專題11立體幾何中的點(diǎn)面距離問題(原卷版+解析)

專題11立體幾何中的點(diǎn)面距離問題【方法總結(jié)】應(yīng)用等體積轉(zhuǎn)化法求解點(diǎn)到平面的距離等體積轉(zhuǎn)化法就是通過變換幾何體的底面，利用幾何體(主要是三棱錐)體積的不同表達(dá)形式構(gòu)造方程來求解相關(guān)問題的方法，主要用于立體幾何中求解點(diǎn)到面的距離．關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握三棱錐底面的特征，選擇的底面應(yīng)具備兩個(gè)特征：一是底面的形狀規(guī)則，即面積可求；二是底面上的高比較明顯，即線面垂直關(guān)系比較直接．【例題選講】[例1](2019·全國Ⅰ)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．解析(1)連接B1C，ME．因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C．又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝eq\f(1,2)A1D．由題設(shè)知A1B1綊DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED．又MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．(2)過點(diǎn)C作C1E的垂線，垂足為H．由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C?平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH．又C1E∩DE＝E，所以CH⊥平面C1DE，故CH的長即為點(diǎn)C到平面C1DE的距離．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝eq\r(17)，故CH＝eq\f(4\r(17),17)．從而點(diǎn)C到平面C1DE的距離為eq\f(4\r(17),17)．[例2]如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的正方形，PA＝PD＝eq\r(17)，E為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延長線上，F(xiàn)H∥DM，交PM于點(diǎn)H，且FH＝1．(1)證明：EF∥平面PBM；(2)求點(diǎn)M到平面ABP的距離．解析(1)證明：取PB的中點(diǎn)G，連接EG，HG，則EG∥AB，且EG＝1，∵FH∥DM，且FH＝1，又AB∥DM，∴EG∥FH，EG＝FH，即四邊形EFHG為平行四邊形，∴EF∥GH．又EF?平面PBM，GH?平面PBM，∴EF∥平面PBM．(2)∵EF⊥平面PCD，CD?平面PCD，∴EF⊥CD．∵AD⊥CD，EF和AD顯然相交，EF，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD．取AD的中點(diǎn)O，連接PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD．又平面ABCD∩平面PAD＝AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∵AB∥CD，∴AB⊥平面PAD，∵PA?平面PAD，∴PA⊥AB，在等腰三角形PAD中，PO＝eq\r(PA2－AO2)＝eq\r(17－1)＝4．設(shè)點(diǎn)M到平面ABP的距離為h，連接AM，利用等體積可得VM－ABP＝VP－ABM，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(17)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×4，∴h＝eq\f(8,\r(17))＝eq\f(8\r(17),17)，∴點(diǎn)M到平面PAB的距離為eq\f(8\r(17),17)．[例3]如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA＝PB＝eq\r(2)．(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求點(diǎn)D到平面APC的距離．解析(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接PO，CO，(圖略)，由PA＝PB＝eq\r(2)，AB＝2知△PAB為等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO＝1，由AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC為等邊三角形，∴CO＝eq\r(3)．又由PC＝2得PO2＋CO2＝PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO＝O，∴PO⊥平面ABC，又PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．(2)由題知△ADC是邊長為2的等邊三角形，△PAC為等腰三角形，設(shè)點(diǎn)D到平面APC的距離為h，由VD-PAC＝VP-ADC得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△ADC·PO．∵S△ADC＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，S△PAC＝eq\f(1,2)PA·eq\r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA))2)＝eq\f(\r(7),2)，∴h＝eq\f(S△ADC·PO,S△PAC)＝eq\f(\r(3)×1,\f(\r(7),2))＝eq\f(2\r(21),7)，即點(diǎn)D到平面APC的距離為eq\f(2\r(21),7)．