構(gòu)思想方法路徑 破高考垂直難題

摘要：立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生直觀(guān)想象和邏輯推理的重要載體，在歷年高考中呈現(xiàn)“占比大、失分高”的特點(diǎn)。課題組通過(guò)梳理學(xué)生在立體幾何中的學(xué)習(xí)障礙，并對(duì)53份歷年數(shù)學(xué)高考卷進(jìn)行分析，根據(jù)高中課程內(nèi)容構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以知識(shí)、思想體系為核心，分類(lèi)突破“空間垂直證明”的難題，從而為教師教學(xué)和學(xué)生答題提供可行性幫助。關(guān)鍵詞：垂直證明；知識(shí)體系；立體幾何；空間垂直證明《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出的六大核心素養(yǎng)中的直觀(guān)想象，指的是學(xué)生利用空間想象結(jié)合幾何圖形的直觀(guān)性來(lái)解決問(wèn)題的品格與能力［1］。雖然新版教材的教學(xué)內(nèi)容經(jīng)過(guò)了刪減，但立體幾何內(nèi)容在高中課程中仍然占有一席之地，考試大綱也要求“高中生需要具備理解空間中線(xiàn)、面的平行與垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理的能力，并能證明相關(guān)命題”。立體幾何內(nèi)容具有高度的抽象性和邏輯性，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要載體，且立體幾何內(nèi)容也非常豐富，具有極高的教育研究?jī)r(jià)值。特別是歷年高考全國(guó)卷中均對(duì)“立體幾何”進(jìn)行了考查，考查題型多以“小題（選擇、填空）+解答題”為主。然而，高中生立體幾何的學(xué)習(xí)是否存在障礙？高考中立體幾何的考查側(cè)重點(diǎn)是什么？如何突破高考幾何證明難題？基于這些問(wèn)題，本研究通過(guò)梳理高中生立體幾何學(xué)習(xí)障礙，繼而對(duì)數(shù)學(xué)高考卷中的立體幾何考題進(jìn)行分析，結(jié)合高中課程內(nèi)容提出空間垂直證明的解題思路，并以高考真題為例進(jìn)行分類(lèi)歸納和總結(jié)，讓學(xué)生達(dá)到“以一題會(huì)一類(lèi)”的目標(biāo)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)處理證明難題，以期為教師的教學(xué)提供參考和啟發(fā)。一、研究基礎(chǔ)（一）文獻(xiàn)研究以“高中立體幾何學(xué)習(xí)”為主題進(jìn)行檢索并篩選出2017—2023年的22篇碩士論文，采用文獻(xiàn)研究法進(jìn)行研究。22篇碩士論文大多采用問(wèn)卷調(diào)查、試卷測(cè)試法、訪(fǎng)談法對(duì)高中階段三個(gè)年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了現(xiàn)狀調(diào)查和分析。通過(guò)梳理上述研究我們發(fā)現(xiàn)，高中生立體幾何學(xué)習(xí)障礙大多集中在：提取障礙（知識(shí)應(yīng)用、方法選擇不合理）、認(rèn)知障礙（空間想象能力、邏輯推理能力水平低）、操作障礙（證明思路不清晰、作答不規(guī)范）［2］。因此，本研究提出構(gòu)建知識(shí)和思想體系，旨在解決立體幾何學(xué)習(xí)三大障礙。（二）高考研究高考作為我國(guó)選拔人才的重要方式之一，而數(shù)學(xué)學(xué)科更是在高考中發(fā)揮著舉足輕重的作用。因此，研究高考試題極具價(jià)值，有利于了解高考指揮棒的方向，把握高考的重難點(diǎn)，明晰考試常見(jiàn)的出題模式。本研究選取了近七年（2017—2023年）的文科卷、理科卷的53份高考題，主要包含的卷別為全國(guó)甲卷、全國(guó)乙卷、全國(guó)新高考Ι卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷、全國(guó)Ι卷、全國(guó)Ⅱ卷、全國(guó)Ⅲ卷、浙江卷、上海卷、北京卷、天津卷、江蘇卷、山東卷，并且以其中的“立體幾何”解答題為研究樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。因各地各卷對(duì)立體幾何的考查和賦分不一致，本研究主要探究考點(diǎn)集中趨勢(shì)、考查方向和考查難度，主要進(jìn)行考點(diǎn)的頻次統(tǒng)計(jì)（基本考查方向和情況如下頁(yè)表1所示）。由表1可知，文科卷的垂直證明占比為35%—53.3%，理科卷相對(duì)少一些，占比為33.3%—37.6%。但是值得關(guān)注的是，除2017年（理）、2018年（理）、2020年（理）外，其他年份對(duì)“垂直關(guān)系證明”考查的占比遠(yuǎn)高于“體積面積”“角度”“平行”“其他”四類(lèi)，這說(shuō)明“垂直關(guān)系證明”在高考中占有相當(dāng)大的比重。通過(guò)進(jìn)一步深入分析我們發(fā)現(xiàn)，在2017年（理）、2018年（理）、2020年（理）三次考試中，理科的第（2）小問(wèn)著重考查二面角，這就是“角度”頻次高的原因。