（空間直線、平面的平行）（解析版）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試考前必刷題 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下學(xué)期期末考試考前必刷題10

（空間直線、平面的平行）

試卷滿分：150分考試時長：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題

區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.（2020?河北高一期末）平面驍與平面6平行的條件可以是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線都與8平行

B.直線a0a,c06,且直線。不在a內(nèi)，也不在6內(nèi)

C.驍內(nèi)的任何直線都與6平行

D.直線。在a內(nèi)，直線b在6內(nèi)，且曲6,bffla

【答案】C

【分析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行判斷即可

【詳解】

對A,若a內(nèi)的無數(shù)條直線都平行，平面a與平面6不一定平行，也可能相交，垂直，A錯

對B,當(dāng)直線平行于兩平面交線時，符合命題敘述，但平面a與平面6相交，B錯

對C,"a內(nèi)的任何直線都與6平行"可等價轉(zhuǎn)化為"a內(nèi)的兩條相交直線與6平行”，根據(jù)面

面平行的判定定理，C正確

對D,當(dāng)兩平面相交，直線0,直線b都跟交線平行且符合命題敘述時，得不到平面a與平

面6平行，D錯

故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查面面平行的判定：當(dāng)兩條相交直線與另一平面平行時，則過這兩條交線的平面與另

一平面平行

2.（2020?寧夏銀川市?銀川二中高一期末）如圖，四棱錐P—ABCD中，M，N分別為AC,

PC上的點(diǎn)，且肱V//平面尸A。，貝！K）

A.MN//PDB.MN//PAC.MNIIADD,以上均有可能

【答案】B

【分析】

直接利用直線與平面平行的性質(zhì)定理推出結(jié)果即可.

【詳解】

四棱錐產(chǎn)一458中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN//平面

MNu平面PAC,平面PACCl平面/W）=Q4，

由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：MN//PA.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，基本知識的考查.

3.（2019?海口市?海南中學(xué)高一期末）在空間中，給出下列說法：①平行于同一個平面的兩

條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面；③若平面a內(nèi)有不共線

的三點(diǎn)到平面夕的距離相等，則《//￡；④過平面a的一條斜線，有且只有一個平面與平

面a垂直.其中正確的是（）

A.①③B.②④C.①④D,②③

【答案】B

【分析】

說法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說法是否正確；說法②：根據(jù)線面垂直的性

質(zhì)和面面平行的判定定理可以判斷出本說法是否正確；說法③：當(dāng)a與夕相交時，是否在

平面a內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面夕的距離相等，進(jìn)行判斷；說法④：可以通過反證法進(jìn)行

判斷.

【詳解】

①平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面

a內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面夕的距離相等，則a與0可能平行，也可能相交，不正確：易

知④正確.故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線線位置關(guān)系、面面位置關(guān)系的判斷，分類討論是解題的關(guān)鍵，反證法是經(jīng)常用

到的方程.

4.(2020?浙江杭州市?高一期末)如圖所示，正方體ABC。-A8CA的面4G，Bg,CD,

的中心分別為02,。3,則直線與直線。2。3所成的角為()

3

4B

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】A

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】

以D為原點(diǎn)，DA,DC,DDt分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體

ABCD-A】B￡的棱長為2.

則A(2,0,0),?(1,1,2),Q(1,2,1),O3(0,1,1)

則福=(―1,1,2),西=

設(shè)直線AO,與直線。2。3所成的角為0

畫?函I_|1-1+0]

則cos0-=0

西西一庭X0

TT

所以。=2

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線成角，考查利用空間向量求異面直線成角，屬于中檔題.

5.（2020?福建廈門市?高一期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCO-ABCQ中，E,F

分別是棱AA|,CG的中點(diǎn)，過鴕的平面a與直線A/平行，則平面a截該正方體所得

截面的面積為（）

A.V5B.2加C.4D.5

【答案】B

【分析】

首先取DDt的中點(diǎn)G,連接EG，CG,EC,易證4F〃平面EBCG,從而得到平面EBCG

為所求截面，再計算其面積即可.

【詳解】

取。A的中點(diǎn)G,連接EG,CG,EC,如圖所示:

因?yàn)?E幺/C,所以四邊形4ECP為平行四邊形，所以AF〃EC.

又4尸■平面E8CG,ECu平面EBCG，

所以AF〃平面EBCG,即平面EBCG為所求截面.

2

所以BE=d?+1=布，5￡ecc=BExBC=2>75

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的判定，同時考查了正方體的截面，屬于簡單題.

