高考數(shù)學導數(shù)知識題型全歸納專題08導數(shù)壓軸題之構造函數(shù)和同構異構詳述(原卷版+解析)

更多精品資料請關注微信公眾號：超級高中生導數(shù)章節(jié)知識全歸納專題08導數(shù)壓軸題之構造函數(shù)和同構異構（詳述版）一．考試趨勢分析：由于該內(nèi)容在高考內(nèi)容中考試頻率相對比較低，然而它卻在我們平時考試或是診斷型考試中出現(xiàn)又較高，并且該內(nèi)容屬于高中數(shù)學里面導數(shù)的基本考試題型之一，基本上尖子生里面的基礎題，又是一般學生里面的壓軸題，所以老師你覺得講還是不講呢？針對這個情況，作者進行了多年研究和分析，這個內(nèi)容一定要詳細講述，并且結合技巧性讓學生能夠熟練掌握，優(yōu)生幾秒鐘，一般學生幾分鐘就可以完成該題解答，是設計這個專題的核心目的！二．所用知識內(nèi)容：1.導數(shù)八大基本求導公式：①（C為常數(shù)）②③;④;⑤⑥;⑦;⑧常見構造：和與積聯(lián)系：，構造；，構造；，構造；…，構造；，構造．等等．減法與商聯(lián)系：如，構造；，構造；…，構造．，構造，，構造，………………，構造，3.同構異構方法：1．順反同構：順即為平移拉伸后的同構函數(shù)，反即為乘除導致的凹凸反轉同構函數(shù).2．同位同構：①加減同構是指在同構的過程中“加減配湊”，從而完成同構；②局部同構是指在同構過程中，我們可以將函數(shù)的某兩個或者多個部分構造出同構式，再構造同構體系中的親戚函數(shù)即可；③差一同構是指指對跨階以及指數(shù)冪和對數(shù)真數(shù)差1，我們往往可考慮用同構秒殺之.三．導數(shù)構造函數(shù)典型題型：1.構造函數(shù)之和差構造：例：1.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且的導函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．或2.定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B． C． D．變式：1.已知奇函數(shù)在R上的導函數(shù)為，且當時，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．構造函數(shù)之乘積構造：例：1.在上的導函數(shù)為，，則下列不等式成立的是（）．A． B．C． D．2.已知定義在上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為，若，，則不等式的解集是（）A． B．C． D．3.定義在上的連續(xù)函數(shù)的導函數(shù)為，且成立，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．變式：1.已知定義在的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足成立，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．變式：2。已知函數(shù)的定義域為，且滿足：（1），（2），則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式：3.定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式(為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為（）A． B．C． D．變式：4.設函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，當時，，且，則使得成立的的取值范圍（）A． B．C． D．變式：5.定義在上的奇函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，其導函數(shù)為，對任意正實數(shù)恒有，若，則不等式的解集是（）A． B．C． D．導數(shù)之同構異構：例：1.已知函數(shù)，，若，，則的最大值為（）A． B． C． D．2.已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（）A． B．C． D．變式：1.設實數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式：2.設，若存在正實數(shù)x，使得不等式成立，則的最大值為（）A． B． C． D．變式：3.已知是方程的一個根，則的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6變式：4.已知關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．更多精品資料請關注微信公眾號：超級高中生導數(shù)章節(jié)知識全歸納專題08導數(shù)壓軸題之構造函數(shù)和同構異構（詳述版）一．考試趨勢分析：由于該內(nèi)容在高考內(nèi)容中考試頻率相對比較低，然而它卻在我們平時考試或是診斷型考試中出現(xiàn)又較高，并且該內(nèi)容屬于高中數(shù)學里面導數(shù)的基本考試題型之一，基本上尖子生里面的基礎題，又是一般學生里面的壓軸題，所以老師你覺得講還是不講呢？針對這個情況，作者進行了多年研究和分析，這個內(nèi)容一定要詳細講述，并且結合技巧性讓學生能夠熟練掌握，優(yōu)生幾秒鐘，一般學生幾分鐘就可以完成該題解答，是設計這個專題的核心目的！二．所用知識內(nèi)容：1.導數(shù)八大基本求導公式：①（C為常數(shù)）②③;④;⑤⑥;⑦;⑧常見構造：和與積聯(lián)系：，構造；，構造；，構造；…，構造；，構造．等等．減法與商聯(lián)系：如，構造；，構造；…，構造．，構造，，構造，………………，構造，3.同構異構方法：1．順反同構：順即為平移拉伸后的同構函數(shù)，反即為乘除導致的凹凸反轉同構函數(shù).2．