江蘇省南京市鼓樓區(qū)2017-2018學(xué)年高一上期期中考試數(shù)學(xué)試題

20172018鼓樓區(qū)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷1.若集合則__________．【答案】【解析】，，故答案為.2.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．【答案】【解析】要使有意義，令，解得，即的定義域?yàn)?，故答案?3.計(jì)算：__________．【答案】【解析】由換底公式可得，故答案為．4.計(jì)算：__________．【答案】【解析】，故答案為.5.已知函數(shù)，分別由下表給出：則__________．【答案】【解析】由表格數(shù)據(jù)可得，，所以，故答案為．6.化簡(jiǎn)式子的結(jié)果是__________．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以又因?yàn)榻Y(jié)果一定非負(fù)，所以，故答案為．7.函數(shù)的值域是__________．【答案】【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)單調(diào)遞減，所以值域?yàn)?，即函?shù)的值域是，故答案為．8.已知，則冪函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過(guò)第__________象限．【答案】二、四【解析】當(dāng)或時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一象限，冪函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過(guò)第二、四象限，故答案為二、四．9.設(shè)實(shí)數(shù)，，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)_________，（按由小到大的順序排列）．【答案】【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，故答案為．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于難題.解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問(wèn)題也可以?xún)煞N方法綜合應(yīng)用.10.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)殚_(kāi)口向下的二次函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸右邊區(qū)間上單調(diào)遞減，二次函數(shù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見(jiàn)方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的;②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍，本題是利用方法①求解的．11.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿(mǎn)足不等式的的取值范圍是__________．【答案】【解析】偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則滿(mǎn)足不等式的的取值范圍，也就是的的取值范圍，即，，即的取值范圍是，故答案為．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題.將奇偶性與單調(diào)性綜合考查是，一直是命題的熱點(diǎn)，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性(偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性列不等式求解.12.若，則的最大值是__________．【答案】【解析】對(duì)，等號(hào)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，即，利用換元法，令，則，代入，由二次函數(shù)的配方，，即的最大值是，故答案為．13.已知函數(shù)，則關(guān)于的下列結(jié)論：①②是奇函數(shù)③在上是單調(diào)遞增函數(shù)④對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程都有解，其中正確的有（填寫(xiě)序號(hào)即可）__________．【答案】①②④【解析】∵，，∴所以函數(shù)是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)，①②均正確；又，是上的單調(diào)遞減函數(shù)，是上的單調(diào)遞減函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，所以在上單調(diào)遞減，③不正確；因?yàn)楹瘮?shù)值域?yàn)?，所以?duì)任意實(shí)數(shù)，方程都有解，④正確，故答案為①②④．14.已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意知，，，故，①時(shí)，，故符合題意；②時(shí)，，且，∴，故，故符合題意；③時(shí)，，，且，∴，故，故不符合題意；④時(shí)，，故不符合題意．綜上所述：的取值范圍是，故答案為.............【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的解析式和函數(shù)的最值、以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.屬于難題.分類(lèi)討論思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).充分利用分類(lèi)討論思想方法能夠使問(wèn)題條理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.15.若集合，，（）求．（）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求．【答案】（）．（）或．【解析】試題分析：（1）根據(jù)一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合或，由集合交集的定義可得結(jié)果；（）要使函數(shù)有意義可得，結(jié)合（1），由補(bǔ)集的定義可得結(jié)果.試題解析：（）由題意知：或，故．（）由題意知：，由（1）知，∴或．