6.（2020?浙江杭州市?高一期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻爵（Mumeng）

是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如圖，五面體ABCDEF是一個芻薨，其中

MCEAAE。都是正三角形，AB=2BC=2EF,則以下兩個結(jié)論：①ABUEF；②

BFVED,說法正確的是（）

AB

A.①和②都不成立B.①成立，但②不成立

C.①不成立，但②成立D.①和②都成立

【答案】D

【分析】

利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理和勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】

因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以有AB//CD,CDu平面COEE,ABz平面COEE,所以AB//

平面COEF,而平面ABEFQ平面。。￡戶=所，所以AB//EF,故結(jié)論①是正確的；

取8的中點(diǎn)G,連接G&FG如下圖所示：因?yàn)锳B=2BC=2EN,所以有

DG//EF,DG=EF,因此四邊形DGFE是平行四邊形，所以有。E〃G￡DE=GF,

不妨設(shè)所=1，因此AB=2,3C=1,BG=^BC=6EF=y[i，因?yàn)锳BCF,AAED

都是正三角形，所以DE=BF=1,因此有FG=OE=1，因?yàn)镕G?+BF?=BG?，所以

BF1FG，因此跖_L匹，故結(jié)論②是正確的.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，考查了勾股定理，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力

7.（2020?浙江杭州市?高一期末）如圖，在長方體—中，AO=OA=1,

AB=6,E,F,G分別為A8,8C，G〃的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面A8CD內(nèi)，若直線2P〃平

面EFG,則線段。/長度的最小值是（）

￡B

A.逑B.逅C.亞D.也

3222

【答案】D

【分析】

由題意和面面平行的判定，可得平面4cA//平面EFG,所以點(diǎn)P在直線AC上，當(dāng)

APLAC時，線段。尸的長度最小，由三角形等面積法可得結(jié)果.

【詳解】

如圖，連接AAAC,￡>C，

因?yàn)镋,F,G分別為AB,BC，GA的中點(diǎn),

所以AC//歷,“《平面ACDt,則EFII平面ACP,,

因?yàn)镋G〃AA,所以同理得EG//平面ACD,,

又DEG=E,得平面ACDJ/平面EFG,

因?yàn)橹本€。尸〃平面EFG,

所以點(diǎn)P在直線AC上，在AACD1中,

有的=應(yīng),AC=2,CD、=2,

所以而w，

故當(dāng)APJ.AC時，線段2P的長度最小,

叵

有邑他c=；xACx2Pn2P=N=g

2-x22

2

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面平行的判定定理和三角形的等面積法求高，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理

能力，屬于中檔題目.

8.（2021?陜西寶雞市?高一期末）在棱長為2的正方體ABC。-AMG。中，點(diǎn)E、F分

別是棱CO、B?的中點(diǎn)，P是上底面4與GA內(nèi)一點(diǎn)，若AP//平面8OEE,則線段AP

長度的取值范圍是（）

A?咚臼B.除用A厚回D*

【答案】C

【分析】

分別取AA、的中點(diǎn)加、N,連接AM、AN、MN、FM,推導(dǎo)出平面AMN〃

平面BDEF，可得出點(diǎn)P的軌跡為線段MN,進(jìn)而可求得線段AP長度的取值范圍.

【詳解】

如下圖所示，分別取42、A￡的中點(diǎn)〃、N,連接AM、AN、MN、FM，

因?yàn)樗倪呅?51GA為正方形，則aA〃耳6且4。=4G，

因?yàn)?、戶分別為4。1、片￡的中點(diǎn)，則AM〃用口且4M=與F，

所以，四邊形\B.FM為平行四邊形，則ABJ/MF目.=MF,

在正方體ABCD一A4G〃中，ABHA片且AB=AB|,AB//MFftAB=MF,

所以四邊形ABRl/為平行四邊形，可得

?.?40必平面3?！陸簦?E匚平面3?！陸?，，40〃平面8。￡/，

同理可證AN//平面BDEF，

;AMnAN=A,所以，平面AMN〃平面BDEF，

在線段MN上任取一點(diǎn)P,貝ijAPu平面AMN,APH平面BDEF，

即點(diǎn)P的軌跡為線段MN，

在△AM/V中，AM=AN=+=V5-MN={4"+4心2=叵,

當(dāng)AP_LMV忖，即當(dāng)P為MN的中點(diǎn)，AP的長度取最小值，即

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)〃或點(diǎn)N的重合時，A尸的長度取最大值，即AR1ax=A〃=J5.

