2022-2024北京重點校高一（上）期末匯編：數(shù)列章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2022-2024北京重點校高一（上）期末匯編數(shù)列章節(jié)綜合一、單選題1．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）已知無窮等差數(shù)列的公差為，則“”是“存在無限項滿足”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）若數(shù)列滿足（），且，，則當?shù)那皀項和取到最大值，n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）在等比數(shù)列中，，公比，記其前項的和為，則對于，使得都成立的最小整數(shù)等于（

）A．6 B．3 C．4 D．24．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）我們都聽說過一個著名的關(guān)于指數(shù)增長的故事：古希臘著名的數(shù)學(xué)家、思想家阿基米德與國王下棋.國王輸了，問阿基米德要什么獎賞？阿基米德說：“我只要在棋盤上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八?！创朔椒ǚ诺竭@棋盤的第64個格子就行了.”通過計算，國王要給阿基米德粒米，這是一個天文數(shù)字.年后，又一個數(shù)學(xué)家小明與當時的國王下棋，也提出了與阿基米德一樣的要求，由于當時的國王已經(jīng)聽說過阿基米德的故事，所以沒有同意小明的請求.這時候，小明做出了部分妥協(xié)，他提出每一個格子放的米的個數(shù)按照如下方法計算，首先按照阿基米德的方法，先把米的個數(shù)變?yōu)榍耙粋€格子的兩倍，但從第三個格子起，每次都歸還給國王一粒米，并由此計算出每個格子實際放置的米的個數(shù).這樣一來，第一個格子有一粒米，第二個格子有兩粒米.第三個格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于歸還給國王一粒米，就剩下三粒米；第四個格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聰明”的國王一看，每個格子上放的米的個數(shù)都比阿基米德的方案顯著減少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，請你計算個格子一共能得到（

）粒米.A． B． C． D．5．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件6．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，則使其前項和取得最大值的正整數(shù)的值為（

）A．11或12 B．6或7 C．10或11 D．5或67．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）等差數(shù)列的前項和，，則（

）A．9 B．12 C．30 D．458．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知是等差數(shù)列，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．79．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知等比數(shù)列的前項和為，若，公比，，，則（

）A． B． C． D．二、填空題10．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前5項和為．11．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且，的等差中項為，則．12．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）已知數(shù)列各項均為正整數(shù)，對任意的，和中有且僅有一個成立，且，．記．給出下列四個結(jié)論：①可能為等差數(shù)列；②中最大的項為；③不存在最大值；④的最小值為36．其中所有正確結(jié)論的序號是．13．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知數(shù)列是首項為4，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和記為，則使得能被5整除的最小正整數(shù)的值為.14．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知數(shù)列滿足，且對于，，則.15．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知數(shù)列滿足，，且對于，均有，則.16．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知數(shù)列的前項和為，則的通項公式為.17．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）在等比數(shù)列中，，，則.三、解答題18．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知首項為0的無窮等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前2n項和.19．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）已知是數(shù)列的前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.20．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知兩個均含有項的有限數(shù)列，，其中對于，且．定義數(shù)列與之間的距離：．定義數(shù)列的“和序列”，其滿足對于，，數(shù)列的項和記為：；定義數(shù)列的“和序列”，其滿足對于，，數(shù)列的項和記為：．(1)已知數(shù)列，，求和；(2)當且時，求的所有可能取值；(3)當且時，求的最大值和最小值，并分別列舉一對數(shù)列，，使取到最大值和最小值；(4)求證：對于，當且是4的倍數(shù)時，的最小值為0；(5)當，時，直接寫出一對數(shù)列，，使得．