[例4]如圖，在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面C1CDD1；(2)在線段A1B上是否存在點(diǎn)G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求點(diǎn)G到平面C1DF的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析(1)證明：取BC的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，∵E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點(diǎn)，∴EM∥DC，F(xiàn)M∥C1C，EM?平面EFM，F(xiàn)M?平面EFM，EM∩FM＝M，DC?平面C1CDD1，C1C?平面C1CDD1，DC∩C1C＝C，∴平面EFM∥平面C1CDD1，而EF?平面EFM，∴EF∥平面C1CDD1．(2)取A1B的中點(diǎn)G，連接EG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G為中點(diǎn)，∴EG⊥A1B．連接FG，則FG∥A1C1，∵正方體棱長為1，在△A1BC1中，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)．在Rt△FME中，EF＝eq\f(\r(5),2)，在Rt△EAG中，EG＝eq\f(\r(3),2)，∴FG2＋EG2＝FE2，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1，又A1B，A1C1?平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1，∴EG⊥平面A1BC1．點(diǎn)G到平面C1DF的距離就是點(diǎn)G到平面C1DB的距離．∵GA∥C1D，∴GA∥平面C1DB，∴點(diǎn)G到平面C1DB的距離就是點(diǎn)A到平面C1DB的距離．易知S△BDC1＝eq\f(\r(3),2)，S△ABD＝eq\f(1,2)，點(diǎn)C1到平面ABD的距離為1，設(shè)點(diǎn)G到平面C1DF的距離為d，由VC1-ABD＝VA-BDC1得eq\f(1,3)×1×S△ABD＝eq\f(1,3)·d·S△BDC1，即eq\f(1,2)＝d·eq\f(\r(3),2)，∴d＝eq\f(\r(3),3)，即點(diǎn)G到平面C1DF的距離為eq\f(\r(3),3)．[例5]如圖1，四邊形ABCD為等腰梯形，AB＝2，AD＝DC＝CB＝1，將△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E為AB的中點(diǎn)，連接DE，DB(如圖2)．(1)求證：BC⊥AD；(2)求點(diǎn)E到平面BCD的距離．解析(1)作CH⊥AB于點(diǎn)H，則BH＝eq\f(1,2)，AH＝eq\f(3,2)，又BC＝1，∴CH＝eq\f(\r(3),2)，∴CA＝eq\r(3)，∴AC⊥BC，∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ADC，又AD?平面ADC，∴BC⊥AD．(2)∵E為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E到平面BCD的距離等于點(diǎn)A到平面BCD距離的一半．而平面ADC⊥平面BCD，∴過A作AQ⊥CD于Q，又∵平面ADC∩平面BCD＝CD，且AQ?平面ADC，∴AQ⊥平面BCD，AQ就是點(diǎn)A到平面BCD的距離．由(1)知AC＝eq\r(3)，AD＝DC＝1，∴cos∠ADC＝eq\f(12＋12－(\r(3))2,2×1×1)＝－eq\f(1,2)，又0<∠ADC<π，∴∠ADC＝eq\f(2π,3)，∴在Rt△QAD中，∠QDA＝eq\f(π,3)，AD＝1，∴AQ＝AD·sin∠QDA＝1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)．∴點(diǎn)E到平面BCD的距離為eq\f(\r(3),4)．[例6]如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq\f(1,3)AB＝1．現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC．(1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD∥平面MPC?(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離．解析(1)當(dāng)AP＝eq\f(1,3)AB時(shí)，有AD∥平面MPC．理由如下：連接BD交MC于點(diǎn)N，連接NP．在梯形MBCD中，DC∥MB，eq\f(DN,NB)＝eq\f(DC,MB)＝eq\f(1,2)，在△ADB中，eq\f(AP,PB)＝eq\f(1,2)，∴AD∥PN．∵AD?平面MPC，PN?平面MPC，∴AD∥平面MPC．(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD＝DM，AM⊥DM，∴AM⊥平面MBCD．∴VP-MBC＝eq\f(1,3)×S△MBC×eq\f(AM,2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)．在△MPC中，MP＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(5),2)，MC＝eq\r(2)，又PC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋12)＝eq\f(\r(5),2)，∴S△MPC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),4)．∴點(diǎn)B到平面MPC的距離為d＝eq\f(3VP-MBC,S△MPC)＝eq\f(3×\f(1,6),\f(\r(6),4))＝eq\f(\r(6),3)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．(2018·全國Ⅱ)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．2．