■3/7_

因此，線段AP長度的取值范圍是于-，6-

故選：c.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線段長度取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是利用AP〃平面BDEF推

測出點(diǎn)P的軌跡，一般利用線面平行的性質(zhì)或面面平行的性質(zhì)來找出動點(diǎn)P的軌跡，在確

定點(diǎn)P的軌跡后，再利用幾何知識求解.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.（2020?山東煙臺市?煙臺二中高一期末）下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個

頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出A8向平面/WNP的圖形是（）

【答案】AD

【分析】

根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分別判斷即可

【詳解】

解：在A中，連接4：,則AC0MN,由正方體性質(zhì)得到平面M/VP0平面A8C,

EM8回平面MNP,故A成立；

對于B,若下底面中心為。，則NCKM8,NOc面MNP=/V,

BAB與面MNP不平行，故8不成立：

對于C,過M作MEHAB,則E是中點(diǎn)，

則ME與平面PMN相交，則A8與平面MNP相交,

與面MNP不平行，故C不成立；

對于D,連接CE,則ABBCE,NP0CD,則ABSPN,回平面MNP,故D成立.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

此題考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

10.（2020?山東煙臺市?煙臺二中高一期末）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。為

菱形，ND4B=60°,側(cè)面PAO為正三角形，且平面Q4Z）_L平面A3CD,則下列說法正

確的是（）

A.在棱A。上存在點(diǎn)/W,使AOL平面PM6

B.異面直線AO與PB所成的角為90°

C.二面角P—BC—A的大小為45。

D.平面PAC

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理一一驗(yàn)證可得.

【詳解】

解：如圖，對于A，取的中點(diǎn)M，連接團(tuán)側(cè)面PA。為正三角形,

.?.aMLAZ），又底面ABCO是菱形，ZDAB=60°，.?心鉆。是等邊三角形，

:.AD±BM又PMcBM=M，PM，8A/u平面PM3，

.?.4）_L平面，故A正確.

對于8，?.?4）_1平面。硼/，.?.4￡），尸3,即異面直線A。與/>8所成的角為90。，故8

正確.

對于C,回平面PBCCl平面ABCD=8C,BC//AD,:.BCL^PBM：.BC±PB

BCLBM,

.?.NF8W是二面角P—3C-A的平面角，設(shè)A6=l，則PM=—，

22

PM

在中，tan/P3M=——=1,即NPBM=45°，故二面角P—3C—A的大小

BM

為45。，故C正確.

對于O，因?yàn)锽D與Q4不垂直，所以BD與平面P4C不垂直，故。錯誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定及異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2020?山東臨沂市?高一期末）如圖，在直三棱柱ABC—44G中，CC、=屈,

AB=BC=2,AC=20，點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.異面直線BC與片M所成的角為90。B.在耳C上存在點(diǎn)D,使“。//平面A8C

C.二面角與一AC-6的大小為60。D.BtM±CM

【答案】ABC

【分析】

選項(xiàng)A，連接MG，易知BC〃4G，故即為所求，再結(jié)合線面垂直的判定定理與性

質(zhì)定理即可證得BC1MB],即ZMB.C,=90。；

選項(xiàng)8，連接BG，交B|C于點(diǎn)。，連接再取BC的中點(diǎn)￡,連接。E、AE，再

由線面平行的判定定理即可得證；

選項(xiàng)C，取AC的中點(diǎn)N,連接BN、B|N,則NBNS即為所求，求出tanNBNq的值，

從而得解；

選項(xiàng)。，在ACMB1中，利用勾股定理分別算出CM、"4和B,C的長，判斷其結(jié)果是否滿

^CM2+MB；^B,C2即可.

【詳解】

選項(xiàng)A,連接MG，由三棱柱的性質(zhì)可知，BCHBG，

:.NMBG即為異面直線6C與B.M.

?.?AB=BC=2,AC=20，，48。=幺4G=90。，即A￡，18G,

由直三棱柱的性質(zhì)可知，BB11平面A4G,

QB￡<=平面A,B,C,,BB、14G,

又44nBBl=B],44、u平面AB4A，二5,C,1平面ABB^,

B,C,±MB,,即NM8c=90。，，選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)8,連接BG，交8c于點(diǎn)。，連接MD,再取BC的中點(diǎn)E，連接。E、AE，則

DE//AM,DE=AM，

，四邊形4WDE為平行四邊形，.?.MD//AE，

?.?MDC平面ABC，AEu平面ABC,.〔ME)//平面ABC,即選項(xiàng)6正確；

選項(xiàng)C，取AC的中點(diǎn)N,連接BN、B}N,

BB]±平面ABC,，NBNB、即為二面角B.-AC-B的平面角.

