應(yīng)時間第29頁/共117頁圖2.9無自平衡能力單容對象階躍響應(yīng)曲線

無自平衡能力的單容對象特性無自平衡能力的單容對象的特性分析（續(xù)）無自平衡能力的單容對象的傳遞函數(shù)這是一個積分環(huán)節(jié)第30頁/共117頁2.2

機(jī)理建模方法單容對象的傳遞函數(shù)具有純遲延的單容對象特性無自平衡能力的單容對象特性多容對象的動態(tài)特性第31頁/共117頁具有兩個水槽——雙容對象1）有自衡能力的雙容對象2）有自衡能力的多容對象3）無自衡能力的雙容對象4）相互作用的雙容對象

多容對象的動態(tài)特性第32頁/共117頁1）具有自平衡能力的雙容對象

兩個串聯(lián)對象的模型流入：閥門開度的微小擾動Δu被控參數(shù)：下水槽的水位變化Δh2

Δu與Δh2間的動態(tài)方程多容對象的動態(tài)特性第33頁/共117頁其中：C1、C2——兩液槽的容量系數(shù)；R1、R2——兩液槽的出水端的阻力；T1=R1C1——第一個容器的時間常數(shù)；T2=R2C2——第二個容器的時間常數(shù)；K=KuR2——雙容對象的放大系數(shù)。多容對象的動態(tài)特性具有自平衡能力的雙容對象的動態(tài)特性方程第34頁/共117頁多容對象的動態(tài)特性具有自平衡能力的雙容對象的傳遞函數(shù)有純延遲時第35頁/共117頁圖2.11具有自平衡能力的雙容對象的階躍響應(yīng)多容對象的動態(tài)特性第36頁/共117頁2）具有自平衡能力的多容對象有n個相互獨立的多容對象的時間常數(shù)為T1、T2….Tn，總放大系數(shù)為K，則傳遞函數(shù)為：多容對象的動態(tài)特性第37頁/共117頁若T1=T2=……=Tn=T則G(s)=若還有純延遲，則G(s)=2）具有自平衡能力的多容對象多容對象的動態(tài)特性第38頁/共117頁3）無自平衡能力的雙容對象

一個有自平衡能力的單容對象和一個無自平衡能力的單容對象的串聯(lián)多容對象的動態(tài)特性一階慣性環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)由于多了一個中間液糟,作為被控參數(shù)的Δh2，并不能立即以最大速度變化第39頁/共117頁R1C1+=多容對象的動態(tài)特性多容對象的動態(tài)特性方程：第40頁/共117頁令T=R1C1,Ta=C2/Ku

，則得T+=

其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為G(s)=

多容對象的動態(tài)特性第41頁/共117頁有純延遲的情況則

G(s)=多容對象的動態(tài)特性第42頁/共117頁圖2.13無自平衡能力雙容對象的階躍響應(yīng)曲線多容對象的動態(tài)特性第43頁/共117頁4）相互作用的雙容對象兩個水槽中，一水槽液位的高低會影響另一水槽液位變化，兩者之間有相互作用，結(jié)果會改變水槽的等效時間常數(shù)。多容對象的動態(tài)特性圖2.14具有相互作用的雙容模型第44頁/共117頁設(shè)被控參數(shù)為輸入擾動為原來平衡時Q0=Q1=Qi,H10=h20當(dāng)輸入有擾動后多容對象的動態(tài)特性4）相互作用的雙容對象第45頁/共117頁多容對象的動態(tài)特性（1）（2）（4）（3）第46頁/共117頁可得對應(yīng)的傳遞函數(shù)為

多容對象的動態(tài)特性4）相互作用的雙容對象若以Δh2為被控參數(shù)，則第47頁/共117頁2.1過程控制系統(tǒng)建模概念2.2機(jī)理建模方法2.3測試建模方法第二章

過程控制系統(tǒng)建模方法第48頁/共117頁當(dāng)生產(chǎn)過程機(jī)理不明、模型參數(shù)難以確定時，需要用過程辯識方法把數(shù)學(xué)模型估計出來。復(fù)雜的工業(yè)過程對象常由高階非線性微分方程描述，求解困難。機(jī)理建模得到的近似數(shù)學(xué)模型也需用試驗測量加以驗證2.3

測試建模方法采用試驗測定的原因第49頁/共117頁2.3

測試建模方法對象特性的試驗測定方法測定動態(tài)特性的時域法測定動態(tài)特性的頻域法測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關(guān)法最小二乘法第50頁/共117頁對象特性的實驗測定方法試驗測定的方法施加激勵試驗測定方法的分類