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，求集合的交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算，屬于容易題，這類(lèi)題型盡管比較容易，但是在解題過(guò)程中也要注意三點(diǎn)：一要看清楚是求“”還是求“”；二是在求補(bǔ)集與交集時(shí)要考慮端點(diǎn)是否可以取到（這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）；三是在化簡(jiǎn)集合的過(guò)程中要結(jié)合不等式的性質(zhì)與解法.16.已知是偶函數(shù)，且時(shí)，．（）求的解析式．（）若在區(qū)間上的最小值是，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（）．（）．【解析】試題分析：（）當(dāng)時(shí)，，于是，又由于是偶函數(shù)，∴，可得當(dāng)時(shí)，，從而可得結(jié)果；（）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸兩邊的單調(diào)性，分兩種情況討論的范圍，利用單調(diào)性列方程可得實(shí)數(shù)的值.試題解析：（）當(dāng)時(shí)，，∴，又由于是偶函數(shù)，∴，故：當(dāng)時(shí)，，故：．（）由題意知：當(dāng)時(shí)，，∴若，，不符合題意，故：．又在內(nèi)單調(diào)遞減，故：，解得：，（舍）．綜上所述：．17.已知函數(shù)．（）求證：是奇函數(shù)．（）已知，且，試求的值．【答案】（）用定義證明．（）．【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，可得定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再由，可得是奇函數(shù)；（）設(shè)，先證明為奇函數(shù)，則，即，可得.試題解析：（）由題意知：，解得的定義域?yàn)椋?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．，故：是奇函數(shù)．（）設(shè)由（）知，為奇函數(shù)，∴，即，解得：．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.判斷函數(shù)的奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果不對(duì)稱(chēng)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，如果對(duì)稱(chēng)常見(jiàn)方法有：（1）直接法，(正為偶函數(shù)，負(fù)為減函數(shù))；（2）和差法，（和為零奇函數(shù)，差為零偶函數(shù)）；（3）作商法，（為偶函數(shù)，為奇函數(shù)）.18.某企業(yè)為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了一個(gè)把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本（單位：元）與月處理量（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化碳所得的這種化工產(chǎn)品可獲利元，如果該項(xiàng)目不獲利，那么虧損數(shù)額將由國(guó)家給予補(bǔ)償．（）求時(shí)，該項(xiàng)目的月處理成本．（）當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果虧損，那么國(guó)家每月補(bǔ)償數(shù)額（單位：元）的范圍是多少？【答案】（）元．（）不能；．【解析】試題分析：（1）將代入項(xiàng)目月處理成本（單位：元）與月處理量（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，即可求得結(jié)論；（2）確定當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)目獲利函數(shù)為利潤(rùn)，再利用配方法，即可求得結(jié)論.試題解析：（）當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，該項(xiàng)目的月處理成本為元．（）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得：，為單調(diào)遞增函數(shù)，故此時(shí)，∴該項(xiàng)目不能獲利；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故補(bǔ)償金額的范圍是．19.（）求函數(shù)的零點(diǎn)．（）試確定關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)．（）如果（）的解記為，且，，那么的值是多少？【答案】（），．（）．（）．【解析】試題分析：（1）方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，解方程即可的結(jié)果；（）設(shè)，，求方程的解，可以等價(jià)求、的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想可得結(jié)果；（）設(shè)，可得，，，根據(jù)零點(diǎn)定理可得結(jié)果.試題解析：（）令，解得：，．（）設(shè)，，求方程的解，可以等價(jià)求、的交點(diǎn)，由函數(shù)圖象易知，、有一個(gè)交點(diǎn)，故有解．（）設(shè)，∵，，∴由零點(diǎn)定理知，在必有零點(diǎn)，故．20.已知函數(shù)（其中，為常量，且，的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（）求，的值．（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像恒在函數(shù)圖像的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（）定義在上的一個(gè)函數(shù)，如果存在一個(gè)常數(shù)，使得式子對(duì)一切大于的自然數(shù)都成立，則稱(chēng)函數(shù)為“上的函數(shù)”（其中，．試判斷函數(shù)是否為“上的函數(shù)”．若是，則求出的最小值；若不是，則請(qǐng)說(shuō)明理由．（注：）．【答案】(1);(2);(3)詳見(jiàn)解析．【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)，，代入，列方程組求解即可得結(jié)果；（）結(jié)合（1）可得函數(shù)的圖像恒在函數(shù)