在Rt^BNBi中，BB、=R,BN=-AB=^2,:.tanNBNB、=弛=6，ZB/VB,=60°,

2BN

即選項(xiàng)C1E確；

IQ11

選項(xiàng)￡），在AGWB1中，CM2=AC2+AM2=-^-,MB'=+A.M2=—,

BQ=BB+BC?=10,

顯然4c2,即qM與CM不垂直，二選項(xiàng)。錯誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線面的位置關(guān)系、角的求法，要求學(xué)生熟練掌握空間中線與面平行或垂直的

判定定理與性質(zhì)定理，以及通過平移的思想找出異面直線的平面角，并理解二面角的定義，

考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.（2021?湖南長沙市?長沙一中高一月考）點(diǎn)”是正方體中側(cè)面正方

形內(nèi)的一個動點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是（）

A.滿足CMLAq的點(diǎn)M的軌跡為線段

B.點(diǎn)M存在無數(shù)個位置滿足直線瓦加//平面

C.在線段上存在點(diǎn)M，使異面直線4M與CD所成的角是30。

D.若正方體的棱長為1,三棱錐GM。的體積的最大值為1

【答案】A8D

【分析】

對于A,由正方體的性質(zhì)和CMJ_A?？傻肁。_L平面從而可得點(diǎn)〃在線段A。

上時，有CM_LAR：對于B,由正方體的性質(zhì)可得平面曲413平面BG。，所以當(dāng)點(diǎn)M

在上時，均有4M//平面BCQ,從而可判斷：對?于C,異面直線gM與所成

的角是N4AM,當(dāng)“在線段AA上運(yùn)動時，點(diǎn)”取AA的中點(diǎn)時，最小，其

正切值為也>且，從而可判斷；對于D,由正方體的性質(zhì)得，AC,平面BCD,若正

23

方體的棱長為1.則點(diǎn)〃與4重合時，三棱錐B-C、MD的體積取得最大，從而可求出其

體積

【詳解】

解：對于A,如圖，在正方體ABCD-AMGA中，CDJ?平面A￡）24，A￡>|U平面

ADDtA1,所以COLAA，因?yàn)锳。，A",A.DC]DC=D,所以A。_1平面4。。，

所以當(dāng)點(diǎn)M在線段4。上時，有所以點(diǎn)M的軌跡為線段，所以A正確;

對于B,在正方體ABC。-中，因?yàn)橛谩；谺O，BOu平面BG。，BQ理平

面BC,D,所以4A團(tuán)平面BC,D,同理AD,回平面BC,D,而A￡>1口BDt=D,,所以平面

ADf日平面BCQ,所以當(dāng)點(diǎn)〃在AA上時，均有用M//平面BG。，所以點(diǎn)〃存在

無數(shù)個位置滿足直線用M//平面BG。，所以B正確；

對于C,異面直線AM與C。所成的角是NA4M,當(dāng)M在線段A。上運(yùn)動時，點(diǎn)"取

AR的中點(diǎn)時，最小，其正切值為也>走，所以不存在點(diǎn)M，使異面直線與M

23

與CO所成的角是30。，所以C錯誤；

對于D,由正方體的性質(zhì)得，AC_L平面BCD,若正方體的棱長為1,則點(diǎn)M與A重合

時，三棱錐的體積取得最大，其值為''!乂夜乂血乂迫x2叵=1,所以D

32233

正確，

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查以正方體為模型判斷線線施直，線面平行，求異面宜線所在的角等,

解題的關(guān)鍵是正確利用正方體的性質(zhì)，屬于中檔題

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.（2020?河南三門峽市?高一期末）給出下列命題：

①任意三點(diǎn)確定一個平面；

②三條平行直線最多可以確定三個個平面；

③不同的兩條直線均垂直于同一個平面，則這兩條直線平行；

④一個平面中的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面平行；

其中說法正確的有（填序號）.

【答案】②③

【分析】

對四個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】

對①：根據(jù)公理可知，只有不在同一條直線上的三點(diǎn)才能確定一個平面，故錯誤；

對②：三條平行線，可以確定平面的個數(shù)為1個或者3個，故正確；

對③：垂直于同一個平面的兩條直線平行，故正確；

對④：一個平面中，只有相交的兩條直線平行于另一個平面，兩平面才平行，故錯誤.

