高考真題與模擬訓練專題練習專題03指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)(原卷版+解析)

專題3指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)第一部分真題分類一、單選題1．（2021·全國高考真題（文））青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.62．（2021·全國高考真題（理））設，，．則（）A． B． C． D．3．（2021·全國高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．4．（2020·海南高考真題）已知函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2020·全國高考真題（理））已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b6．（2020·全國高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．697．（2020·全國高考真題（理））若，則（）A． B． C． D．8．（2020·全國高考真題（理））設函數(shù)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在單調遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調遞減C．是偶函數(shù)，且在單調遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調遞減9．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10．已知，則（）A． B． C． D．11．設，，則（）A． B．C． D．二、填空題12．已知常數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．若，則______．13．已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則____．第二部分模擬訓練一、單選題1．設，是的前項和.若是遞增數(shù)列，且對任意，存在，使得.則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若實數(shù)，滿足，，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若，則（）A． B． C． D．4．函數(shù)（且）與函數(shù)的圖像關于直線對稱，則函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標系內的圖像可能是（）A． B． C．D．5．設函數(shù)，若互不相等的實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，設方程的四個不等實根從小到大依次為，，，，則下列判斷中錯誤的是（）A． B．C． D．二、填空題7．已知函數(shù)，是函數(shù)的反函數(shù)，若的圖象過點，則的值為.8．已知函數(shù)則___________．9．若函數(shù)，滿足：，均有，成立，則稱“與關于分離”.已知函數(shù)與（，且）關于分離，則a的取值范圍是________.10．已知n∈N*,，，，其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)．數(shù)列的前n項和為，若對任意的n∈N*恒成立，則實數(shù)的最大值是______．三、解答題11．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若為R上的偶函數(shù)，且關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.12．已知，其中是常數(shù).(1)若是奇函數(shù)，求的值；(2)求證：的圖像上不存在兩點，使得直線平行于軸.13．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記，是數(shù)列的前項和，若，求的最小值.14．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的反函數(shù)；(2)試問:函數(shù)的圖象上是否存在關于坐標原點對稱的點，若存在，求出這些點的坐標；若不存在，說明理由；(3)若方程的三個實數(shù)根滿足:，且，求實數(shù)的值．專題3指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)第一部分真題分類一、單選題1．（2021·全國高考真題（文））青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】由，當時，，則.故選：C.2．（2021·全國高考真題（理））設，，．則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,所以;下面比較與的大小關系.記,則,，由于所以當0<x<2時，,即,,所以在上單調遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時,,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.3．（2021·全國高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意．故選：C．4．（2020·海南高考真題）已知函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得或所以的定義域為因為在上單調遞增所以在上單調遞增所以故選：D5．（2020·全國高考真題（理））已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解析】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.6．（2020·全國高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，則，所以，，解得.故選：C.7．（2020·全國高考真題（理））若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.8．（2020·全國高考真題（理））設函數(shù)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在單調遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調遞減C．是偶函數(shù)，且在單調遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調遞減【答案】D【解析】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，排除B；當時，，在上單調遞減，在定義域內單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調性可知：在上單調遞減，D正確.故選：D.9．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【解析】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.10．