2024-2025高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3.2-3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE9-2.3.2平面對量的正交分解及坐標(biāo)表示2．3.3平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算考試標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)要點學(xué)考要求高考要求正交分解的概念aa向量的坐標(biāo)表示bb平面對量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示bb平面對量共線的坐標(biāo)表示bb學(xué)問導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.學(xué)習(xí)了本節(jié)后，可以知道向量有三種表示方法：幾何表示法、字母表示法、坐標(biāo)表示法．2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算是一種代數(shù)運(yùn)算，其加、減及數(shù)乘的實質(zhì)是同名坐標(biāo)之間的運(yùn)算.1.平面對量的正交分解把一個向量分解成兩個相互垂直的向量，叫作把向量正交分解．2．平面對量的坐標(biāo)表示(1)向量的直角坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面對量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則把有序數(shù)對a＝(x，y)叫作向量a的坐標(biāo)．(2)向量的坐標(biāo)表示在向量a的直角坐標(biāo)中，x叫作a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，(x，y)叫作向量的坐標(biāo)表示．(3)在向量的直角坐標(biāo)中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．eq\x(狀元隨筆)1.對平面對量坐標(biāo)的幾點相識(1)設(shè)eq\o(OA,\s\up10(→))＝xeq\o(i,\s\up10(→))＋yeq\o(j,\s\up10(→))(O為坐標(biāo)原點)，則向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐標(biāo)(x，y)就是終點A的坐標(biāo)；反過來，終點A的坐標(biāo)就是向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐標(biāo)(x，y)．因此，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面對量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對唯一表示，即以原點為起點的向量與實數(shù)對是一一對應(yīng)的．(2)兩向量相等的等價條件是它們對應(yīng)的坐標(biāo)相等．(3)要把點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開來，相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但起點和終點的坐標(biāo)卻可以不同．2．符號(x，y)的意義符號(x，y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(x，y)或向量(x，y)．3．平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實數(shù)λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點，則eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．即一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)．[小試身手]1．推斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標(biāo)肯定不同．()(2)當(dāng)向量的終點在坐標(biāo)原點時，向量的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo)．()(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的依次無關(guān)．()(4)點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，則下列結(jié)論正確的是()A．向量a的終點坐標(biāo)為(－2,3)B．向量a的起點坐標(biāo)為(－2,3)C．向量a與b互為相反向量D．向量a與b關(guān)于原點對稱解析：因為a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，所以a＋b＝(－2,3)＋(2，－3)＝(0,0)＝0.所以a＝－b.答案：C3．已知M(2,3)，N(3,1)，則eq\o(NM,\s\up10(→))的坐標(biāo)是()A．(2，－1)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(1，－2)解析：eq\o(NM,\s\up10(→))＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．答案：B4．若向量eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2,3)，eq\o(CA,\s\up10(→))＝(4,7)，則eq\o(BC,\s\up10(→))＝________.解析：eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→))＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．答案：(－2，－4)類型一求向量的坐標(biāo)例1在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b的方向如圖所示，且|a|＝2，|b|＝3，分別求出它們的坐標(biāo)．【解析】設(shè)點A(x，y)，B(x0，y0)，∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，∴x＝2cos45°＝eq\r(2)，且y＝2sin45°＝eq\r(2).又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，∴x0＝3cos120°＝－eq\f(3,2)，y0＝3sin120°＝eq\f(3\r(3),2).故a＝eq\o(OA,\s\up10(→))＝(eq\r(2)，eq\r(2))，b＝eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).由于向量eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(b,\s\up10(→))的起點在坐標(biāo)原點，因此只需求出終點A，B的坐標(biāo)．方法歸納求點和向量坐標(biāo)的常用方法(1)求一個點的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標(biāo)原點的位置的坐標(biāo)．(2)求一個向量時，可以首先求出這個向量的始點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，再運(yùn)用終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方形ABCD中，O為中心，且eq\o(OA,\s\up10(→))＝(－1，－1)，則eq\o(OB,\s\up10(→))＝________；eq\o(OC,\s\up10(→))＝________；eq\o(OD,\s\up10(→))＝________.解析：由題意知，eq\o(OC,\s\up10(→))＝－eq\o(OA,\s\up10(→))＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的對稱性可知，B(1，－1)，所以eq\o(OB,\s\up10(→))＝(1，－1)，同理eq\o(OD,\s\up10(→))＝(－1,1)．答案：(1，－1)(1,1)(－1,1)結(jié)合圖形可知eq\o(OC,\s\up10(→))＝－eq\o(OA,\s\up10(→))，由正方形的對稱性可知B，D點坐標(biāo).類型二平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up10(→))＝()A.(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a,2a＋3【解析】(1)方法一設(shè)C(x，y)，則eq\o(AC,\s\up10(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))從而eq\o(BC,\s\up10(→))＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A.方法二eq\o(AB,\s\up10(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故選A.(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a2a＋3b【答案】(1)A(2)見解析方法一先求C點坐標(biāo)，再求eq\o(BC,\s\up10(→)).方法二先求eq\o(AB,\s\up10(→))，再求eq\o(BC,\s\up10(→)).方法歸納平面對量坐標(biāo)(線性)運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo)，則干脆應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行．(2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則必需先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知A、B、C的坐標(biāo)分別為(2，－4)、(0,6)、(－8,10)，則eq\o(AB,\s\up10(→))＋2eq\o(BC,\s\up10(→))＝____________，eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))＝____________；(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用a和b表示c，則c＝____________.解析：(1)∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－2,10)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝(－8,4)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－10,14)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＋2eq\o(BC,\s\up10(→))＝(－18,18)，eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－3，－3)．(2)設(shè)c＝xa＋yb，則(x,2x)＋(－2y,3y)＝(x－2y,2x＋3y)＝(4,1)．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝4，,2x＋3y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))所以c＝2a－b.答案：(1)(－18,18)(－3，－3)(2)2a－(1)先求eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(AC,\s\up10(→))坐標(biāo)，再計算eq\o(AB,\s\up10(→))＋2eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))的值．