綜上所述，正確的有②③.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中的公理、線面平行的判定，屬綜合基礎(chǔ)題.

TT

14.（2020?北京人大附中高一期末）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，=y,

AN

AA,=AB=AC=l,CG的中點(diǎn)為“，點(diǎn)N在棱A片上，UN〃平面ABC,則笠的

值為.

【答案】I

【分析】

A.N1

先取BBi,44中點(diǎn)M,N得到過HN的一個平面平行平面\BC,即知-f—=-.

442.

【詳解】

取BBt,A耳中點(diǎn)”,N,連接HM,MN,

故MN〃A、B,又在平面ABC外，BC,MNu平面AQC

所以MH〃平面ABC,MN〃平面ABC,又MH,相交在平面"MN內(nèi)，故平面

AN1

ABC〃平面"MN，即HN〃平面AfC,故笠=%.

A'1Z

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面平行的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2020?浙江高一期末）在棱長為2的正方體ABC。—中，P是的中點(diǎn)，

過點(diǎn)4作與平面P8G平行的截面，則此截面的面積是.

【答案】2娓

【分析】

取AB，0G的中點(diǎn)分別為M,N,連接4M,MC,CN，4N,PM,先證明四邊形AMCN

是平行四邊形，再利用面面平行的判斷定理證明平面P5G〃平面A〃CN,可得平行四邊

形4MCN即為所求的截面，再計算其面積即可.

【詳解】

取AB，AG的中點(diǎn)分別為M,N,連接A",MC,CN，4N,PM,

因?yàn)?所以四邊形"CiN是平行四邊形，所以AN^PG,

因?yàn)镻M四C\所以四邊形是平行四邊形，所以MCyC],

所以AN/WC,所以四邊形AMCN是平行四邊形，

因?yàn)镻C|〃AN,PC|CZ平面A"CN,4Nu平面A"CN,

所以PC]〃平面A"CN,

同理可證PBH平面AMCN,

因?yàn)镻C】cPB=P,

所以平面PBC\H平面AMCN,

因此過點(diǎn)兒作與平面P8C；平行的截面，即是平行四邊形AMCN,

連接MN,作于點(diǎn)”，

山AM=AN=6MN=2冊,

可得4〃=’（司1（可=6,

所以sAMN=LxMNxAH=Lx2員小娓,

所以平行四邊形AMCN的面積為2S"MN=2V6,

故答案為：2瓜

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睹：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是找出過點(diǎn)A與平面PBG平行的截面，所以想到作平行線，利

用面面平行的判斷定理證明所求的截面即是平行四邊形AMCN,先求四邊形一半的面枳,

乘以2即可得所求平行四邊形的面積，也可以直接求菱形的面積.

16.（2020?浙江杭州市?高一期末）線段PQ分別交兩平行平面萬于A,B兩點(diǎn)，線段PO

分別交平面于C,D兩點(diǎn)，線段QF分別交平面。滔于F,E兩點(diǎn)，若PA=9,=12,

BQ=12,AACF的面積為72,則ABDE的面積為.

【答案】84.

【分析】

利用a//￡,得到A尸//BE,AC//BD，從而得到線段長的比例，進(jìn)而得到△ACET

的面積關(guān)系，利用AACF的面積為72,即可求得ABDE的面積.

【詳解】

平面QAF1a=AF，平面QA/710=BE,

又:.AF//BE,

同理可證：AC//BD

ZFAC與ZE8D相等或互補(bǔ)，sinZE4C=sinNEBD.

BEQB121i

由AC,得而=9=即=于'成=54?

由皿皿得翳受等去皿*

7

又S^ACF=；A7?AC?sinZ.FAC=72,

117177

SVBDE=-BDBE-sinNEBD=-x-AC--AF-sinZE4C=--S=-x72=84

VACF6

.?.△8。石的面積為84.

故答案為：84.

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面平行的性質(zhì)定理，在運(yùn)用兩平面平行的性質(zhì)定理時，一定要先找到與兩平行

平面都相交的第三個平面，繼而推得兩交線平行，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.（2021?陜西省黃陵縣中學(xué)高一期末）如圖，梯形ABC。中，BC//AD,E是PZ）的中

點(diǎn)，過8c和點(diǎn)E的平面與巳4交于點(diǎn)F.求證：BC//EF.

