高考數(shù)學選填壓軸題型第10講復雜數(shù)列的求和問題專題練習(原卷版+解析)

6/6第10講復雜數(shù)列的求和問題一．方法綜述數(shù)列的求和問題是數(shù)列高考中的熱點問題，數(shù)列的求和問題會滲透多種數(shù)學思想，會跟其他知識進行結合進行考查.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數(shù)列求和中的新定義問題、子數(shù)列中的求和問題、奇偶性在數(shù)列求和中的應用、周期性在數(shù)列求和中的應用、數(shù)列求和的綜合問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數(shù)列求和中的新定義問題【例1】（2020銀川一中模擬）對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項為an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝()A．2B．2nC．2n＋1－2D．2n－1－2【舉一反三】1.（2020湖南師范大學附屬中學高三）對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項和為，則（）A．2022B．1011C．2020D．10102.已知數(shù)列的前項和為，定義為數(shù)列前項的疊加和，若2016項數(shù)列的疊加和為2017，則2017項數(shù)列的疊加和為()A.2017B.2018C.D.類型二子數(shù)列中的求和問題【例2】（2020貴陽模擬）已知有窮數(shù)列中，，且，從數(shù)列中依次取出構成新數(shù)列，容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以-3為首項，-3為公比的等比數(shù)列，記數(shù)列的所有項的和為，數(shù)列的所有項的和為，則（）A.B.C.D.與的大小關系不確定【舉一反三】1．（2020·四川高考模擬）定義在上的函數(shù)滿足：當時，；當時，.記函數(shù)的極大值點從小到大依次記為并記相應的極大值為則的值為（）A． B． C． D．2.已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數(shù)的值為（）A.B.C.D.類型三奇偶性在數(shù)列求和中的應用【例3】（2020·河北衡水中學高考模擬）已知數(shù)列，，且，，則的值為（）A． B． C． D．【舉一反三】1.（2020福建省高三模擬）記函數(shù)在區(qū)間內的零點個數(shù)為，則數(shù)列的前20項的和是（）A．430 B．840 C．1250 D．16602．（2020·山東高考模擬（文））設數(shù)列的前n項和為，已知，且，記，則數(shù)列的前10項和為______．類型四周期性在數(shù)列求和中的應用【例4】（2020·江蘇高考模擬）對于實數(shù)，定義：，已知數(shù)列滿足，，，設表示數(shù)列的前和，若，則的值為__________.【舉一反三】1.數(shù)列滿足，則數(shù)列的前100項和為__________．2.已知數(shù)列2008，2009，1，，若這個數(shù)列從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2019項之和______．類型五數(shù)列求和的綜合問題【例5】（2020·河南高考模擬（理））已知數(shù)列的前項和為，若對于任意，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.【舉一反三】1.已知數(shù)列和的前項和分別為和，且，，（），若對任意的，恒成立，則的最小值為_____.2.（2020上海市青浦區(qū)模擬）等差數(shù)列,滿足，則（）A．的最大值為50 B．的最小值為50C．的最大值為51 D．的最小值為51三．強化訓練1．（2020·湖南師大附中高考模擬（理））設數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的前10項的和是（）A．290 B． C． D．2．（2020·北京人大附中高考模擬）已知數(shù)列和的前項和分別為和，且，,，若對任意的,恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（2020·四川高考模擬（理））我們把叫“費馬數(shù)”（費馬是十七世紀法國數(shù)學家）.設，，，，表示數(shù)列的前項之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（）A． B． C． D．4．（2020·吉林高考模擬）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足，則（）A． B． C． D．5．（2020·沭陽縣修遠中學高考模擬）已知數(shù)列滿足，且，其前n項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2020·江西師大附中高考模擬）數(shù)列中的項按順序可以排成如圖的形式，第一行項，排；第二行項，從左到右分別排，；第三行項，……依此類推，設數(shù)列的前項和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．（2020·貴州高考模擬）設，點，，，，設對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．8．（2020·山東高考模擬）對于任意實數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如.已知數(shù)列滿足，其前項和為，若是滿足的最小整數(shù)，則的值為（）A．305 B．306 C．315 D．3169．