(2)設(shè)eq\o(c,\s\up10(→))＝xeq\o(a,\s\up10(→))＋yeq\o(b,\s\up10(→))，建立方程組，求出x，y.類型三向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例3已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及eq\o(OP,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋teq\o(AB,\s\up10(→)).(1)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在其次象限？(2)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．【解析】(1)eq\o(OP,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋teq\o(AB,\s\up10(→))＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．若點P在x軸上，則2＋3t＝0，所以t＝－eq\f(2,3).若點P在y軸上，則1＋3t＝0，所以t＝－eq\f(1,3).若點P在其次象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0，))所以－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)eq\o(OA,\s\up10(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up10(→))＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))該方程組無解．故四邊形OABP不能為平行四邊形．(1)eq\o(OP,\s\up10(→))＝(1＋3t,2＋3t)，利用點在坐標(biāo)軸及象限的特征求解．(2)若四邊形OABP為平行四邊形，則有eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→)).方法歸納向量中含參數(shù)問題的求解策略(1)向量的坐標(biāo)含有兩個量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，假如縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)是一個變量，則表示向量的點的坐標(biāo)的位置會隨之變更．(2)解答這類由參數(shù)確定點的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿意條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個方程(組)，就能達(dá)到解題的目的．跟蹤訓(xùn)練3若保持本例條件不變，B為線段AP的中點，則t＝______.解析：由eq\o(OP,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋teq\o(AB,\s\up10(→))，得eq\o(AP,\s\up10(→))＝teq\o(AB,\s\up10(→)).所以當(dāng)t＝2時，eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(AB,\s\up10(→))，B為線段AP的中點．答案：2由B是AP的中點，得eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(AB,\s\up10(→))，求出t的值．[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量，O為坐標(biāo)原點，若eq\o(OA,\s\up10(→))＝4i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝3i＋4j，則2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))的坐標(biāo)是()A．(1，－2)B．(7,6)C．(5,0)D．(11,8)解析：因為eq\o(OA,\s\up10(→))＝(4,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(3,4)，所以2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．答案：D2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐標(biāo)是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4,2)D．(4，－2)解析：3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．答案：D3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則bA．(1，－2)B．(1,2)C．(5,6)D．(2,0)解析：b＝(3,2)－2a答案：A4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論：①存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點是原點O；④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：由平面對量基本定理知①正確；若a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關(guān)，故③錯誤；當(dāng)a的終點坐標(biāo)是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故④錯誤．答案：A5．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up10(→))＝2eq\o(AD,\s\up10(→))，則頂點D的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2)D．(1,3)解析：設(shè)點D(m，n)，則由題意知，(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝4，,2n－4＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝\f(7,2)，))即點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))，故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知i、j是兩個相互垂直的單位向量，若a＝i－2j，則向量用坐標(biāo)表示a＝________.解析：由于i，j是兩個相互垂直的單位向量，所以a＝(1，－2)．答案：(1，－2)7．如右圖所示，已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，則向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)點A(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up10(→))＝(2eq\r(3)，6)．答案：(2eq\r(3)，6)8．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)與eq\o(AB,\s\up10(→))相等，其中A(1,2)，B(3,2)，則x＝________.解析：易得eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)與eq\o(AB,\s\up10(→))相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))解得x＝－1.答案：－1三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖，取與x軸、y軸同向的兩個單位向量i，j作為基底，分別用i，j表示eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，并求出它們的坐標(biāo)．解析：由圖形可知，eq\o(OA,\s\up10(→))＝6i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝2i＋4j，eq\o(AB,\s\up10(→))＝－4i＋2j，它們的坐標(biāo)表示為eq\o(OA,\s\up10(→))＝(6,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(2,4)，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－4,2)．10．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.(1)求p的坐標(biāo)；(2)若以a，b為基底，求p的表達(dá)式．解析：(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)設(shè)p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－μ＝－6，,－4λ＋3μ＝－3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(21,2)，,μ＝－15，))所以p＝－eq\f(21,2)a－15b.[實力提升](20分鐘，40分)11．已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的點P滿意eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))，則實數(shù)λ的取值范圍是()A．(－∞，－1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,7)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,5)))解析：方法一設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x－2，y－3)，又eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，于是由eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))可得，(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5λ＋5，,y＝7λ＋4.))因為點P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5λ＋5＜0，,7λ＋4＜0，))解得λ＜－1.故所求實數(shù)λ的取值范圍是(－∞，－1)．方法二eq\o(OP,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，所以P(5＋5λ，4＋7λ)，因為點P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋5λ＜0，,4＋7λ＜0，))所以λ＜－1.答案：A12．在平面直角坐標(biāo)系中，點A(2,3)，B(－3,4)，如圖所示，x軸、y軸正方向上的兩個單位向量分別為i和j，則下列說法正確的是________．(只填序號)①eq\o(OA,\s\up10(→))＝2i＋3j；②eq\o(OB,\s\up10(→))＝3i＋4j；③eq\o(AB,\s\up10(→))＝－5i＋j；④eq\o(BA,\s\up10(→))＝5i－j.解析：i，j相互垂直，故可作為基底，由平面對量基本定理，有eq\o(OA,\s\up10(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝－3i＋4j，eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝－5i＋j，eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝5i－j，故①③④正確．答案：①③④13．已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，(1)