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專題16數(shù)列1.已知等比數(shù)列中,滿足,則()A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列中,仍成等比數(shù)列2.設等比數(shù)列的公比為,其前項和為,前項積為,并且滿足條件,,則下列結論正確的是()A. B.C.的最大值為 D.的最大值為3.等差數(shù)列是遞增數(shù)列,滿足,前項和為,下列選擇項正確的是(
)A. B.C.當時最小 D.時的最小值為4.已知數(shù)列的前n項和為,且滿足,則下列說法正確的是()A.數(shù)列的前n項和為 B.數(shù)列的通項公式為C.數(shù)列為遞增數(shù)列 D.數(shù)列為遞增數(shù)列5.由公差為d的等差數(shù)列則對重新組成的數(shù)列描述正確的是()A.一定是等差數(shù)列 B.公差為2d的等差數(shù)列C.可能是等比數(shù)列 D.可能既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列6.數(shù)列的前項和為,若數(shù)列的各項按如下規(guī)律排列:,以下運算和結論正確的是()A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列的前項和為D.若存在正整數(shù),使,則7.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),公比為,且,記的前項積為,則下列選項中正確的選項是()A. B. C. D.8.將個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣,如下圖:該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構成以為公差的等差數(shù)列,每一行的個數(shù)從左到右構成以為公比的等比數(shù)列(其中).已知,,記這個數(shù)的和為.下列結論正確的有()A. B.C. D.9.已知各項均為正項的等比數(shù)列,,,其前和為,下列說明正確的是()A.數(shù)列為等差數(shù)列B.若,則C.D.記,則數(shù)列有最大值.10.已知等比數(shù)列中,滿足,則()A.數(shù)列是等差等列 B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是遞減數(shù)列11.已知為等差數(shù)列,其前項和為,且,則以下結論正確的是().A. B.最小 C. D.12.在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中,是數(shù)列的前n項和,若,,則下列說法正確的是().A. B.數(shù)列是等比數(shù)列 C. D.數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列13.在數(shù)列中,若,(,,為常數(shù)),則稱為“等方差數(shù)列”.下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是()A.若是等差數(shù)列,則是等方差數(shù)列B.是等方差數(shù)列C.若是等方差數(shù)列,則(,為常數(shù))也是等方差數(shù)列D.若既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,則該數(shù)列為常數(shù)列14.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,前n項和為Sn,滿足a1+5a3=S8,下列選項正確的有()A. B. C.最小 D.15.已知數(shù)列{aA.{1an} B.log2(專題16數(shù)列1.已知等比數(shù)列中,滿足,則()A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列中,仍成等比數(shù)列【答案】AC【解析】等比數(shù)列中,,所以,.于是,,,故數(shù)列是等比數(shù)列,數(shù)列是遞減數(shù)列,數(shù)列是等差數(shù)列.因為,所以不成等比數(shù)列.故選:AC.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前項和公式的應用,以及通過通項公式判斷數(shù)列類型,屬于基礎題.2.設等比數(shù)列的公比為,其前項和為,前項積為,并且滿足條件,,則下列結論正確的是()A. B.C.的最大值為 D.的最大值為【答案】AD【解析】①,與題設矛盾.②符合題意.③與題設矛盾.④與題設矛盾.得,則的最大值為.B,C,錯誤.故選:AD.【點睛】考查等比數(shù)列的性質及概念.補充:等比數(shù)列的通項公式:.3.等差數(shù)列是遞增數(shù)列,滿足,前項和為,下列選擇項正確的是(
)A. B.C.當時最小 D.時的最小值為【答案】ABD【解析】由題意,設等差數(shù)列的公差為,因為,可得,解得,又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列,可知,則,故正確;因為,由可知,當或時最小,故錯誤,令,解得或,即時的最小值為,故正確.故選:【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,以及前項和公式的應用,其中解答中熟練應用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式,結合數(shù)列的函數(shù)性進行判斷是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.4.已知數(shù)列的前n項和為,且滿足,則下列說法正確的是()A.數(shù)列的前n項和為 B.數(shù)列的通項公式為C.數(shù)列為遞增數(shù)列 D.數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】AD【解析】因此數(shù)列為以為首項,為公差的等差數(shù)列,也是遞增數(shù)列,即D正確;所以,即A正確;當時所以,即B,C不正確;故選:AD【點睛】本題考查由和項求通項、等差數(shù)列定義與通項公式以及數(shù)列單調性,考查基本分析論證與求解能力,屬中檔題.5.由公差為d的等差數(shù)列則對重新組成的數(shù)列描述正確的是()A.一定是等差數(shù)列 B.公差為2d的等差數(shù)列C.可能是等比數(shù)列 D.可能既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列【答案】ABC【解析】由題意得令,則,因此數(shù)列一定是公差為2d的等差數(shù)列,即A,B正確,D錯誤;當時,此時數(shù)列可以是等比數(shù)列,即C正確;故選:ABC【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列定義,考查基本分析判斷能力,屬基礎題.6.數(shù)列的前項和為,若數(shù)列的各項按如下規(guī)律排列:,以下運算和結論正確的是()A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列的前項和為D.