（根據(jù)加入的激勵信號和結(jié)果的分析方法分）經(jīng)典辨識法（非參數(shù)模型辨識）時域法頻域法相關(guān)法現(xiàn)代辨識法最小二乘梯度校正極大似然法由以時間或頻率為自變量的試驗曲線得到：1）數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)2）模型參數(shù)首先假定模型的結(jié)構(gòu)；然后極小化模型與過程間的誤差準(zhǔn)則函數(shù)以確定參數(shù)。第51頁/共117頁（1）時域法對被控對象施加階躍輸入，測繪出對象輸出量隨時間變化的響應(yīng)曲線，或施加脈沖輸入測繪出輸出的脈沖響應(yīng)曲線。由響應(yīng)曲線的結(jié)果分析，確定出被控對象的傳遞函數(shù)。該方法測試設(shè)備簡單，測試工作量小、應(yīng)用廣泛，缺點是測試精度不高。對象特性的實驗測定方法第52頁/共117頁（2）測定動態(tài)特性的頻域方法對被控對象施加不同頻率的正弦波，測出輸入量與輸出量的幅值比和相位差，獲得對象的頻率特性，來確定被控對象的傳遞函數(shù)。對象特性的實驗測定方法第53頁/共117頁（3）測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關(guān)法對被控對象施加某種隨機(jī)信號或直接利用對象輸入端本身存在的隨機(jī)噪音進(jìn)行觀察和記錄，可以在生產(chǎn)過程正常運行狀態(tài)下進(jìn)行，在線辨識，精度也較高。統(tǒng)計相關(guān)法要求積累大量數(shù)據(jù)，并要用相關(guān)儀和計算機(jī)對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行計算和處理。對象特性的實驗測定方法第54頁/共117頁2.3

測試建模方法對象特性的試驗測定方法測定動態(tài)特性的時域法測定動態(tài)特性的頻域法測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關(guān)法最小二乘法第55頁/共117頁在被控對象上，人為地加非周期信號后，測定被控對象的響應(yīng)曲線，然后再根據(jù)響應(yīng)曲線，求出被控對象的傳遞函數(shù)。測定動態(tài)特性的時域法圖2.15測試響應(yīng)曲線的框圖1—被測對象2—變換器3—記錄儀第56頁/共117頁1、輸入信號選擇及實驗注意事項階躍輸入信號是時域法首選的輸入信號

∵對象的階躍響應(yīng)曲線直觀地反映對象的動態(tài)特性直接來自原始的記錄曲線，無需轉(zhuǎn)換實驗也比較簡單從響應(yīng)曲線中也易于直接求出其對應(yīng)的傳遞函數(shù)測定動態(tài)特性的時域法第57頁/共117頁1、輸入信號選擇及實驗注意事項（續(xù)）有時生產(chǎn)現(xiàn)場運行條件受到限制，不允許被控對象的被控參數(shù)有較大幅度變化，無法測出一條完整的階躍響應(yīng)曲線，可改用矩形脈沖作為輸入信號，得到脈沖響應(yīng)后，再將其換成一條階躍響應(yīng)曲線。測定動態(tài)特性的時域法第58頁/共117頁測定動態(tài)特性的時域法圖2.16由矩形脈沖響應(yīng)確定階躍響應(yīng)

設(shè)：u1(t).u2(t)作用下的階躍響應(yīng)曲線為y1(t)和y2(t),則脈沖響應(yīng)曲線為:而階躍響應(yīng)曲線為:第59頁/共117頁將時間軸按

t分成n等份在區(qū)間內(nèi)在區(qū)間內(nèi)

依此類推，最后得到完整的階躍響應(yīng)曲線。測定動態(tài)特性的時域法由矩形脈沖響應(yīng)確定階躍響應(yīng)方法（續(xù)）第60頁/共117頁2、實驗結(jié)果的數(shù)據(jù)處理如何將實驗所獲得的各種不同響應(yīng)曲線進(jìn)行處理，以便用一些簡單的典型微分方程或傳遞函數(shù)來近似表達(dá)，既適合工程應(yīng)用，又有足夠的精度，這就是數(shù)據(jù)處理要解決的問題。測定動態(tài)特性的時域法微分方程傳遞函數(shù)（含結(jié)構(gòu)和參數(shù)）第61頁/共117頁典型的工業(yè)過程的傳遞函數(shù)（自平衡過程）：測定動態(tài)特性的時域法一階慣性環(huán)節(jié)加純延遲