（2020·廣東高考模擬）已知數(shù)列滿足…，設數(shù)列滿足：,數(shù)列的前項和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．（2019·湖南長沙一中高考模擬）已知是函數(shù)的極值點，數(shù)列滿足，，記，若表示不超過的最大整數(shù)，則（）A．2017 B．2018 C．2019 D．202011.我們把叫“費馬數(shù)”（費馬是十七世紀法國數(shù)學家）.設，，，，表示數(shù)列的前項之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是12.（2020安徽省合肥市模擬）“垛積術”（隙積術）是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學家楊輝、元代數(shù)學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是件.已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的.若這堆貨物總價是萬元，則的值為13.已知數(shù)列滿足，，且，，設數(shù)列的前項和為，則__________（用表示）.14.（2020湖北省宜昌市模擬）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，點、均在函數(shù)的圖象上，的橫坐標為，的橫坐標為，直線的斜率為.若，，則數(shù)列的前項和__________．15．（2020·湖南長沙一中高考模擬）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推那么該數(shù)列的前50項和為16．（2020·福建高考模擬）已知數(shù)列的前項和為，直線與圓交于，兩點，且.若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是17．（2020廣東省汕尾市模擬）已知數(shù)列的首項為數(shù)列的前項和若恒成立，則的最小值為______．18．（2020上海交通大學附屬中學）對任意，函數(shù)滿足：，，數(shù)列的前15項和為，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和的極限存在，則________．第10講復雜數(shù)列的求和問題第10講復雜數(shù)列的求和問題一．方法綜述數(shù)列的求和問題是數(shù)列高考中的熱點問題，數(shù)列的求和問題會滲透多種數(shù)學思想，會跟其他知識進行結合進行考查.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數(shù)列求和中的新定義問題、子數(shù)列中的求和問題、奇偶性在數(shù)列求和中的應用、周期性在數(shù)列求和中的應用、數(shù)列求和的綜合問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數(shù)列求和中的新定義問題【例1】（2020銀川一中模擬）對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項為an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝()A．2B．2nC．2n＋1－2D．2n－1－2【答案】C【解析】因為an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq\f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.【指點迷津】1.“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.2.解決此類問題的一些技巧：（1）抓住“新信息”的特點，找到突破口；（2）盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項，求和”的風格不同，但其根基也是我們所學的一些基礎知識與方法.所以在考慮問題時也要向一些基本知識點靠攏，弄清本問所考察的與哪個知識點有關，以便找到一些線索.（3）在分類討論時要遵循“先易后難”的原則，以相對簡單的情況入手，可能在解決的過程中會發(fā)現(xiàn)復雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復雜情況也有章可循.【舉一反三】1.（2020湖南師范大學附屬中學高三）對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項和為，則（）A．2022B．1011C．2020D．1010【答案】B【解析】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故選B.2.已知數(shù)列的前項和為，定義為數(shù)列前項的疊加和，若2016項數(shù)列的疊加和為2017，則2017項數(shù)列的疊加和為()A.2017B.2018C.D.【答案】A類型二子數(shù)列中的求和問題【例2】（2020貴陽模擬）已知有窮數(shù)列中，，且，從數(shù)列中依次取出構成新數(shù)列，容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以-3為首項，-3為公比的等比數(shù)列，記數(shù)列的所有項的和為，數(shù)列的所有項的和為，則（）A.B.C.D.與的大小關系不確定【答案】A【解析】因為，，所以，當時，是中第365項，符合題意，所以,所以，選A.學科*網【指點迷津】一個數(shù)列中某些項的求和問題，關鍵在于弄清楚新的數(shù)列的形式，了解其求和方法.【舉一反三】1．（2020·四川高考模擬）定義在上的函數(shù)滿足：當時，；當時，.記函數(shù)的極大值點從小到大依次記為并記相應的極大值為則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】確定函數(shù)極大值點及極大值求得.