魯棒控制講義-第1-2章

PAGEPAGE4第一章概述§1.1不確定系統(tǒng)和魯棒控制(UncertainSystemandRobustControl)1.1.1名義系統(tǒng)和實際系統(tǒng)（nominalsystem）控制系統(tǒng)設(shè)計過程中，常常要先獲得被控制對象的數(shù)學(xué)模型。在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，往往要忽略許多因素：比如對同步軌道衛(wèi)星的姿態(tài)進行控制時不考慮軌道運動的影響，對一個振動系統(tǒng)的控制過程中，不考慮高階模態(tài)的影響，等等。這樣處理后得到的數(shù)學(xué)模型仍嫌太復(fù)雜，于是要經(jīng)過降階處理，有時還要把非線性環(huán)節(jié)進行線性化處理，時變參數(shù)進行定常化處理，最后得到一個適合控制系統(tǒng)設(shè)計使用的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)過以上處理后得到的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)不能完全描述原來的物理系統(tǒng)，而僅僅是原系統(tǒng)的一種近似，因此稱這樣的數(shù)學(xué)模型為“名義系統(tǒng)”，而稱真實的物理系統(tǒng)為“實際系統(tǒng)”，而名義系統(tǒng)與實際系統(tǒng)的差別稱為模型誤差。不確定性和攝動（UncertaintyandPerturbation）如立足于名義系統(tǒng)，可認(rèn)為名義系統(tǒng)經(jīng)攝動后，變成實際系統(tǒng)，這時模型誤差可視為對名義系統(tǒng)的攝動。如果立足于實際系統(tǒng)，那么可視實際系統(tǒng)由兩部分組成：即已知的模型和未知的模型（模型誤差），如果模型的未知部分并非完全不知道，而是不確切地知道，比如只知道某種形式的界限（如：范數(shù)或模界限等），則稱這部分模型為實際模型的不確定部分，也說實際系統(tǒng)中存在著不確定性，稱含有不確定部分的系統(tǒng)為不確定系統(tǒng)。模型不確定性包括：參數(shù)、結(jié)構(gòu)及干擾不確定性等。1.1.3不確定系統(tǒng)的控制經(jīng)典的控制系統(tǒng)設(shè)計方法要求有一個確定的數(shù)學(xué)模型（可能是常規(guī)的，也可能是統(tǒng)計的）。以往，由于對一般的控制系統(tǒng)要求不太高，所以系統(tǒng)中普遍存在的不確定性問題往往被忽略。事實上，對許多要求不高的系統(tǒng)，在名義系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進行分析與設(shè)計已經(jīng)能夠滿足工程要求，而對一些精度和可靠性要求較高的系統(tǒng)，也只是在名義系統(tǒng)基礎(chǔ)上進行分析和設(shè)計，然后考慮模型的誤差，用仿真的方法來檢驗實際系統(tǒng)的性能（如穩(wěn)定性、暫態(tài)性能等）。例如早期導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計時就是這樣：首先按名義模型設(shè)計一個控制系統(tǒng)，然后反復(fù)調(diào)整設(shè)計參數(shù)，這樣的結(jié)果是浪費了大量的人力物力；一種導(dǎo)彈從設(shè)計到定型要反復(fù)計算數(shù)百條彈道，對大小回路控制器參數(shù)要進行數(shù)十次調(diào)整，還要經(jīng)過反復(fù)試射，這類參數(shù)的調(diào)整往往沒有一個理論可以遵循，而依據(jù)設(shè)計者的經(jīng)驗。為了解決不確定控制系統(tǒng)的設(shè)計問題，提出了魯棒控制理論。