從知識(shí)層面進(jìn)行分析，若使用空間向量的方法，需要建立空間直角坐標(biāo)系和計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)，此過(guò)程需要依賴(lài)垂直的相關(guān)知識(shí)；若使用歐氏幾何方法求解線(xiàn)面角和二面角，角度的確定和構(gòu)造與線(xiàn)面垂直、面面垂直關(guān)系密切［3］，因此也是側(cè)面考查垂直關(guān)系的證明和判定。綜上所述，垂直在高考立體幾何中的考查比例最大，其重要性不言而喻。但是，根據(jù)上述文獻(xiàn)研究和調(diào)查分析得知，學(xué)生的作答情況并不樂(lè)觀(guān)，立體幾何中的“垂直問(wèn)題”應(yīng)引起一線(xiàn)教師的重視。（三）策略研究學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的過(guò)程中存在諸多困難，體現(xiàn)為提取障礙、認(rèn)知障礙和操作障礙。而高考立體幾何的考查又以“垂直關(guān)系的證明”為主，所以本研究提出“通過(guò)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系”的方法，以解決垂直關(guān)系證明的難題（具體網(wǎng)絡(luò)如圖1所示）。策略解析：一是構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，破解提取障礙。學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下構(gòu)建知識(shí)體系，明確“線(xiàn)線(xiàn)垂直”“線(xiàn)面垂直”“面面垂直”之間的關(guān)聯(lián)，在做題時(shí)可運(yùn)用體系中的“定義”“判定”“性質(zhì)”進(jìn)行組合搭配，形成做題思路和方法。二是掌握知識(shí)轉(zhuǎn)化關(guān)系，破解認(rèn)知障礙。在轉(zhuǎn)化和化歸思想下，學(xué)生可在新知學(xué)習(xí)和作業(yè)練習(xí)中反復(fù)訓(xùn)練“線(xiàn)線(xiàn)”“線(xiàn)面”“面面”之間的推理過(guò)程。同時(shí)，抓住題目中的關(guān)鍵條件或者信息輔助解題，可逐步解決認(rèn)知障礙。三是運(yùn)用定義定理證明，破解操作障礙。學(xué)生在日常訓(xùn)練中應(yīng)總結(jié)所運(yùn)用的知識(shí)，并嚴(yán)格要求作答時(shí)結(jié)合題目條件“翻譯”成定理內(nèi)容，在證明過(guò)程中呈現(xiàn)出定義定理，以達(dá)到踩點(diǎn)得分的規(guī)范效果［4］。二、試題分析（一）“線(xiàn)線(xiàn)垂直類(lèi)”題型分析1.真題再現(xiàn)及解答思路分析“線(xiàn)線(xiàn)垂直類(lèi)”題型例題：（2021年全國(guó)新高考Ι卷第20題的第1問(wèn)）如圖2所示，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)。（1）證明：OA⊥CD；（2）略。2.考點(diǎn)及思路分析本題考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，該證明過(guò)程秉持由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸思想，欲證“線(xiàn)線(xiàn)垂直”可先從“面面垂直”入手，因此可執(zhí)行圖1中的“面面垂直→線(xiàn)面垂直→線(xiàn)線(xiàn)垂直”的證明路徑。證明過(guò)程中主要關(guān)注面面垂直和中點(diǎn)兩個(gè)條件，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)和線(xiàn)面垂直的定義可解（如圖3所示）。3.解題規(guī)律及方法總結(jié)證明“線(xiàn)線(xiàn)垂直”一般有如下方法［5］。①幾何法：通過(guò)“面面垂直、線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直”的路徑證明（如例題1、2019年浙江卷、2019年江蘇卷、2017年江蘇理科卷、2021年全國(guó)文科甲卷、2020年全國(guó)Ⅲ文科卷、2018年天津文科卷）。②向量法：證明兩條直線(xiàn)所在的向量的方向向量的數(shù)量積為0（如2021年全國(guó)理科甲卷、2020年天津文科卷）。③轉(zhuǎn)化法：通過(guò)證明目標(biāo)線(xiàn)的平行線(xiàn)與另一條線(xiàn)垂直（如2021年浙江理科卷、2020年浙江理科卷）。（二）“線(xiàn)面垂直類(lèi)”題型分析1.真題再現(xiàn)及解答思路分析“線(xiàn)面垂直類(lèi)”題型例題：（2019年天津文科卷第17題第1問(wèn)）如圖4所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3，棱PC的中點(diǎn)為N，連接DN。（1）求證：PA⊥平面PCD；（2）略。2.