(2013·江西)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E為CD上一點(diǎn)，DE＝1，EC＝3．(1)證明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離．3．如圖，在三棱錐A—BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC＝2，AD⊥平面BCD，AD＝1．(1)求證：平面ABC⊥平面ACD；(2)若E為AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面CED的距離．4．已知三棱錐P－ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB的中點(diǎn)，E是PB的中點(diǎn)．(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)求點(diǎn)B到平面OEC的距離．5．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是邊長為6的正三角形．(1)求證：平面DEC⊥平面BDE；(2)求點(diǎn)A到平面BDE的距離．6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)．(1)證明：PF⊥FD；(2)若PA＝1，求點(diǎn)E到平面PFD的距離．7．如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M為AD的中點(diǎn)，N為PC上一點(diǎn)，且PC＝3PN．(1)求證：MN∥平面PAB；(2)求點(diǎn)M到平面PAN的距離．8．如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M為PC的中點(diǎn)．(1)求證：PC⊥AD；(2)求點(diǎn)D到平面PAM的距離．9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝BC＝2a，AC＝2eq\r(3)a，E是PA的中點(diǎn)．(1)求證：平面BED⊥平面PAC；(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離．10．如圖1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)CP，D是CP的中點(diǎn)，將△PAD沿AD折起，使點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)P′的位置得到圖2，點(diǎn)M為棱P′C上的動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)M在何處時(shí)，平面ADM⊥平面P′BC，并證明；②若AB＝2，∠P′DC＝135°，證明：點(diǎn)C到平面P′AD的距離等于點(diǎn)P′到平面ABCD的距離，并求出該距離．11．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F(xiàn)分別為CD，AB邊上的點(diǎn)，且DE＝3，BF＝4，將△BCE沿BE折起來至△PBE的位置(如圖2所示)，連接AP，PF，其中PF＝2eq\r(5)．(1)求證：PF⊥平面ABED；(2)求點(diǎn)A到平面PBE的距離．圖1圖212．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖所示的空間幾何體．(1)求證：AB⊥平面ADC；(2)若AD＝1，AB＝eq\r(2)，求點(diǎn)B到平面ADE的距離．專題11立體幾何中的點(diǎn)面距離問題【方法總結(jié)】應(yīng)用等體積轉(zhuǎn)化法求解點(diǎn)到平面的距離等體積轉(zhuǎn)化法就是通過變換幾何體的底面，利用幾何體(主要是三棱錐)體積的不同表達(dá)形式構(gòu)造方程來求解相關(guān)問題的方法，主要用于立體幾何中求解點(diǎn)到面的距離．關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握三棱錐底面的特征，選擇的底面應(yīng)具備兩個(gè)特征：一是底面的形狀規(guī)則，即面積可求；二是底面上的高比較明顯，即線面垂直關(guān)系比較直接．【例題選講】[例1](2019·全國Ⅰ)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．解析(1)連接B1C，ME．因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C．又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝eq\f(1,2)A1D．由題設(shè)知A1B1綊DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED．又MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．(2)過點(diǎn)C作C1E的垂線，垂足為H．由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C?平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH．又C1E∩DE＝E，所以CH⊥平面C1DE，故CH的長即為點(diǎn)C到平面C1DE的距離．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝eq\r(17)，故CH＝eq\f(4\r(17),17)．從而點(diǎn)C到平面C1DE的距離為eq\f(4\r(17),17)．[例2]如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的正方形，PA＝PD＝eq\r(17)，E為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延長線上，F(xiàn)H∥DM，交PM于點(diǎn)H，且FH＝1．(1)證明：EF∥平面PBM；(2)求點(diǎn)M到平面ABP的距離．