由于魯棒控制器是針對系統(tǒng)工作的最壞情況而設(shè)計的，因此能適應(yīng)所有其它工況，因此它是解決這類不確定系統(tǒng)控制問題的有力工具。定義1.1魯棒性：在不確定因素影響下，系統(tǒng)（裝置）保持其原有能力的性質(zhì)。定義1.2魯棒控制：使受到不確定因素作用的系統(tǒng)保持其原有能力的控制技術(shù)?！?.2魯棒控制理論研究的內(nèi)容1.2.1魯棒穩(wěn)定性（絕對穩(wěn)定性）魯棒穩(wěn)定性是系統(tǒng)受到擾動作用時，保持其穩(wěn)定能力的性質(zhì)。這種擾動是不確切知道的，但是是有限的。穩(wěn)定性是對一個系統(tǒng)正常工作的起碼要求，所以對不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性檢驗是必要的。因為傳統(tǒng)的設(shè)計方法不具有保證魯棒穩(wěn)定性的能力，包括七十年代發(fā)展起來的各種方法，INA（逆奈氏陣列）、CL（特征軌跡）、LQR（線性二次型調(diào)節(jié)器）等，都不能保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。從九十年代起，大多數(shù)飛機、導(dǎo)彈、航天器都提出了魯棒性要求。魯棒穩(wěn)定性分為頻域分析及時域分析兩類，每一類又包含多種不同的方法。常用的魯棒穩(wěn)定性分析方法有：矩陣特征值估計方法Kharitonov方法--多項式方法Lyapunov方法—廣義能量方法矩陣范數(shù)及測度方法1.2.2性能魯棒性（相對穩(wěn)定性）對不確定系統(tǒng)，僅僅滿足魯棒穩(wěn)定性要求是不夠的。要達到高精度控制要求，必須使受控系統(tǒng)的暫態(tài)指標(biāo)及穩(wěn)態(tài)指標(biāo)都達到要求。按名義模型設(shè)計的控制系統(tǒng)在攝動作用下仍能滿足性能指標(biāo)要求，則說該系統(tǒng)具有性能魯棒性。大多數(shù)設(shè)計方法不能保證性能魯棒性，因而對不確定系統(tǒng)進行性能魯棒性的檢驗是必要的。性能指標(biāo)的魯棒性分析方法也可分為頻域和時域兩種，使用何種性能指標(biāo)，要視提出的性能指標(biāo)是在頻域還是在時域而定。性能魯棒性有時又稱為相對穩(wěn)定性、D-穩(wěn)定性等。所謂D-穩(wěn)定性，即為了保證系統(tǒng)的性能，要求在攝動作用下，系統(tǒng)的閉環(huán)特征值保持在某個區(qū)域D內(nèi)。1.2.3魯棒控制器設(shè)計a）基于不確定性界限的魯棒控制器設(shè)計已知名義系統(tǒng)及不確定性的界限，設(shè)計一個控制系統(tǒng)使其滿足穩(wěn)定性或性能指標(biāo)要求。這里的不確定性包括：對外干擾的不確定性及內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)變化的不確定性，一般前者稱為魯棒伺服機問題，發(fā)展較早（70年代中期開始），后者稱為魯棒調(diào)節(jié)器問題，發(fā)展較晚（70年代末、80年代初開始）。屬于這類方法有：1）保證價值控制理論（GuaranteedCostControl）；2）Lyapunov最大-最小方法；3）變結(jié)構(gòu)控制理論（VSC），特別是其中的滑動模態(tài)控制理論（SlidingModeControl）；4）綜合方法。b）基于靈敏度指標(biāo)的魯棒控制器設(shè)計這類控制器是在名義系統(tǒng)基礎(chǔ)上設(shè)計的，然后應(yīng)用一些與靈敏度有關(guān)的性能指標(biāo)，設(shè)計控制器使所設(shè)定的性能指標(biāo)最優(yōu)，如H控制等。屬于這類方法的主要有：1）H控制理論（1981年加拿大的Zams提出）；2）魯棒的特征結(jié)構(gòu)配置方法（Matlab中的place函數(shù)）。