二階慣性環(huán)節(jié)加純延遲n個相同極點的n階慣性環(huán)節(jié)加純延遲

第62頁/共117頁典型的工業(yè)過程的傳遞函數(shù)（無自平衡過程）：其傳遞函數(shù)中應(yīng)含有一個積分環(huán)節(jié)測定動態(tài)特性的時域法第63頁/共117頁選擇何種傳遞函數(shù)？測試者對被控對象的驗前知識本人的經(jīng)驗與標(biāo)準(zhǔn)的一階、二階階躍響應(yīng)曲線比較選擇傳遞函數(shù)階次的原則：低階數(shù)據(jù)處理簡單，計算量也小，但準(zhǔn)確程度較低高階數(shù)據(jù)處理麻煩，計算量大，但擬合精度也較高測定動態(tài)特性的時域法第64頁/共117頁以下討論兩種傳遞函數(shù)的參數(shù)確定方法帶純延遲的一階慣性環(huán)節(jié)帶純延遲的二階慣性環(huán)節(jié)測定動態(tài)特性的時域法第65頁/共117頁傳遞函數(shù)參數(shù)的確定：1）如果傳函為帶純遲延的一階慣性環(huán)節(jié)：K的確定用參數(shù)T、τ的確定作圖法兩點法測定動態(tài)特性的時域法第66頁/共117頁對于傳函作圖法確定參數(shù)T、τ簡單，但誤差大適用于PID參數(shù)的工程整定測定動態(tài)特性的時域法第67頁/共117頁對于傳函兩點法確定參數(shù)T、τ∵y(t)

歸一化后的y*(t)

有測定動態(tài)特性的時域法∴根據(jù)階躍響應(yīng)曲線上兩點數(shù)據(jù)((t1,y1),(t2,y2))確定參數(shù)T、τ（兩個未知數(shù)兩個方程）第68頁/共117頁兩點法結(jié)論：

兩點法確定參數(shù)T、τ（續(xù)）測定動態(tài)特性的時域法第69頁/共117頁為了計算方便，可取，則可得（2-47）測定動態(tài)特性的時域法第70頁/共117頁校驗用另外兩組數(shù)據(jù)檢驗計算出T、τ準(zhǔn)確與否，即

測定動態(tài)特性的時域法第71頁/共117頁傳遞函數(shù)參數(shù)的確定：2）如果傳函為帶純延遲的二階慣性環(huán)節(jié)增益K值仍可按式2-43計算時間純延遲τ可根據(jù)階躍響應(yīng)曲線來確定；在考慮截去純延遲部分后，階躍響應(yīng)y(t)為無量綱形式y(tǒng)*(t);

根據(jù)階躍響應(yīng)曲線上兩個點的數(shù)據(jù)確定T1和T2測定動態(tài)特性的時域法第72頁/共117頁測定動態(tài)特性的時域法第73頁/共117頁式（2-39）截去純延遲并化為無量綱形式后，所對應(yīng)的傳遞函數(shù)形式為 G(s)=(2-49)測定動態(tài)特性的時域法第74頁/共117頁與上式對應(yīng)的階躍響應(yīng)為或

(2-50)同樣取兩點，聯(lián)立方程組，求出T1，T2測定動態(tài)特性的時域法第75頁/共117頁測定動態(tài)特性的時域法第76頁/共117頁求近似解：(2-52)

測定動態(tài)特性的時域法第77頁/共117頁表2.1列出高階慣性對象1/(Ts+1)n中階數(shù)n與t1/t2比值的關(guān)系測定動態(tài)特性的時域法nt1/t2nt1/t210.3280.65820.469

30.53100.7140.5811

50.62120.73560.6513

70.67140.75第78頁/共117頁表中t1和t2應(yīng)是y*(t)取0.4和0.8所對應(yīng)的t1、t2；中的時間常數(shù)T可由下式求得

測定動態(tài)特性的時域法第79頁/共117頁兩點法求n階慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)的步驟：1）取階躍響應(yīng)曲線上兩點

2）根據(jù)t2/t1的值確定系統(tǒng)的階次和時間常數(shù)

若一階若二階若根據(jù)t2/t1確定階次n測定動態(tài)特性的時域法第80頁/共117頁測定動態(tài)特性的時域法擬合非自平衡過程階躍響應(yīng)曲線用帶延遲的積分環(huán)節(jié)來近似該響應(yīng)曲線：其中：τ=t2誤差大Δu——階躍輸入幅值第81頁/共117頁（2）用式（2-42）來近似圖2.19響應(yīng)曲線、公式重寫如下：由響應(yīng)曲線有：延遲時間τ=t1

t1至A之間以慣性環(huán)節(jié)作用為主故T=t2-t1曲線穩(wěn)態(tài)之后是積分環(huán)節(jié)作用為主故測定動態(tài)特性的時域法第82頁/共117頁測定動態(tài)特性的頻域法對象特性的試驗測定方法測定動態(tài)特性的時域法測定動態(tài)特性的頻域法測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關(guān)法最小二乘法第83頁/共117頁