解析(1)證明：取PB的中點(diǎn)G，連接EG，HG，則EG∥AB，且EG＝1，∵FH∥DM，且FH＝1，又AB∥DM，∴EG∥FH，EG＝FH，即四邊形EFHG為平行四邊形，∴EF∥GH．又EF?平面PBM，GH?平面PBM，∴EF∥平面PBM．(2)∵EF⊥平面PCD，CD?平面PCD，∴EF⊥CD．∵AD⊥CD，EF和AD顯然相交，EF，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD．取AD的中點(diǎn)O，連接PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD．又平面ABCD∩平面PAD＝AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∵AB∥CD，∴AB⊥平面PAD，∵PA?平面PAD，∴PA⊥AB，在等腰三角形PAD中，PO＝eq\r(PA2－AO2)＝eq\r(17－1)＝4．設(shè)點(diǎn)M到平面ABP的距離為h，連接AM，利用等體積可得VM－ABP＝VP－ABM，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(17)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×4，∴h＝eq\f(8,\r(17))＝eq\f(8\r(17),17)，∴點(diǎn)M到平面PAB的距離為eq\f(8\r(17),17)．[例3]如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA＝PB＝eq\r(2)．(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求點(diǎn)D到平面APC的距離．解析(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接PO，CO，(圖略)，由PA＝PB＝eq\r(2)，AB＝2知△PAB為等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO＝1，由AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC為等邊三角形，∴CO＝eq\r(3)．又由PC＝2得PO2＋CO2＝PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO＝O，∴PO⊥平面ABC，又PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．(2)由題知△ADC是邊長為2的等邊三角形，△PAC為等腰三角形，設(shè)點(diǎn)D到平面APC的距離為h，由VD-PAC＝VP-ADC得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△ADC·PO．∵S△ADC＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，S△PAC＝eq\f(1,2)PA·eq\r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA))2)＝eq\f(\r(7),2)，∴h＝eq\f(S△ADC·PO,S△PAC)＝eq\f(\r(3)×1,\f(\r(7),2))＝eq\f(2\r(21),7)，即點(diǎn)D到平面APC的距離為eq\f(2\r(21),7)．[例4]如圖，在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面C1CDD1；(2)在線段A1B上是否存在點(diǎn)G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求點(diǎn)G到平面C1DF的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析(1)證明：取BC的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，∵E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點(diǎn)，∴EM∥DC，F(xiàn)M∥C1C，EM?平面EFM，F(xiàn)M?平面EFM，EM∩FM＝M，DC?平面C1CDD1，C1C?平面C1CDD1，DC∩C1C＝C，∴平面EFM∥平面C1CDD1，而EF?平面EFM，∴EF∥平面C1CDD1．(2)取A1B的中點(diǎn)G，連接EG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G為中點(diǎn)，∴EG⊥A1B．連接FG，則FG∥A1C1，∵正方體棱長為1，在△A1BC1中，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)．在Rt△FME中，EF＝eq\f(\r(5),2)，在Rt△EAG中，EG＝eq\f(\r(3),2)，∴FG2＋EG2＝FE2，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1，又A1B，A1C1?平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1，∴EG⊥平面A1BC1．點(diǎn)G到平面C1DF的距離就是點(diǎn)G到平面C1DB的距離．∵GA∥C1D，∴GA∥平面C1DB，∴點(diǎn)G到平面C1DB的距離就是點(diǎn)A到平面C1DB的距離．易知S△BDC1＝eq\f(\r(3),2)，S△ABD＝eq\f(1,2)，點(diǎn)C1到平面ABD的距離為1，設(shè)點(diǎn)G到平面C1DF的距離為d，由VC1-ABD＝VA-BDC1得eq\f(1,3)×1×S△ABD＝eq\f(1,3)·d·S△BDC1，即eq\f(1,2)＝d·eq\f(\r(3),2)，∴d＝eq\f(\r(3),3)，即點(diǎn)G到平面C1DF的距離為eq\f(\r(3),3)．[例5]如圖1，四邊形ABCD為等腰梯形，AB＝2，AD＝DC＝CB＝1，將△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E為AB的中點(diǎn)，連接DE，DB(如圖2)．