【答案】證明見解析

【分析】

由BC//AD證明BC〃平面B4O,再由直線與平面平行的性質(zhì)可得BC7/EF

【詳解】

0BC/IAD.8cz平面24。，4）（=平面上4。，

0BCH平面PAD，

團(tuán)BCu平面BCM，平面平面皿＞=所，

QBC//EF

18.（2021?銀川三沙源上游學(xué)校高一期末）如圖：在正方體—中，E為。2

的中點(diǎn).

（1）求證：平面AEC；

（2）若F為CG的中點(diǎn)，求證：平面AEC〃平面8/

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】

（1）連結(jié)5。交ACT-O,連結(jié)￡0.可證EO//BD},即可得證；

（2）首先可證。尸〃EC,即可得到。一回平面A￡C,再由（1）的結(jié)論即可得證;

【詳解】

解：（1）連結(jié)BD交AC于。，連結(jié)EO.

回因?yàn)锳BCD-AgG。為正方體，底面ABC。為正方形,

對角線AC、3。交于。點(diǎn)，所以。為5。的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋為。2的中點(diǎn)，在△08。中

I3OE是的中位線

QOEHBD、；

又因?yàn)镼￡u平面AEC,BD,<Z平面AEC,

所以8。"平面隹C.

(2)證明：

因?yàn)镕為CG的中點(diǎn)，E為。2的中點(diǎn)，所以CF//ER,

所以四邊形為平行四邊形，所以DF〃EC,

又因?yàn)镋Cu平面AEC,。尸<2平面AEC,

所以。尸回平面AEC：

山(1)知8?！ㄆ矫鍭￡C,

又因?yàn)锽RcDtF=D,,所以平面AEC//平面BFD「

19.（2020?浙江杭州市?高一期末）如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長

為2的正方形，側(cè)面PAD是以AO為斜邊的等腰直角三角形，且平面加0,平面ABCD.

（1）求證：AD〃平面P8C；

（2）求直線PC與平面ABC。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）旦.

6

【分析】

（1）由于再利用線面平行的判定定理證明即可；

（2）取AD中點(diǎn)用，連接PM，CM,則由已知條件可得NPCM就是直線PC與平面

A8CO所成的角，然后在廿。/中求解即可

【詳解】

（1）證明：-.AD//BC,8。匚平面尸8。，ADZ平面P8C,

.,.AD〃平面尸8C.

（2）取中點(diǎn)M，連接PM，CM,則

又平面PAD_L底面ABCD,

.?.W平面ABC。,

ZPCM就是直線PC與平面ABC。所成的角.

由勾股定理可求得PM=1，CM=亞，PC=瓜，

."〃皿=也=巫

PC6

直線PC與平面ABC。所成角的正弦值為如

6

20.(2021?浙江高一期末)如圖，三棱柱ABC-A4G中，AB=BC=AC=—BB},與

2

在底面ABC上的射影恰好是點(diǎn)A,E是4G的中點(diǎn)?

(1)證明：45//平面與CE

(2)求Af與平面BCG4所成角的正弦值?

【答案】⑴證明見解析；⑵噂.

【分析】

(1)連接BG與用C相交于M，連接EM，證明再由線面平行的判定定理

證明即可;

(2)證明平面A4F_L平面BCC^,得出NO_L平面3CG4,結(jié)合線面角的定義得出

NOBN即為4B與平面BCG4所成角，再由相似三角形、勾股定理、直角三角形邊角關(guān)

系得出AtB與平面BCQBi所成角的正弦值.

【詳解】

(1)連接BG與線。相交于M，連接EM

山FE，M分別是4G，BG的中點(diǎn)，則EM//AB

因?yàn)槠進(jìn)u平面平面4CE,所以A,2?//平面gCE.

B

(2)取3c中點(diǎn)/，連接AE，BF,則AF_L3C

因?yàn)槠矫鍭BC,所以gALBC

又AEgAu平面AB/,AFoB.A^A,所以平面45/

又BCu平面8CG4,所以平面平面BCC4,過N作NOL8尸于。

因?yàn)镹Ou平面4月尸，平面尸c平面BCCg=81F

所以NO，平面BCGB],連接08，則NOBN即為人8與平面BCC,用所成角

設(shè)BB1=2,易知BN=JAM+AB?=J，+2=?，AF=—<8/=迎

V22212

由△ONg?△AES-02空加=里

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決第一問的關(guān)鍵在于由中位線定理證明線線平行，再由線面平行的判定定理證

明線面平行；解決第二問的關(guān)鍵在于由線面垂直找出線面角，再由直角三角形邊角關(guān)系