福建省福州第八中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

福建省福州第八中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)圖象都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.2．點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.13．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，4．某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；時(shí)，空氣質(zhì)量為良；時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為（）A. B.C. D.5．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A. B.C. D.6．已知圓柱的表面積為定值，當(dāng)圓柱的容積最大時(shí)，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.27．若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)（其中的自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.8．點(diǎn)A是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.9．已知，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足，那么點(diǎn)P到x軸的距離為（）A. B.C. D.10．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程的斜率是（）A. B.C. D.11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，、不在軸上，那么△的周長（）A.是定值B.是定值C.不是定值，與直線的傾斜角大小有關(guān)D.不是定值，與取值大小有關(guān)12．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足0，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為____，則數(shù)列的前項(xiàng)和______14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______.15．若圓柱的高、底面半徑均為1，則其表面積為___________16．有一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為3，方差為2，則新的數(shù)據(jù)的方差為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）已知：函數(shù)有零點(diǎn)；：所有的非負(fù)整數(shù)都是自然數(shù).若為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知：；：.若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）某校高二年級(jí)共有男生490人和女生510人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校高二年級(jí)中抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的身高數(shù)據(jù)（1）男生和女生應(yīng)各抽取多少人？（2）若樣本中男生和女生的平均身高分別為173.6、162.2厘米，請(qǐng)估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生的平均身高20．（12分）已知數(shù)列通項(xiàng)公式為：，其中．記為數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求，；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求的前項(xiàng)和21．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，若直線上存在另一點(diǎn)，使.求證：三點(diǎn)共線.22．（10分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的概念可判斷函數(shù)的對(duì)稱中心，進(jìn)而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，故選：B.2、C【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.3、C【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，是特稱命題，所以其否定是全稱命題，即為，故選：C4、A【解析】根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空氣質(zhì)量為良的概率為，所以該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.5、C【解析】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系6、B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，則可得，則圓柱的體積為，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，確定值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，即故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計(jì)算，考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).7、A【解析】設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則到直線的距離最小值為點(diǎn)到直線的距離，再求解即可.【詳解】解：設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A8、A【解析】動(dòng)點(diǎn)在曲線，則找出曲線上某點(diǎn)的斜率與直線的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋簩?duì)求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：解得：故選：A9、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)焦距為，，點(diǎn)P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點(diǎn)P到x軸的距離，則，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.10、D【解析】求解導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線的斜率.【詳解】求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以函數(shù)在處切線的斜率為.故選：D11、B【解析】由直線過且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且，為橢圓兩焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義即可得△的周長為，則答案可求【詳解】橢圓，橢圓的長軸長為，∴△的周長為故選：B12、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個(gè)根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項(xiàng)公式.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，因?yàn)椋钥梢钥闯梢辉畏匠痰膬蓚€(gè)根，因?yàn)椋?，所以，解得，所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】第一空：先構(gòu)造等比數(shù)列求出，即可求出的通項(xiàng)公式；第二空：先求出，令，通過錯(cuò)位相減求出的前項(xiàng)和為，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及分組求和即可求解.【詳解】第一空：由可得，又，則是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，則；第二空：，設(shè)，前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得，則，又，則.故答案為：；.14、【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，由此計(jì)算出幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖所示三棱錐，所以該幾何體的體積為.故答案為：15、【解析】根據(jù)圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得到圓柱的高，底面半徑，則表面積.故答案為：16、2【解析】由已知得，，然后計(jì)算的平均數(shù)和方差可得答案.【詳解】由已知得，，所以，.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)易知為真命題，根據(jù)且命題的真假可知為假命題，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的根之間的關(guān)系得出，解不等式即可；(2)根據(jù)一元二次不等式的解法可得和，結(jié)合必要不充分條件的概念可得，利用集合與集合之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：（1）對(duì)于：所有的非負(fù)整數(shù)都是自然數(shù)，顯然正確.因?yàn)闉榧伲詾榧?所以“函數(shù)沒有零點(diǎn)”為真，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）對(duì)于：，解得或.對(duì)于，不等式的解集為，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以所以或，所以或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）由結(jié)合錯(cuò)位相減法得出前項(xiàng)和.【小問1詳解】在兩邊同時(shí)除以，得：，，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得：，，①②①②得：所以.19、（1）應(yīng)抽取男生49人，女生51人；（2）.【解析】（1）利用分層抽樣計(jì)算男生和女生應(yīng)抽取的人數(shù)；（2）利用平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算求解.【小問1詳解】解：應(yīng)抽取男生人，女生應(yīng)抽取100-49=51人.【小問2詳解】解：估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生的平均身高為.20、（1）；；（2）.【解析】（1）驗(yàn)證可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，；（2）由（1）可求得，利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；，；【小問2詳解】由（1）得：，，，，兩式作差得：.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)給定條件利用橢圓的定義求出軸長即可計(jì)算作答.(2)根據(jù)給定條件設(shè)出的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，求出直線PA的方程并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用斜率推理作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓定義得：即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由(1)知，，直線不垂直y軸，設(shè)直線方程為，，由消去x得：，則，，直線的斜率，直線的方程：，而直線，即，直線的斜率