參考答案1．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的公差為，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以存在無限項滿足成立，即充分性成立；反之：由等差數(shù)列的公差為，在數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，若存在無限項滿足成立，則數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即必要性成立，所以“”是“存在無限項滿足”充要條件.故選：C.2．A【分析】根據(jù)題意可知數(shù)列為等差數(shù)列，進而求公差和通項公式，利用的符號性判斷前n項和的最值.【詳解】因為（），可知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，解得，可得，令，解得，可知時，；時，；所以當時，的前n項和取到最大值.故選：A.3．A【分析】由題可得，即可得答案.【詳解】由題，，則.故選：A4．D【分析】按照小明的方案，設(shè)第個格子放的米粒數(shù)為，其中，分析可知數(shù)列滿足：，，，求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法可求得結(jié)果.【詳解】按照小明的方案，設(shè)第個格子放的米粒數(shù)為，其中，則數(shù)列滿足：，，，所以，當時，，故數(shù)列是從第項開始成以為公比的等比數(shù)列，且，所以，，則，所以，數(shù)列的前項和為.故選：D.5．B【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價于對任意恒成立，即對任意恒成立，因為，且可以無限接近于0，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B6．D【分析】分和兩種情況進行討論，當時利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得取得最大值時的的值【詳解】當時，由可得，且等差數(shù)列單調(diào)遞增，不存在；當時，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由可得，則，所以，則，，所以，當或時，取得最大值.故選：D7．D【分析】由等差數(shù)列的通項公式與前項和公式求得，然后再由前項和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)計算．【詳解】是等差數(shù)列，∴，，，，，．故選：D．8．B【分析】結(jié)合等差數(shù)列通項公式即可解決.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，則故選：B.9．D【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)可得，解方程即可得數(shù)列中的項，進而可得首項與公比，求得.【詳解】由等比中項的性質(zhì)得，又，解得或，當時，或（舍），當時，（舍），所以，，此時，所以，故選：D.10．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，求得，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由，可得，解得，又因為，可得，又由，解得，所以.故答案為：.11．64【分析】根據(jù)等差中項結(jié)合等比數(shù)列通項公式運算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，因為，的等差中項為，則，即，則，且，可知，解得，所以.故答案為：64.12．③④【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷①；利用已知舉例說明判斷②③；求出的最小值判斷④作答.【詳解】當時，由得，由得，于是與僅只一個為1，即，因此數(shù)列不能是等差數(shù)列，①錯誤；令，依題意，與均為整數(shù)，且有且僅有一個為1（即隔項為1），若，則，，而，，因此，當且僅當數(shù)列為時取等號，若，則，，而，，因此，當且僅當數(shù)列為時取等號，從而的最小值為36，④正確；當時，取，數(shù)列為：，滿足題意，取，，中最大的項不為，②錯誤；由于的任意性，即無最大值，因此不存在最大值，③正確，所以所有正確結(jié)論的序號是③④.故答案為：③④【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.13．4【分析】利用等差數(shù)列的定義得到，用錯位相減法可得到，即可求出答案【詳解】因為數(shù)列是首項為4，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以，所以，則有兩式相減得：，因此，所以，要使能被5整除，只需能被5整除，因為，故，所以最小正整數(shù)的值為4故答案為：414．【分析】構(gòu)造等比數(shù)列求得數(shù)列的通項公式，進而求得的值.【詳解】由，可得整理得，又，則數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列，則，則故答案為：15．【分析】利用遞推公式可得到數(shù)列的周期為8，即可求解【詳解】由，，可得，，，，，，，，所以數(shù)列的周期為8，因為，所以，故答案為：16．【分析】利用計算即可，注意求時，的值.【詳解】由已知當時，，又時，，故的通項公式為，故答案為：.17．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，繼而算出，即可得到答案【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，所以又，所以，所以，，所以故答案為：18．(1)；(2).【分析】（1）等差數(shù)列的公差為，由等比數(shù)列的性質(zhì)列式可得或，驗證可得，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2），由分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，即，解得或.若，則，則，不能是等比數(shù)列中的項，故不符合題意.所以，,可得，，符合，，成等比數(shù)列，所以.（2），所以.所以.19．(1)(2)【分析】（1）利用求得.（2）利用裂項求和法求得.【詳解】（1）當時，由，得，則.當時，有，符合上式.綜上，.（2）由（1）得，，則.20．(1)，(2)4，3，2，1(3)的最大值19，例如：，；的最小值1，例如：，（的列舉不唯一）(4)證明見解析(5)數(shù)列，（答案不唯一）【分析】（1）利用新定義直接代入計算即可；（2）當且時，中1的個數(shù)為1，其余3個為0，結(jié)合的表達式即可得出結(jié)果；（3）當且時，中1的個數(shù)為2，其余8個為0．結(jié)合分析可得出結(jié)果；（4）設(shè)，中1的個數(shù)為，其余的為0．在中，取相鄰4項作為一組，共取組（取的項不重復(fù)），即可求解；（5）當，時，中1的個數(shù)為7，其余3個為0，結(jié)合條件寫出結(jié)果即可．【詳解】（1）因為數(shù)列，所以．（2）因為，故或1，，，當且時，中1的個數(shù)為1，其余3個為0當時，，則當時，則當時，則當時，則故的所有可能取值為：4，3，2，1．（3）當且時，中1的個數(shù)為2，其余8個為0則當或時，取到最大值19，例如：，在中，取相鄰2項，令第1項的值為1，第2項的值為－1；或令第1項的值為－1，第2項的值為1，此時取到最小值1，例如：，．（4）當且