，再求和即可【詳解】由題當當時，極大值點為1，極大值為1當時，.則極大值點形成首項為1公差為2的等差數(shù)列，極大值形成首項為1公比為3的等比數(shù)列故.,故設S=3S=兩式相減得-2S=1+2()-∴S=，故選A2.已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數(shù)的值為（）A.B.C.D.【答案】B類型三奇偶性在數(shù)列求和中的應用【例3】（2020·河北衡水中學高考模擬）已知數(shù)列，，且，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由遞推公式可得：當為奇數(shù)時，，數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，當為偶數(shù)時，，數(shù)列是首項為2，公差為0的等差數(shù)列，【指點迷津】數(shù)列求和中遇到，，都會用到奇偶性，進行分類討論.再采用分組轉化法求和或者并項求和的方法，即通過兩個一組進行重新組合，將原數(shù)列轉化為一個等差數(shù)列.分組轉化法求和的常見類型還有分段型（如）及符號型（如）【舉一反三】1.（2020福建省高三模擬）記函數(shù)在區(qū)間內的零點個數(shù)為，則數(shù)列的前20項的和是（）A．430 B．840 C．1250 D．1660【答案】A【解析】令，得①或②由①得，令，得，故①共有n個解，由②得，令，得③，令，得④當n為偶數(shù)時，③有個解，④有個解，故②有n個解，故當n為奇數(shù)時，③有個解，④有個解，故②有n+1個解，故令故故選：A2．（2020·山東高考模擬（文））設數(shù)列的前n項和為，已知，且，記，則數(shù)列的前10項和為______．【答案】200【解析】【分析】由已知求，利用遞推公式可得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比均為2，從而可求，即可求和.【詳解】∵，且，∴， ∵，∴時，，兩式相減可得，，（）即時，即，∵，∴數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比均為2，，∴，則數(shù)列，則的前10項和為故答案為200類型四周期性在數(shù)列求和中的應用【例4】（2020·江蘇高考模擬）對于實數(shù)，定義：，已知數(shù)列滿足，，，設表示數(shù)列的前和，若，則的值為__________.【答案】118【解析】【分析】對a分類討論，利用遞推關系可得周期性，進而得出所求結果.【詳解】①當時，因為，，可得：，同理可得：故可知，數(shù)列是周期為5的周期數(shù)列，所以，解得或，不合題意舍去.②當時，因為，，可得：，同理可得：故可知，數(shù)列是周期為5的周期數(shù)列，所以，解得或（舍去）所以，,,所以，故填118.【指點迷津】本題主要考查數(shù)列的周期性，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而轉化為熟悉的等差數(shù)列求和問題.解決此類問題要求具有觀察、猜想、歸納能力，將抽象數(shù)列轉化為等差或等比數(shù)列問題.【舉一反三】1.數(shù)列滿足，則數(shù)列的前100項和為__________．【答案】51002.已知數(shù)列2008，2009，1，，若這個數(shù)列從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2019項之和______．【答案】4018【解析】數(shù)列從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，即有數(shù)列的最小正周期為6，可得一個周期的和為0，由，可得．故答案為：4018．類型五數(shù)列求和的綜合問題【例5】（2020·河南高考模擬（理））已知數(shù)列的前項和為，若對于任意，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】試題分析：，，兩式相減得又，因此為以2首項，3為公比的等比數(shù)列，即，疊加法得，從而，因此對恒成立，即解得考點：和項求通項，等比數(shù)列定義，不等式恒成立【舉一反三】1.已知數(shù)列和的前項和分別為和，且，，（），若對任意的，恒成立，則的最小值為_____.【答案】【解析】，，可得，解得，當時，，化為，由，可得，即有，，即有，對任意的，恒成立，可得，即的最小值為.故答案為：.2.（2020上海市青浦區(qū)模擬）等差數(shù)列,滿足，則（）A．的最大值為50 B．的最小值為50C．的最大值為51 D．的最小值為51【答案】A【解析】時，滿足條件，所以滿足條件，即最小值為2，舍去B,D.要使得取最大值，則項數(shù)為偶數(shù)，設，等差數(shù)列的公差為，首項為，不妨設，則，且，由可得，所以,因為，所以，所以，而，所以，故.故選A【指點迷津】先根據題意可知中的項有正有負，不妨設，根據題意可求得，根據，去絕對值求和，即可求出結果.三．強化訓練1．（2020·湖南師大附中高考模擬（理））設數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的前10項的和是（）A．290 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由得為等差數(shù)列，求得，得利用裂項相消求解即可【詳解】由得，當時，，整理得，所以是公差為4的等差數(shù)列，又，所以，從而，所以，數(shù)列的前10項的和.故選.2．（2020·北京人大附中高考模擬）已知數(shù)列和的前項和分別為和，且，,，若對任意的,恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，相減得，因為，所以，又，所以,因為，所以,因此，,從而,即的最小值為，選B.3．