被控對象的動態(tài)特性可用頻率特性來描述與傳遞函數(shù)及微分方程一樣，也表征系統(tǒng)的運動規(guī)律。在所研究對象的輸入端加入某個頻率的正弦波信號，同時記錄輸入和輸出的穩(wěn)定振蕩波形，可測得該被控對象的頻率特性。

測定動態(tài)特性的頻域法第84頁/共117頁2.3.4測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關(guān)法對象特性的試驗測定方法測定動態(tài)特性的時域法測定動態(tài)特性的頻域法測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關(guān)法最小二乘法第85頁/共117頁

原理：但輸入為白噪聲（一種隨機(jī)信號）時，輸出與輸入的互相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)成正比。2.3.4測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關(guān)法相關(guān)分析法求對象脈沖響應(yīng)函數(shù)的方框圖第86頁/共117頁2.3.5最小二乘法對象特性的試驗測定方法測定動態(tài)特性的時域法測定動態(tài)特性的頻域法測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關(guān)法最小二乘法第87頁/共117頁 最小二乘的基本思想“未知量的最可能的值，是使各次實際觀測值和計算值之間的差值的平方和為最小的值”。2.3.5最小二乘法第88頁/共117頁 設(shè)y是一根金屬軸的長度，T是金屬軸的溫度，求軸長y和溫度T之間的關(guān)系。 第一步:確定y和T之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的類型和結(jié)構(gòu)。 第二步:確定變量之間函數(shù)關(guān)系中的未知參數(shù)。

2.3.5最小二乘法第89頁/共117頁y和T之間是線性關(guān)系。y=y0(1+αT)=a+bTy0——0℃時金屬軸的長度；α----膨脹系數(shù)。2.3.5最小二乘法第90頁/共117頁在加噪聲干擾下，寫成Zi=Yi（真值）+ni(隨機(jī)誤差)即Zi=a+bTi+ni

i=1，2，…,N2.3.5最小二乘法第91頁/共117頁 根據(jù)N次（＞2）觀測數(shù)據(jù)（TiZi）來估計出未知參數(shù)a和b的值。2.3.5最小二乘法第92頁/共117頁 a和b的值確定能使觀測值和模型的計算值之間誤差為最小。每次觀測誤差為 ni=zi-yi=zi-(a+b) 相加起來的誤差為

2.3.5最小二乘法第93頁/共117頁 常用誤差平方和作為總誤差。即

2.3.5最小二乘法第94頁/共117頁 按照求極值的原理，要使J最小，只要將J分別對a和b求偏導(dǎo)數(shù)，令其等于零，a和b的估計值和滿足下面的條件:

2.3.5最小二乘法第95頁/共117頁即和由下列方程組所確定

2.3.5最小二乘法第96頁/共117頁由式（2-76）可解出

2.3.5最小二乘法第97頁/共117頁 假定一個變量y與一組n維變量X=（x1,x2---xn）有線性關(guān)系。即 y=2.3.5最小二乘法第98頁/共117頁

N個參數(shù)的線性系統(tǒng)2.3.5最小二乘法第99頁/共117頁 假設(shè)用y(i)和x1(i)、x2(i)---xn(i),i=1,2,..,m表示實測數(shù)據(jù)?？梢酝ㄟ^m個線性方程的方程組表示數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。

i=1,2,..,m回歸函數(shù)，是回歸系數(shù)。2.3.5最小二乘法第100頁/共117頁

可以用矩陣形式表示如下

2.3.5最小二乘法第101頁/共117頁

2.3.5最小二乘法第102頁/共117頁 若m=n,根據(jù)方程通過下式求解

只要即方陣X的逆存在，則能夠唯一地求解，表示的估計值。2.3.5最小二乘法第103頁/共117頁定義誤差矢量且令

現(xiàn)在以下列性能指標(biāo)J

趨于最小，來選擇。2.3.5最小二乘法第104頁/共117頁可將式表示成求J對于的導(dǎo)數(shù)并令結(jié)果為零，作為確定使J為最小的估計值的條件。于是2.3.5最小二乘法第105頁/共117頁由此可得

能按下式求解

=稱為的最小二乘估計量（LSE）。方程叫做正規(guī)方程，而稱為殘差。2.3.5最小二乘法第106頁/共117頁

令W為期望的加權(quán)矩陣，則加權(quán)誤差性能