同位同構：①加減同構是指在同構的過程中“加減配湊”，從而完成同構；②局部同構是指在同構過程中，我們可以將函數(shù)的某兩個或者多個部分構造出同構式，再構造同構體系中的親戚函數(shù)即可；③差一同構是指指對跨階以及指數(shù)冪和對數(shù)真數(shù)差1，我們往往可考慮用同構秒殺之.三．導數(shù)構造函數(shù)典型題型：1.構造函數(shù)之和差構造：例：1.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且的導函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．或【答案】B【分析】令函數(shù)，求導，結合題意，可得的單調(diào)性，又，則原不等式等價于，根據(jù)的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】令函數(shù)，則，所以在R上單調(diào)遞增.因為，所以原不等式等價于，所以所求不等式的解集為故選：B2.定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構造函數(shù)，，先判斷其導函數(shù)的正負，來確定該函數(shù)的單調(diào)性，再化簡不等式為，根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】設，，則，故在上單調(diào)遞增，，不等式，即，即，根據(jù)單調(diào)性知，即，得，即，故解集為.故選：B.【點睛】思路點睛:利用導數(shù)解不等式時，常常要構造新函數(shù)，新函數(shù)一方面與已知不等式有關，一方面與待求不等式有關，再結合導數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.變式：1.已知奇函數(shù)在R上的導函數(shù)為，且當時，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用構造函數(shù)g(x)，即可得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性，再將所解不等式轉化為用g(x)表達的抽象函數(shù)不等式而得解.【詳解】因，即，令，則，在上遞減，又是R上的奇函數(shù)，則也是R上的奇函數(shù)，從而有在R上單調(diào)遞減，顯然，則有由在R上單調(diào)遞減得，所以所求不等式的解集為.故選：C【點睛】關鍵點睛：解給定導數(shù)值特征的抽象函數(shù)不等式，根據(jù)導數(shù)值特征構造對應函數(shù)是解題的關鍵.構造函數(shù)之乘積構造：例：1.在上的導函數(shù)為，，則下列不等式成立的是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】構造，求導得，知在上為增函數(shù)，進而由即可判斷.【詳解】令，則，因為在上的導函數(shù)為，所以在上，即在上為增函數(shù).所以，即.故選：A.2.已知定義在上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為，若，，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目中信息其導函數(shù)為，若可知，需構造函數(shù)，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來解題，當時，即，，當時，即，.【詳解】構造函數(shù),,當時，，故，在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減.,則，;，當時，即，，所以；當時，即，，所以.綜上所述，.故選：A【點睛】需對題中的信息聯(lián)想到構造函數(shù)利用單調(diào)性解不等式，特別是分為當時，當時兩種情況，因為兩邊同時除以，要考慮其正負.3.定義在上的連續(xù)函數(shù)的導函數(shù)為，且成立，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，由條件可得，即在上單調(diào)遞減，且，由此卡判斷選項A，B，C，將代入條件可得，可判斷選項D.【詳解】由題可得，所以，設則，所以在上單調(diào)遞減，且由可得，所以，，所以選項A?B錯誤，選項C正確.把代入，可得，所以選項D錯誤，故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查構造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值的符號，解答本題的關鍵是根據(jù)題意構造函數(shù)，由條件得出其單調(diào)性，根據(jù)，判斷選項，屬于難題.變式：1.已知定義在的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足成立，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】構造函數(shù)，求導后可確定其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小可判斷各選項．【詳解】設，則，所以在上是減函數(shù)，所以，即，A錯；，即，B正確；，即，C錯；的正負不確定，因此與大小不確定，D不能判斷．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題考查比較大小問題，解題關鍵是構造新函數(shù)，由導數(shù)確定其單調(diào)性，從而可比較函數(shù)值大?。兪剑?。已知函數(shù)的定義域為，且滿足：（1），（2），則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意構造函數(shù)與，利用二者的單調(diào)性即可得到結果.【詳解】，∴在上單調(diào)遞減，，∴在上單調(diào)遞增，.