若存在正整數(shù),使,則【答案】ACD【解析】以為分母的數(shù)共有個,故,故正確;為等差數(shù)列,錯誤;數(shù)列的前項和為,正確;根據(jù)(3)知:即;,此時,正確;故選:【點睛】本題考查了數(shù)列的通項公式,前項和,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.7.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),公比為,且,記的前項積為,則下列選項中正確的選項是()A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由于等比數(shù)列的各項均為正數(shù),公比為,且,所以,由題意得,所以.因為,所以,,.故選ABC.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質,考查分析問題與解決問題的能力,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.8.將個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣,如下圖:該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構成以為公差的等差數(shù)列,每一行的個數(shù)從左到右構成以為公比的等比數(shù)列(其中).已知,,記這個數(shù)的和為.下列結論正確的有()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由題意,該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構成以為公差的等差數(shù)列,每一行的個數(shù)從左到右構成以為公比的等比數(shù)列,且,,可得,,所以,解得或(舍去),所以選項A是正確的;又由,所以選項B不正確;又由,所以選項C是正確的;又由這個數(shù)的和為,則,所以選項D是正確的,故選:ACD.【點睛】本題主要考查了數(shù)表、數(shù)陣數(shù)列的求解,以及等比數(shù)列及其前n項和公式的應用,其中解答中合理利用等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,準確計算是解答的關鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.9.已知各項均為正項的等比數(shù)列,,,其前和為,下列說明正確的是()A.數(shù)列為等差數(shù)列B.若,則C.D.記,則數(shù)列有最大值.【答案】ABD【解析】由題可知,,;對A,,,,A對;對B,,又,則;B對;對C,,,,明顯,C錯誤;對D,,由于數(shù)列,,故數(shù)列為單調遞減數(shù)列,總存在從某一項開始使得,故有最大值,故D正確;故選:ABD【點睛】本題考查等比數(shù)列的基本性質,前項和公式的應用,正向等比遞減數(shù)列的判斷,屬于中檔題10.已知等比數(shù)列中,滿足,則()A.數(shù)列是等差等列 B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是遞減數(shù)列【答案】BC【解析】A.,,是公比為的等比數(shù)列,不是等差數(shù)列,故不正確;B.由A可知,數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,所以是遞減數(shù)列,故正確;C.,,所以是等差數(shù)列,故正確;D.由C可知是公差為1的等差數(shù)列,所以是遞增數(shù)列,故D不正確.故選:BC【點睛】本題考查判斷數(shù)列是否是等差和等比數(shù)列,以及判斷函數(shù)的單調性,意在考查理解兩個基本數(shù)列,會用最基本的方法判斷,屬于基礎題型.11.已知為等差數(shù)列,其前項和為,且,則以下結論正確的是().A. B.最小 C. D.【答案】ACD【解析】即,正確;當時,沒有最小值,錯誤;,正確;,正確.故選:【點睛】本題考查了數(shù)列的通項公式,前項和,意在考查學生對數(shù)列公式方法的靈活運用.12.在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中,是數(shù)列的前n項和,若,,則下列說法正確的是().A. B.數(shù)列是等比數(shù)列 C. D.數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】ABC【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列,又,所以,又,所以或,又公比q為整數(shù),則,即,,對于選項A,由上可得,即選項A正確;對于選項B,,,則數(shù)列是等比數(shù)列,即選項B正確;對于選項C,,即選項C正確;對于選項D,,即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,即選項D錯誤,即說法正確的是ABC,故答案為:ABC.【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式及前項和的運算,重點考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定,屬中檔題.13.在數(shù)列中,若,(,,為常數(shù)),則稱為“等方差數(shù)列”.下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是()A.若是等差數(shù)列,則是等方差數(shù)列B.是等方差數(shù)列C.若是等方差數(shù)列,則(,為常數(shù))也是等方差數(shù)列D.若既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,則該數(shù)列為常數(shù)列【答案】BCD【解析】對于A選項,取,則不是常數(shù),則不是等方差數(shù)列,A選項中的結論錯誤;對于B選項,為常數(shù),則是等方差數(shù)列,B選項中的結論正確;對于C選項,若是等方差數(shù)列,則存在常數(shù),使得,則數(shù)列為等差數(shù)列,所以,則數(shù)列(,為常數(shù))也是等方差數(shù)列,C選項中的結論正確;對于D選項,若數(shù)列為等差數(shù)列,設其公差為,則存在,使得,則,由于數(shù)列也為等方差數(shù)列,所以,存在實數(shù),使得,則對任意的恒成立,則,得,此時,數(shù)列為常數(shù)列,D選項正確.故選:BCD.【點睛】本題考查數(shù)列中的新定義,解題時要充分利用題中的定義進行判斷,也可以結合特殊數(shù)列來判斷命題不成立,考查邏輯推理能力,屬于中等題.14.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,前n項和為Sn,滿足a1+5a3=S8,下列選項正確的有()A. B. C.最小 D.【答案】AB【解析】因為{an}是等差數(shù)列,設公差為,由,可得,即,即
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