長春市第十一中學2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

長春市第十一中學2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.-4 B.4C.-2 D.22．饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為一個單位長度，有一點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點經(jīng)過3次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（）A. B.C. D.3．命題：，否定是（）A.， B.，C.， D.，4．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知點B是A（3，4，5）在坐標平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A. B.C.5 D.56．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.7．已知函數(shù)的導數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.48．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是古老的傳統(tǒng)民間藝術之一.如圖是一個窗花的圖案，以正六邊形各頂點為圓心、邊長為半徑作圓，陰影部分為其公共部分.現(xiàn)從該正六邊形中任取一點，則此點取自于陰影部分的概率為（）A. B.C. D.9．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關.黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）A.必要條件 B.充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要10．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.511．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.1212．若函數(shù)，則單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線被圓所截得的弦中，最短弦所在直線的一般方程是__________14．，利用課本中推導等差數(shù)列前項和的公式的方法，可求得______15．如圖，將一個正方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的體對角線長為___________.16．已知點是橢圓上任意一點，則點到直線距離的最小值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的焦距為4，且過點.（1）求橢圓C的方程；（2）設橢圓C的上頂點為B，右焦點為F，直線l與橢圓交于M，N兩點，問是否存在直線l，使得F為的垂心（高的交點），若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由.18．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標原點）（1）求拋物線的標準方程；（2）點、是拋物線上異于原點的兩點，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過定點19．（12分）已知圓C：（1）若點，求過點的圓的切線方程；（2）若點為圓的弦的中點，求直線的方程20．（12分）已知點P到點的距離比它到直線的距離小1.（1）求點P的軌跡方程；（2）點M，N在點P的軌跡上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標原點），求面積的最小值.21．（12分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數(shù)的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當面積最大時，求實數(shù)的值22．（10分）已知項數(shù)為的數(shù)列是各項均為非負實數(shù)的遞增數(shù)列.若對任意的，（），與至少有一個是數(shù)列中的項，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）設數(shù)列具有性質(zhì)，求證：；（3）若數(shù)列具有性質(zhì)，且不是等差數(shù)列，求項數(shù)的所有可能取值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的通項公式求解.【詳解】因為，所以，則，解得，所以.故選：B2、B【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，跳3次，則樣本空間{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，記“3次跳動后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達點B”為事件，則{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知故選：B3、D【解析】根據(jù)給定條件利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫出作答.【詳解】命題：，是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題：，的否定是：，.故選：D4、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充分條件；等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的必要條件.所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充要條件.故選：C5、C【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||【詳解】解：∵點B是點A（3，4，5）在坐標平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5故選：C6、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).7、A【解析】先對函數(shù)求導，然后代值計算即可【詳解】因為，所以.故選：A8、D【解析】求得陰影部分的面積，結(jié)合幾何概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】設正六邊形的邊長為，則其面積為.陰影部分面積為，故所求概率為.故選：D9、B【解析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場；即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選：B10、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到，可以簡化運算.11、D【解析】設，，，由向量關系化為坐標關系，再結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可計算【詳解】由得焦點，準線方程為，設，，由得則，化簡得所以故選：D12、C【解析】求出導函數(shù)，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，所以，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出直線所過的定點，當該定點為弦的中點時弦長最短，利用點斜式求出直線方程，整理成一般式即可.【詳解】即，令，解得即直線過定點圓的圓心為，半徑為，最短弦所在直線的方程為整理得最短弦所在直線的一般方程是故答案為：.14、2020【解析】先證得，利用倒序相加法求得表達式值.【詳解】解：由題意可知，令S=則S=兩式相加得，故填：【點睛】本題考查借助倒序相加求函數(shù)值的和，屬于中檔題，解題關鍵是找到的規(guī)律15、.【解析】先根據(jù)棱錐的體積求出正方體的棱長，進而求出正方體的體對角線長.【詳解】如圖，連接，設正方體棱長為，則.所以，體對角線.故答案為：.16、【解析】求橢圓上平行于的直線方程，利用平行線的距離公式求橢圓上點到直線的最小值.【詳解】設與橢圓相切，且平行于的直線為，聯(lián)立橢圓整理可得：，則，∴，又兩平行線的距離，∴到直線距離的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在：【解析】（1）根據(jù)題意，列出關于a，b，c的關系，計算求值，即可得答案.（2）由（1）可得B、F點坐標，可得直線BF的斜率，根據(jù)F為垂心，可得，可得直線l的斜率，設出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，結(jié)合垂心的性質(zhì)，列式求解，即可得答案.【小問1詳解】因為焦距為4，所以，即，又過點，所以，又，聯(lián)立求得，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】由（1）可得，所以，因為F為垂心，直線BF與直線l垂直，所以，則，即直線l的斜率為1，設直線l的方程為，，與橢圓聯(lián)立得，，所以，因為F為垂心，所以直線BN與直線MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又時，直線l過點B，不符合題意，所以，所以存在直線l：，滿足題意.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由點在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關于的等式，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）設點、，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：拋物線的焦點為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設點、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，可得，此時，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過定點.19、（1）或（2）【解析】（1）求出圓的圓心與半徑，分過點的直線的斜率不存和存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑，即可求出切線方程；（2）根據(jù)圓心與弦中點的連線垂直線，可求出直線的斜率，進而求出結(jié)果.【小問1詳解】解：由題意知圓心的坐標為，半徑，當過點的直線的斜率不存在時，方程為由圓心到直線的距離知，此時，直線與圓相切當過點的直線的斜率存在時，設方程為，即．由題意知，解得，∴方程為故過點的圓的切線方程為或【小問2詳解】解：∵圓心，，即，又，∴，則.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得點P到點的距離等于它到直線的距離，再由拋物線定義即可得解.(2)由(1)設出點M，N的坐標，再結(jié)合給定條件及三角形面積定理列式，借助均值不等式計算作答.【小問1詳解】因點P到點的距離比它到直線的距離小1，顯然點P與F在直線l同側(cè)，于是得點P到點的距離等于它到直線的距離，則點P的軌跡是以F為焦點，直線為準線的拋物線，所以點P的軌跡方程是.【小問2詳解】由(1)設點，，且，因，則，解得，S，當且僅當，即時取“=”，所以面積的最小值為.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數(shù)關系求解作答.21、（1）；當時，切線方程為；當時，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據(jù)題意可知P在圓上，據(jù)此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當面積最大時，．即，據(jù)此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數(shù)值.【小問1詳解】由題意得點在上，∴，，①當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當面積最大時，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當且僅當，即時取等號(下同)22、（1）數(shù)列，，，不具有性質(zhì)；（2）證明見解析；（3）可能取值只有.【解析】（1）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義，只需判斷存在與都不是數(shù)列中的項即可.（2）由性質(zhì)知：、，結(jié)合非負遞增性有，再由時，必有，進而可得，，，，，應用累加法即可證結(jié)論.（3）討論、、，結(jié)合性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)判斷是否存在符合題設性質(zhì)，進而確定的可能取值.【小問1詳解】數(shù)列，，，不具有性質(zhì).因為，，和均不是數(shù)列，，，中的項，所以數(shù)列，，，不具有性質(zhì).【小問2詳解】記數(shù)列的各項組成的集合為，又，由數(shù)列具有性質(zhì)