(1)求證：BC⊥AD；(2)求點(diǎn)E到平面BCD的距離．解析(1)作CH⊥AB于點(diǎn)H，則BH＝eq\f(1,2)，AH＝eq\f(3,2)，又BC＝1，∴CH＝eq\f(\r(3),2)，∴CA＝eq\r(3)，∴AC⊥BC，∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ADC，又AD?平面ADC，∴BC⊥AD．(2)∵E為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E到平面BCD的距離等于點(diǎn)A到平面BCD距離的一半．而平面ADC⊥平面BCD，∴過A作AQ⊥CD于Q，又∵平面ADC∩平面BCD＝CD，且AQ?平面ADC，∴AQ⊥平面BCD，AQ就是點(diǎn)A到平面BCD的距離．由(1)知AC＝eq\r(3)，AD＝DC＝1，∴cos∠ADC＝eq\f(12＋12－(\r(3))2,2×1×1)＝－eq\f(1,2)，又0<∠ADC<π，∴∠ADC＝eq\f(2π,3)，∴在Rt△QAD中，∠QDA＝eq\f(π,3)，AD＝1，∴AQ＝AD·sin∠QDA＝1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)．∴點(diǎn)E到平面BCD的距離為eq\f(\r(3),4)．[例6]如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq\f(1,3)AB＝1．現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC．(1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD∥平面MPC?(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離．解析(1)當(dāng)AP＝eq\f(1,3)AB時(shí)，有AD∥平面MPC．理由如下：連接BD交MC于點(diǎn)N，連接NP．在梯形MBCD中，DC∥MB，eq\f(DN,NB)＝eq\f(DC,MB)＝eq\f(1,2)，在△ADB中，eq\f(AP,PB)＝eq\f(1,2)，∴AD∥PN．∵AD?平面MPC，PN?平面MPC，∴AD∥平面MPC．(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD＝DM，AM⊥DM，∴AM⊥平面MBCD．∴VP-MBC＝eq\f(1,3)×S△MBC×eq\f(AM,2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)．在△MPC中，MP＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(5),2)，MC＝eq\r(2)，又PC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋12)＝eq\f(\r(5),2)，∴S△MPC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),4)．∴點(diǎn)B到平面MPC的距離為d＝eq\f(3VP-MBC,S△MPC)＝eq\f(3×\f(1,6),\f(\r(6),4))＝eq\f(\r(6),3)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．(2018·全國Ⅱ)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．1．解析(1)證明：因?yàn)镻A＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，且PO＝2eq\r(3)．連接OB，因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2．所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB．又因?yàn)锳C∩OB＝O，所以PO⊥平面ABC．(2)作CH⊥OM，垂足為H，又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°，所以O(shè)M＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5)．所以點(diǎn)C到平面POM的距離為eq\f(4\r(5),5)．2．(2013·江西)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E為CD上一點(diǎn)，DE＝1，EC＝3．(1)證明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離．2．解析(1)過B作CD的垂線交CD于F，則BF＝AD＝eq\r(2)，EF＝AB－DE＝1，F(xiàn)C＝2．在Rt△BFE中，BE＝eq\r(3)．在Rt△CFB中，BC＝eq\r(6)．在△BEC中，因?yàn)锽E2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC．由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C．(2)三棱錐E－A1B1C1的體積V＝eq\f(1,3)AA1·＝eq\r(2)．在Rt△A1D1C1中，A1C1＝eq\r(A1D\o\al(2,1)＋D1C\o\al(2,1))＝3eq\r(2)．同理，EC1＝eq\r(EC2＋CC\o\al(2,1))＝3eq\r(2)，A1E＝eq\r(A1A2＋AD2＋DE2)＝2eq\r(3)．故＝3eq\r(5)．設(shè)點(diǎn)B1到平面A1C1E的距離為d，則三棱錐B1－A1C1E的體積V＝eq\f(1,3)·d·＝eq\r(5)d，從而eq\r(5)d＝eq\r(2)，d＝eq\f(\r(10),5)．即點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為eq\f(\r(10),5)．3．如圖，在三棱錐A—BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC＝2，AD⊥平面BCD，AD＝1．