已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】則．故選B．11．設，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】.,即又即故選B.二、填空題12．已知常數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．若，則______．【答案】6【解析】函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過點P（p，），Q（q，）．則：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案為613．已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則____．【答案】-1【解析】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，冪函數(shù)f（x）=xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減，∴a是奇數(shù)，且a＜0，∴a=﹣1．故答案為﹣1．第二部分模擬訓練一、單選題1．設，是的前項和.若是遞增數(shù)列，且對任意，存在，使得.則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，因為是遞增數(shù)列，所以．因為，所以對任意，存在，使得，即：對任意，存在，使得，①當時，由題意可知：對任意，存在，成立，則成立，而，，解不等式無解．②當時，由題意可知：對任意，存在，成立，則成立，而，，恒成立.故選：D．2．若實數(shù)，滿足，，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵實數(shù)，滿足，，，，．∴，，的大小關系為．故選B．3．已知函數(shù)，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題得所以故答案為D4．函數(shù)（且）與函數(shù)的圖像關于直線對稱，則函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標系內的圖像可能是（）A． B． C．D．【答案】A【解析】因為函數(shù)（且）與函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以，在選項A中，對數(shù)函數(shù)的圖像單調遞增，所以a>1,所以a-1>0,所以二次函數(shù)的拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為所以選項A是正確的，故選A..5．設函數(shù)，若互不相等的實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖所示．不妨令，則，則．結合圖象可得，故．∴．故選：B．6．已知函數(shù)，設方程的四個不等實根從小到大依次為，，，，則下列判斷中錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知函數(shù)的圖象關于直線對稱，故，，故正確；又，故正確；又，故正確；故選：C.二、填空題7．已知函數(shù)，是函數(shù)的反函數(shù)，若的圖象過點，則的值為.【答案】48．已知函數(shù)則___________．【答案】1【解析】由題意，，∴．故答案為：1．9．若函數(shù)，滿足：，均有，成立，則稱“與關于分離”.已知函數(shù)與（，且）關于分離，則a的取值范圍是________.【答案】【解析】函數(shù)與的圖象關于對稱當與相切于上一點時，，即，由可得，代入（1）得所以，兩邊同時取對數(shù)得，即所以，解得此時，即又因為越大，的圖象越靠近軸，的圖象越靠近軸所以當函數(shù)與關于分離時，故答案為：10．已知n∈N*,，，，其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)．數(shù)列的前n項和為，若對任意的n∈N*恒成立，則實數(shù)的最大值是______．【答案】【解析】設，即∴∴即，由與圖象可知：在第一象限n取正整數(shù)時，僅有n=3時，即∴，即實數(shù)的最大值是故答案為三、解答題11．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若為R上的偶函數(shù)，且關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】（1），偶函數(shù)；，奇函數(shù)；，非奇非偶函數(shù)，理由見解析；（2）.【解析】（1）f（﹣x）＝2﹣x+m?2x，若f（x）是偶函數(shù)，則f（﹣x）＝f（x），即2﹣x+m?2x＝2x+m?2﹣x，所以（m﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0對任意實數(shù)x成立，所以m＝1；若f（x）是奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+m?2x＝﹣2x﹣m?2﹣x，所以（m+1）（2x+2﹣x）＝0對任意實數(shù)x成立，所以m＝﹣1．綜上，當m＝1時，f（x）是偶函數(shù)；當m＝﹣1時，f（x）是奇函數(shù)；當m≠±1時，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）f（x）0，3k2+1＞0，且2k?f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，故原不等式等價于在（﹣∞，0）上恒成立，又x∈（﹣∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），所以，從而，即有3k2﹣4k+1≤0，因此，．12．已知，其中是常數(shù).(1)若是奇函數(shù)，求的值；(2)求證：的圖像上不存在兩點，使得直線平行于軸.【答案】(1).(2)見解析.【解析】(1)設定義域為，因為是奇函數(shù)，所以對任意,有，整理得，故.此時，，為奇函數(shù).(2)若，則，若，則，若，則，設定義域內任意，設，..當時，總有，，得；當時，，得；當時，，，，，得，故總有在定義域上單調遞增，所以總有在定義域上單調遞增.的圖像上不存在兩點,使得所連的直線與軸平行.13．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記，是數(shù)列的前項和，若，求的最小值.【答案】（I）.（II）的最小值為100.【解析】（I）∵，，成等差數(shù)列，∴，又數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，∴，解得，∴．（II）由（Ⅰ）得，∴．由，得，∴，又，∴的最小值為100.14．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的反函數(shù)；(2)試問:函數(shù)的圖象上是否存在關于坐標原點對稱的點，若存在，求出這些點的坐標；若不存在，說明理由；(3)若方程的三個實數(shù)根滿足:，且，求實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）存在點關于原點對稱；（3）.【解析】(1)當時，.由，得，互換，可得.當時，.由，得，互換，可得.