考點(diǎn)及思路分析本題主要考查線(xiàn)面垂直，該證明運(yùn)用了面面垂直的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的定義和線(xiàn)面垂直的判定三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，雖然有所輾轉(zhuǎn)，但核心思路是一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，兩組“線(xiàn)線(xiàn)垂直”可通過(guò)“線(xiàn)面垂直”“菱形對(duì)角線(xiàn)”“勾股定理”等途徑來(lái)構(gòu)造和證明（如圖5所示）。3.解題規(guī)律及方法總結(jié)證明“線(xiàn)面垂直”一般有如下方法。①轉(zhuǎn)化法：證明目標(biāo)線(xiàn)的平行線(xiàn)垂直于平面，從而間接證明線(xiàn)面垂直（如2020年全國(guó)新高考卷）。②判定法：利用線(xiàn)面平行的判定定理證明線(xiàn)線(xiàn)垂直得到線(xiàn)面垂直（如2019年北京卷）。③輾轉(zhuǎn)法：證明路徑為“面面垂直→線(xiàn)面垂直→線(xiàn)線(xiàn)垂直→線(xiàn)面垂直”，其本質(zhì)仍然是判定定理的運(yùn)用，但是此類(lèi)方法需要學(xué)生有完整的知識(shí)體系（如2019年天津文科卷）。④向量法：本質(zhì)為證明直線(xiàn)的方向向量為平面的法向量，即為直線(xiàn)的方向向量和平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量的數(shù)量積均為0（如2018年浙江文科卷）。（三）“面面垂直類(lèi)”題型分析1.真題再現(xiàn)及解答思路分析“面面垂直類(lèi)”題型例題：（2019年天津文科卷第17題第1問(wèn)）如圖6所示，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=1，AD=[2]，點(diǎn)M在棱BC上。（1）若點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn)，證明：平面PAM⊥平面PBD；（2）略。2.考點(diǎn)及思路分析本題考查了面面垂直的證明，該證明過(guò)程主要圍繞“面面垂直的判定定理”進(jìn)行，關(guān)鍵點(diǎn)在其中一個(gè)平面內(nèi)找到一條垂直于另外一個(gè)平面的直線(xiàn)，因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直和線(xiàn)線(xiàn)垂直。通過(guò)對(duì)近五年高考試題中涉及的25道面面垂直類(lèi)型題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)絕大部分題均可通過(guò)此方法進(jìn)行證明（如圖7所示）。3.解題規(guī)律及方法總結(jié)證明“線(xiàn)面垂直”一般有如下方法。①幾何法：通過(guò)面面垂直的判定來(lái)證明，其核心是證明線(xiàn)面垂直，因此遵循的路徑應(yīng)當(dāng)是“線(xiàn)面垂直→線(xiàn)線(xiàn)垂直→線(xiàn)面垂直→面面垂直”（如例題3、2021年全國(guó)新高考Ⅱ卷）。②定義法：作出二面角的平面角，進(jìn)而證明該角度為90°。③向量法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，即證明垂線(xiàn)的方向向量的數(shù)量積為0。④轉(zhuǎn)化法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直，則另一個(gè)平面也與第三個(gè)面垂直。三、總結(jié)反思本研究從“學(xué)習(xí)障礙”“高考考向”出發(fā)，提出“應(yīng)對(duì)策略”并運(yùn)用此策略對(duì)高考垂直三大類(lèi)證明進(jìn)行分析，得出一般的方法和規(guī)律，給予學(xué)生建議和幫助。但教學(xué)的主場(chǎng)仍然在于日常課堂，因此筆者提出以下三點(diǎn)教學(xué)建議。（一）加強(qiáng)課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，構(gòu)建知識(shí)思維網(wǎng)絡(luò)課堂小結(jié)在很多日常課堂中經(jīng)常被冠以“草草結(jié)束”的評(píng)價(jià)，教師應(yīng)充分利用課堂小結(jié)的平臺(tái)與時(shí)間，運(yùn)用思維導(dǎo)圖軟件，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想和方法，并且及時(shí)納入單元思維導(dǎo)圖中，幫助學(xué)生形成完備的網(wǎng)絡(luò)體系。（二）重視以題會(huì)類(lèi)教學(xué)，提升類(lèi)比遷移能力真正做到以題會(huì)類(lèi)［6］，需要在日常課堂中創(chuàng)設(shè)解題情境，選擇典型例題作為母題教會(huì)學(xué)生“解題出發(fā)點(diǎn)”，即把教師腦子里面的想法嫁接給學(xué)生，不僅要教“怎么做”，更要教“怎么想”和“為什么要這樣想”。母題教學(xué)之后應(yīng)當(dāng)選擇考向考點(diǎn)相近的題目進(jìn)行訓(xùn)練，讓學(xué)生在熟悉的情