(1)求證：平面ABC⊥平面ACD；(2)若E為AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面CED的距離．3．解析(1)因?yàn)锳D⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩AD＝A，AC，AD?平面ABCD，所以BC⊥平面ACD，因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD．(2)由已知可得CD＝eq\r(3)，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以ED＝EC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，所以△ECD為等腰三角形，從而EF＝eq\f(\r(5),2)，所以S△ECD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(5),2)＝eq\f(\r(15),4)．由(1)知BC⊥平面ACD，所以E到平面ACD的距離為1，S△ACD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2)．設(shè)點(diǎn)A到平面CED的距離為d，則V三棱錐A—ECD＝eq\f(1,3)·S△ECD·d＝V三棱錐E—ACD＝eq\f(1,3)·S△ACD·1，解得d＝eq\f(2\r(5),5)．4．已知三棱錐P－ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB的中點(diǎn)，E是PB的中點(diǎn)．(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)求點(diǎn)B到平面OEC的距離．4．解析(1)連接PO，在△PAB中，PA＝PB,O是AB中點(diǎn)，∴PO⊥AB，又∵AC＝BC＝2,AC⊥BC，∴AB＝2eq\r(2)，OB＝OC＝eq\r(2)．∵PA＝PB＝PC＝3，∴PO＝eq\r(7)，PC2＝PO2＋OC2，∴PO⊥OC．又AB∩OC＝O,AB?平面ABC,OC?平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．(2)∵OE是△PAB的中位線，∴OE＝eq\f(3,2)．∵O是AB的中點(diǎn)，AC＝BC，∴OC⊥AB．又平面PAB⊥平面ABC，兩平面的交線為AB，∴OC⊥平面PAB，∵OE?平面PAB，∴OC⊥OE．設(shè)點(diǎn)B到平面OEC的距離為d，則VB－OEC＝VE－OBC，∴eq\f(1,3)×S△OEC·d＝eq\f(1,3)×S△OBC×eq\f(1,2)OP，d＝eq\f(S△OBC·\f(1,2)OP,S△OEC)＝eq\f(\f(1,2)OB·OC·\f(1,2)OP,\f(1,2)OE·OC)＝eq\f(\r(14),3)．5．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是邊長為6的正三角形．(1)求證：平面DEC⊥平面BDE；(2)求點(diǎn)A到平面BDE的距離．5．解析(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，所以BD＝eq\r(13)，又因?yàn)锽C＝7，CD＝6，所以根據(jù)勾股定理可得BD⊥CD，因?yàn)锽E＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE．因?yàn)镈E∩CD＝D，DE?平面DEC，CD?平面DEC，所以BD⊥平面DEC.因?yàn)锽D?平面BDE，所以平面DEC⊥平面BDE．(2)如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接OE，因?yàn)椤鱀CE是邊長為6的正三角形，所以EO⊥CD，EO＝3eq\r(3)，由(1)易知EO⊥平面ABCD，則VE－ABD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×3eq\r(3)＝3eq\r(3)，又因?yàn)镽t△BDE的面積為eq\f(1,2)×6×eq\r(13)＝3eq\r(13)，設(shè)點(diǎn)A到平面BDE的距離為h，則由VE－ABD＝VA－BDE，得eq\f(1,3)×3eq\r(13)h＝3eq\r(3)，所以h＝eq\f(3\r(39),13)，所以點(diǎn)A到平面BDE的距離為eq\f(3\r(39),13)．6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)．(1)證明：PF⊥FD；(2)若PA＝1，求點(diǎn)E到平面PFD的距離．6．解析(1)證明：連接AF，則AF＝eq\r(2)，又DF＝eq\r(2)，AD＝2，所以DF2＋AF2＝AD2，所以DF⊥AF．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以DF⊥PA，又PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF，又PF?平面PAF，所以DF⊥PF．(2)連接EP，ED，EF．因?yàn)镾△EFD＝S矩形ABCD－S△BEF－S△ADE－S△CDF＝2－eq\f(5,4)＝eq\f(3,4)，所以V三棱錐P－EFD＝eq\f(1,3)S△EFD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×1＝eq\f(1,4)．設(shè)點(diǎn)E到平面PFD的距離為h，則由V三棱錐E－PFD＝V三棱錐P－EFD得eq\f(1,3)S△PFD·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(6),2)·h＝eq\f(1,4)，解得h＝eq\f(\r(6),4)，即點(diǎn)E到平面PFD的距離為eq\f(\r(6),4)．7．如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M為AD的中點(diǎn)，N為PC上一點(diǎn)，且PC＝3PN．(1)求證：MN∥平面PAB；(2)求點(diǎn)M到平面PAN的距離．7．