c）基于其他考慮的方法如定量反饋理論（QFT），英國的Holowitz1979年提出的?！?.1.3本課程的內(nèi)容本課程分為七章，第二章介紹理解本課程所需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識；第三章講述狀態(tài)空間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析方法；第四章講述動力學(xué)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析方法；第五章講述魯棒控制器的設(shè)計方法；第六章講述變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計方法；第七章講述魯棒控制的應(yīng)用。本課程假定讀者已經(jīng)學(xué)習(xí)過矩陣?yán)碚摵同F(xiàn)代控制理論等課程。

第二章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識本書使用的數(shù)學(xué)符號：實數(shù)域、-維實空間、-維實空間；復(fù)數(shù)域、-維復(fù)空間、-維復(fù)空間；秩為r的-維復(fù)空間。-維實空間，其元素的分量都大于或等于0。屬于、不屬于、對所有的；A的轉(zhuǎn)置、A的共軛轉(zhuǎn)置、A的逆矩陣；從空間到實數(shù)域R的映射；矩陣A的范數(shù)、標(biāo)量a的模；0的右側(cè)，即大于0的一側(cè)；、n個自然數(shù)的集合、上界為r的自然數(shù)的集合；包含、被包含、等價；定義為a的最小值、最大值；元素為的矩陣；§2.1矩陣的幾個概念定義2.1設(shè),如果存在一個和使得： ， (2.1)則稱為的一個特征值，稱為A的對應(yīng)于的特征向量。設(shè)A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置，則有：赫米特矩陣（HermitianMatrix）：，具有實特征值對稱矩陣（SymmetricMatrix）：，具有實特征值酉矩陣（UnitaryMatrix）：，特征值都在復(fù)平面的單位圓上正交矩陣（OrthogonalMatrix）：，特征值都在復(fù)平面的單位圓上斜赫米特矩陣（SkewHermitianMatrix）：，特征值都在復(fù)平面的虛軸上正規(guī)矩陣（NormalMatrix）：，有各異的特征值定義2.2 矩陣是正定的，如果其全部特征值大于零； 矩陣是正半定的，如果其全部特征值都大于或等于零； 矩陣是負(fù)定的，如果其全部特征值都小于零。定義2.3矩陣是漸近穩(wěn)定的，如果其全部特征值都具有負(fù)實部； 矩陣是不穩(wěn)定的，如果至少一個特征值具有正實部。 矩陣是Lyapunov穩(wěn)定的，如果其全部特征值都具有非正實部。關(guān)于矩陣的特征值還有一些性質(zhì)：相似變換不改變矩陣的特征值；特征值是連續(xù)的；實矩陣的特征值是自共軛的。這些性質(zhì)也是我們今后的學(xué)習(xí)中要用到的?！?.2矩陣范數(shù)定義2.4若是的一個映射，稱是的一個矩陣范數(shù)，系指如下條件保持時：正定條件齊次條件三角不等式此外，若下面的條件成立相容條件則稱為相容的矩陣范數(shù)。常用的矩陣范數(shù)：設(shè)，aij是A的元素，則a）行和范數(shù) (2.2)b)列和范數(shù) (2.3)c)譜范數(shù) (2.4)d)Frobenius范數(shù) (2.5)e)B-范數(shù) (2.6)這里除了B-范數(shù)外，其它都滿足相容性條件?！?.3矩陣的測度定義2.5矩陣的測度被定義為 (2.7)的測度表示上一點在方向的單側(cè)方向?qū)?shù)，為單位陣。物理解釋：考慮系統(tǒng)，是其一個解向量，那么的方向?qū)?shù)為 == =測度的性質(zhì)：a）b）c），（齊次條件）d）e），（三角不等式）f）g），矩陣的測度滿足齊次條件和三角不等式，但不滿足相容性條件。