故選：C【點睛】方法點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構造函數(shù)，一般：（1）條件含有，就構造,（2）若，就構造，（3），就構造，（4）就構造，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構造函數(shù).變式：3.定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式(為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，由已知得的單調(diào)性，不等式化為，由單調(diào)性得結論．【詳解】設，因為，所以，所以是上的增函數(shù)，不等式可化為，即，所以．故選：A．【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數(shù)解不等式，解題關鍵是構造新函數(shù)，由導數(shù)確定單調(diào)性，原不等式化為，然后由單調(diào)性得結論變式：4.設函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，當時，，且，則使得成立的的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)，求導并結合已知得到在上為遞減函數(shù)，進一步推出時，，時，，據(jù)此可求出使得成立的的取值范圍.【詳解】令，則，所以在上為遞減函數(shù)，所以當時，，又，所以，當時，，又，所以，所以當時，，又所以時，，因為為奇函數(shù)，所以時，，所以或，或，或.故選：A【點睛】關鍵點點睛：構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性推出當時，，當時，是解題關鍵.變式：5.定義在上的奇函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，其導函數(shù)為，對任意正實數(shù)恒有，若，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是定義在上的奇函數(shù)，得為奇函數(shù)，由，得為上的增函數(shù)，再由得，利用單調(diào)性可得答案.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以當時，有，所以為奇函數(shù)，且對于正實數(shù)，有，即，所以，所以在是增函數(shù)，又因為為奇函數(shù)，所以為上的增函數(shù)，由得，所以，即，解得或，故選：D.【點睛】考查了函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵點是利用奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學生分析問題、解決問題的能力及計算能力.導數(shù)之同構異構：例：1.已知函數(shù)，，若，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由，，再結合函數(shù)函數(shù)的圖象可知，，這樣轉化，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】由題意得，，，即，令函數(shù)，則，所以，時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，又當時，，時，，作函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知，當時，有唯一解，故，且，∴.設，，則，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即的最大值為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，本題的關鍵是觀察與變形，，并且由函數(shù)圖象判斷，只有一個零點，所以，這樣后面的問題迎刃而解.2.已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可知，，由可得出，，利用導數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進而可得出，由此可得出，可得出，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】，，由于，則，同理可知，，函數(shù)的定義域為，對恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，，則，構造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，.故選：C.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及指對同構思想的應用，考查化歸與轉化思想的應用，有一定的難度.變式：1.設實數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根據(jù)二階導數(shù)的符號判斷的單調(diào)性，由零點存在性定理易知使，此時，進而討論的單調(diào)性可知，要使題設不等式恒成立，即成立，構造利用導數(shù)研究其單調(diào)性確定的區(qū)間，進而求的范圍.【詳解】令，只需要上恒成立，∵且，∴，即在上單調(diào)遞增，∵，，∴，使，即，∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；故只需，令，∴，故在上遞減，而，∴時，恒成立，可知.故選：C【點睛】關鍵點點睛：利用導數(shù)研究的單調(diào)性并確定極小值點范圍，根據(jù)有，結合構造新函數(shù)，求成立時的區(qū)間，進而求參數(shù)范圍.變式：2.設，若存在正實數(shù)x，使得不等式成立，則的最大值為