解析(1)證明：在平面PBC內(nèi)作NH∥BC交PB于點(diǎn)H，連接AH，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝eq\f(1,3)BC＝1，AM＝eq\f(1,2)AD＝1，又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四邊形AMNH為平行四邊形，∴MN∥AH，又AH?平面PAB，MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB．(2)連接AC，MC，PM，平面PAN即為平面PAC，設(shè)點(diǎn)M到平面PAC的距離為h．由題意可得CD＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(3)，∴S△PAC＝eq\f(1,2)PA·AC＝4eq\r(3)，S△AMC＝eq\f(1,2)AM·CD＝eq\r(2)，由VM-PAC＝VP-AMC，得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△AMC·PA，即4eq\r(3)h＝eq\r(2)×4，∴h＝eq\f(\r(6),3)，∴點(diǎn)M到平面PAN的距離為eq\f(\r(6),3)．8．如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M為PC的中點(diǎn)．(1)求證：PC⊥AD；(2)求點(diǎn)D到平面PAM的距離．8．解析(1)證明：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OC，AC，由題意易知△ACD為正三角形．所以O(shè)C⊥AD，又△PAD是正三角形，O為AD的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AD，又OC∩OP＝O，所以AD⊥平面POC，又PC?平面POC，所以PC⊥AD．(2)點(diǎn)D到平面PAM的距離即點(diǎn)D到平面PAC的距離，由(1)可知，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO為三棱錐P－ACD的高．在Rt△POC中，PO＝OC＝eq\r(3)，PC＝eq\r(6)，在△PAC中，PA＝AC＝2，PC＝eq\r(6)，邊PC上的高AM＝eq\r(PA2－PM2)＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(\r(10),2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)PC·AM＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(10),2)＝eq\f(\r(15),2)．設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h，由VD-PAC＝VP-ACD，得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△ACD·PO，又S△ACD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(15),2)·h＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)，解得h＝eq\f(2\r(15),5)．故點(diǎn)D到平面PAM的距離為eq\f(2\r(15),5)．9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝BC＝2a，AC＝2eq\r(3)a，E是PA的中點(diǎn)．(1)求證：平面BED⊥平面PAC；(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離．9．解析(1)證明：在平行四邊形ABCD中，AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面BED，∴平面BED⊥平面PAC．(2)設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，如圖．在△PCA中，易知O為AC的中點(diǎn)，又E為PA的中點(diǎn)，∴EO∥PC，∵PC?平面PBC，EO?平面PBC，∴EO∥平面PBC．∴點(diǎn)O到平面PBC的距離就是點(diǎn)E到平面PBC的距離．∵PC⊥平面ABCD，PC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，且兩平面的交線為BC．在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，則OH⊥平面PBC，在Rt△BOC中，BC＝2a，OC＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)a，∴OB＝a．由S△BOC＝eq\f(1,2)OC·OB＝eq\f(1,2)BC·OH，得OH＝eq\f(OB·OC,BC)＝eq\f(a·\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)a，∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為eq\f(\r(3),2)a．10．如圖1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)CP，D是CP的中點(diǎn)，將△PAD沿AD折起，使點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)P′的位置得到圖2，點(diǎn)M為棱P′C上的動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)M在何處時(shí)，平面ADM⊥平面P′BC，并證明；②若AB＝2，∠P′DC＝135°，證明：點(diǎn)C到平面P′AD的距離等于點(diǎn)P′到平面ABCD的距離，并求出該距離．10．解析①當(dāng)點(diǎn)M為P′C的中點(diǎn)時(shí)，平面ADM⊥平面P′BC，證明如下：∵DP′＝DC，M為P′C的中點(diǎn)，∴P′C⊥DM，∵AD⊥DP′，AD⊥DC，DP′∩DC＝D，∴AD⊥平面DP′C，∴AD