測度的計算：設(shè)，那么 (2.8) (2.9) (2.10)§2.4矩陣的行列式和恒定值（DeterminentandPermannent）設(shè)：，，記為的子矩陣，它是通過刪除的第行及第列而得到的，那么A的行列式和恒定值可按如下法則計算：行列式： 時，按第行的拉普拉斯展開是 (2.11)恒定值： 按第行的Laplace展開為 (2.12)§2.5矩陣的跡、譜半徑和條件數(shù)2.5.1矩陣的跡和譜半徑定義2.6若，那么，其對角線元素之和稱為其跡，記為： (2.13)定義2.7矩陣A的全部特征值稱為它的譜，其譜半徑定義為 (2.14)很明顯，A的譜都在復(fù)平面上以原點為圓心、為半徑的閉圓內(nèi)。2.5.2特征值問題的條件數(shù)定義2.8若，是可使化成標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異矩陣，則的特征值問題的條件數(shù)定義為： (2.15)其中：m表示任何相容的矩陣范數(shù)。若受擾后變成，是偏離值，設(shè)是的任意一個特征值，是的第個特征值，則有： (2.16)即，當(dāng)受擾后，其特征值產(chǎn)生偏差，偏差隨其特征值問題的條件數(shù)的增大而增大。正規(guī)矩陣因為可對角化，故，這說明正規(guī)矩陣不易受擾。2.5.3求逆問題的條件數(shù)定義2.9若，是非奇異矩陣，則求逆問題的條件數(shù)定義為：（2.17）這里對應(yīng)于不同的相容矩陣范數(shù)意義下的條件數(shù)。條件數(shù)表征了矩陣的某種擾動性質(zhì)，比如要求出矩陣A的逆，但由于初始數(shù)據(jù)的誤差（機器字長、舍入誤差等影響），使實際被求逆的矩陣變成，那么，的逆和的逆究竟差多少？經(jīng)推導(dǎo)后得到 (2.18)這里需滿足 (2.19)由上式可見，越大，則誤差越大，常稱大的矩陣為病態(tài)矩陣。的下限是1，可以這樣求得：因為，兩端取范數(shù)得到所以有： (2.20)§2.6區(qū)間矩陣與非負(fù)矩陣（InternalMatrixandNonnegativeMatrix）定義2.10區(qū)間矩陣，設(shè)，若有，，那么稱是區(qū)間矩陣，稱為區(qū)間端點矩陣，記為：。定義2.11區(qū)間矩陣是漸近穩(wěn)定的，如果在區(qū)間內(nèi)，A的所有特征值都具有負(fù)實部。定義2.12非負(fù)矩陣：設(shè)，如果，都有，稱為非負(fù)矩陣。記為。定義2.13模矩陣：若，那么稱為A的模矩陣。定義2.14順列矩陣：每行只有一個“1”，其他元素為0的正交矩陣被稱為順列矩陣。定義2.15若存在順列矩陣使得，則稱為可約化的矩陣，若不存在這樣的，則稱是不可約化的。定義2.16-矩陣：設(shè)，如果可以分解為，其中（在非負(fù)意義上），且則稱為-矩陣，-矩陣有50多種定義，這里只給出其中的一種。定理2.1（Perron定理）對不可約化的非負(fù)矩陣，必存在一個最大特征值和相應(yīng)的特征向量，使得>0，。通常稱為的Perron特征值，稱為相應(yīng)的Perron特征向量?！?.7矩陣的奇異值、范數(shù)和譜半徑之間的關(guān)系定義2.17設(shè)，的奇異值定義為或的非零特征值的方根，記為： (2.21)或 ， (2.22)定理2.2設(shè)，那么必存在酉矩陣和使得 (2.23)其中：這里和稱為左、右奇異標(biāo)架矩陣。2.7.1范數(shù)與奇異值的關(guān)系 (2.24) (2.25) (2.26) (2.27)若存在，則 (2.28)若，都存在，則 (2.29) (2.30) (2.31)2.7.2譜半徑、范數(shù)及奇異值的關(guān)系 (2.32)若A是正規(guī)矩陣，則 (2.33)， (2.34) (2.35)§2.8Rayleigh商定義2.18設(shè)是Hermitian矩陣，，的Rayleigh商定義為： (2.36)定理2.3