（2020·四川高考模擬（理））我們把叫“費馬數(shù)”（費馬是十七世紀法國數(shù)學家）.設，，，，表示數(shù)列的前項之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴，∴，而∴，，即，當n=8時，左邊=，右邊=，顯然不適合；當n=9時，左邊=，右邊=，顯然適合，故最小正整數(shù)的值94．（2020·吉林高考模擬）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，解得；當時，，兩式相減可得，，可得，所以，.，所以.故選A.5．（2020·沭陽縣修遠中學高考模擬）已知數(shù)列滿足，且，其前n項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】】對3an+1+an=4變形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到數(shù)列bn=an﹣1為首項為8公比為的等比數(shù)列．所以bn=an﹣1=8×，an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整數(shù)n=76．（2020·江西師大附中高考模擬）數(shù)列中的項按順序可以排成如圖的形式，第一行項，排；第二行項，從左到右分別排，；第三行項，……依此類推，設數(shù)列的前項和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據規(guī)律可總結出第行的和為，利用分組求和的方法可求得前行和，經驗證，從而可得結論.【詳解】第一行為，其和為，可以變形為：；第二行為首項為，公比為的等比數(shù)列，共項，其和為：；第三行為首項為，公比為的等比數(shù)列，共項，其和為；依此類推：第行的和：；則前行共：個數(shù)前行和為：滿足而第六行的第個數(shù)為：，則滿足的最小正整數(shù)的值為：本題正確選項：7．（2020·貴州高考模擬）設，點，，，，設對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.8．（2020·山東高考模擬）對于任意實數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如.已知數(shù)列滿足，其前項和為，若是滿足的最小整數(shù)，則的值為（）A．305 B．306 C．315 D．316【答案】D【解析】【分析】由題意，求解得圖象，即可求解前項和，即可求解滿足的最小整數(shù)的值．【詳解】由題意，，當時，可得，（1項）當時，可得，（2項）當時，可得，（4項）當時，可得，（8項）當時，可得，（16項）當時，可得，（項）則前項和為，兩式相減得，所以，此時，當時，對應的項為，即，故選D．9．（2020·廣東高考模擬）已知數(shù)列滿足…，設數(shù)列滿足：,數(shù)列的前項和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出的通項，再求出的通項，從而可求，利用參變分離可求的取值范圍.【詳解】因為…，所以…，故即，其中.而令，則，故，.，故，故恒成立等價于即恒成立，化簡得到，因為，故.故選D.10．（2019·湖南長沙一中高考模擬）已知是函數(shù)的極值點，數(shù)列滿足，，記，若表示不超過的最大整數(shù)，則（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】A【解析】由題意可得，∵是函數(shù)的極值點，∴，即．∴，∴，，，，，以上各式累加可得．∴．∴====．∴．選A．11.我們把叫“費馬數(shù)”（費馬是十七世紀法國數(shù)學家）.設，，，，表示數(shù)列的前項之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是【答案】9【解析】∵∴，∴，而∴，，即，當n=8時，左邊=，右邊=，顯然不適合；當n=9時，左邊=，右邊=，顯然適合，故最小正整數(shù)的值912.（2020安徽省合肥市模擬）“垛積術”（隙積術）是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學家楊輝、元代數(shù)學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是件.已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的.若這堆貨物總價是萬元，則的值為【答案】10【解析】由題意，第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為萬元，第三層貨物總價為萬元，…，第層貨物總價為萬元，設這堆貨物總價為萬元,則，，兩式相減得，則,解得，13.已知數(shù)列滿足，，且，，設數(shù)列的前項和為，則__________（用表示）.【答案】【解析】當是奇數(shù)時，，，所以，，，…，，…是首項為1，公差為6的等差數(shù)列，因此；當是偶數(shù)時，，，所以，，，…，，…是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，因此.綜上，，所以，即.14.（2020湖北省宜昌市模擬）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，點、均在函數(shù)的圖象上，的橫坐標為，的橫坐標為，直線的斜率為.若，，則數(shù)列的前項和__________．【答案】【解析】由題意可知：，，，，∴，解得，∴∴∴①②①﹣②得，所以，整理得．故答案為：15．（2020·湖南長沙一中高考模擬）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推那么該數(shù)列的前50項和為【答案】1044【解析】【分析】將已知數(shù)列分組，使每組第一項均為