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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省“數(shù)海漫游”2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知,則()A.0 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,所?所以,所以,所以.故選:C.2.已知,則的面積是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得,因?yàn)?,所以,可?故選:D.3.記Sn為非零數(shù)列an的前項和,若,則()A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗,則.即.,,.故.故選:B.4.設(shè)點(diǎn)在正四面體的棱AB上,AB與平面所成角為,則()A.4 B.10 C.14 D.20〖答案〗B〖解析〗取的中點(diǎn)的中點(diǎn),連接,過作于,因?yàn)樗拿骟w為正四面體,所以,因?yàn)?,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)?,平面,所以平面,所以(或其補(bǔ)角)為與平面所成角,所以,則,設(shè)正四面體的棱長為2,則,所以,所以為銳角,所以,所以,在中,,則,在中,,則,所以,解得,所以,所以.故選:B.5.已知向量均為單位向量,則的最小值是()A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量均為單位向量,設(shè)向量的夾角為,由,則,所以設(shè),令,則,令,則,所以在單調(diào)遞增,令,則,所以在單調(diào)遞減,所以的最小值為,所以的最小值為.故選:C.6.小明開始了自己的存錢計劃:起初存錢罐中沒有錢,小明在第天早上八點(diǎn)以的概率向存錢罐中存入100元,.若小明在第4天早上七點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自己前3天晚上八點(diǎn)時存錢罐中的余額恰好成等差數(shù)列,則小明在第2天存入了100元概率是()A. B.15 C. D.〖答案〗A〖解析〗余額恰好成等差數(shù)列,即,其中第天存入元的是,故所求概率為.故選:A.7.設(shè)橢圓的弦AB與軸,軸分別交于兩點(diǎn),,若直線AB的斜率,則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示,設(shè),直線,因?yàn)椋?,所以,即,,所?因?yàn)樵跈E圓上,所以,兩式相減得,即.又因?yàn)?,且,,所以,即,所?故選:C.8.稱平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)為好整點(diǎn),記為集合包含的好整點(diǎn)的個數(shù).若,則正整數(shù)的最小值是()A.1976 B.1977 C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面:由題意,,使得不等式恒成立,注意到,等號成立當(dāng)且僅當(dāng),即,所以正整數(shù)應(yīng)該滿足,另一方面:當(dāng)時,我們證明:成立,證明過程如下:注意到,所以,,記,則,,,即成立,綜合以上兩方面,可知正整數(shù)的最小值是1977.故選:B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.設(shè)雙曲線與直線交于與兩點(diǎn),則可能有()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立方程組,可得,因?yàn)殡p曲線與直線有兩個交點(diǎn),所以,所以,B錯誤;當(dāng)時,,A正確;當(dāng)m>0時,,C正確;當(dāng)或時,,D正確.故選:ACD.10.若無窮數(shù)列由唯一確定,稱遞推公式是專一的.則下列遞推公式中專一的有()A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于選項A:因?yàn)?,可得,所以遞推公式是專一的,故A正確;對于選項B:因?yàn)?,令,可得,即,解得或,所以推公式不是專一的,故B錯誤;對于選項C:因?yàn)?,可得,令,可得,可得,且,可得,即,可知?shù)列是以2為周期的周期函數(shù),且,則,所以遞推公式是專一的,故C正確;對于選項D:因?yàn)?,由可得:,則,由可得,解得或,所以推公式不是專一的,故D錯誤;故選:AC.11.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)滿足,則()A.拿走,這組數(shù)據(jù)的方差變大 B.拿走,這組數(shù)據(jù)的方差變大C.拿走,這組數(shù)據(jù)的方差減小 D.拿走,這組數(shù)據(jù)的方差減小〖答案〗AD〖解析〗熟知對一組數(shù)據(jù),其方差等于各個數(shù)據(jù)的平方的算術(shù)平均值與算術(shù)平均值的平方之差,即.將拿走前后的方差分別記為.對于A,給五個元素同時加上或減去同一個數(shù),不影響方差,所以可以適當(dāng)平移,使得剩下的4個元素:的平均值為0,不妨設(shè),則,,所以.故,所以A正確;對于B,考慮,則,,所以B錯誤;對于C,考慮,則,,所以C錯誤;對于D,由于這組數(shù)據(jù)不全相等,所以,而,所以D正確.故選:AD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.函數(shù)至多有______個零點(diǎn).〖答案〗1〖解析〗當(dāng),令,解得,但,所以只有可能是零點(diǎn),且.當(dāng),令,解得,又,所以只有,即時,可能是零點(diǎn).綜上,當(dāng),至多1個零點(diǎn);當(dāng),至多1個零點(diǎn).即函數(shù)至多1個零點(diǎn).13.已知正方體的棱長為3,取出各棱的兩個三等分點(diǎn),共24個點(diǎn),對于正方體的每個頂點(diǎn),設(shè)這24個點(diǎn)中與距離最小的三個點(diǎn)為,從正方體中切去所有四面體,得到的幾何體的外接球表面積是______.〖答案〗〖解析〗由題意可知,如圖,將正方體切去8個角上的四面體即得所求幾何體,該幾何體的外接球球心即正方體外接球的球心,設(shè)外接球半徑為,球心為.設(shè)四面體高,其中是在平面的投影.已知正方體棱長為3,則,,由,得,解得,,,則,故幾何體的外接球表面積.14.當(dāng),為銳角時,恒有,則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗令,,,令,,則當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減.所以當(dāng)時,有最大值,即,設(shè),,,而,,,,在上單調(diào)遞增,所以,即,,,因此,即,.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)為拋物線與圓在第一象限的交點(diǎn),另一交點(diǎn)為.(1)求;(2)若點(diǎn)在圓上,直線為拋物線的切線,求的周長.解:(1)由題意,,解得.(2)在拋物線與圓的方程中,用替換方程依然成立,這表明這兩個圖象都關(guān)于軸對稱,所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于軸對稱,由,知.直線為拋物線的切線,當(dāng)時,,所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為,則.代入,得或1,故.則的周長為.16.小林有五張卡片,他等概率的在每張卡片上寫下1,2,3,4,5中的某個數(shù)字.(1)求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率;(2)證明:這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5.(1)解:.(2)證明:記為這五張卡片上最大的數(shù)字,則.由,由,所以這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5.17.在正四面體中,點(diǎn)分別在棱上(不與頂點(diǎn)重合),且(1)若,證明(2)求的取值范圍.解:(1)設(shè).因?yàn)樗拿骟w為正四面體,所以,在中,由余弦定理得,,在中,由余弦定理得,,又因?yàn)?,所以.整理得:.又因?yàn)?,即,代入得,所?(2)由(1)知,或.設(shè),取中點(diǎn),則.①若,則,等邊三角形,即,設(shè),則.②若,則,設(shè),則.綜上所述,,故.18.記函數(shù).(1)證明:;(2)記的定義域?yàn)椋羧我?,求的取值范圍.?)證明:①當(dāng)時,;②當(dāng)時,易知,則,得證!(2)解:先考慮,由.記,則.由.令,則,所以在上單調(diào)減,則.必要性探路:先考慮時,.只需考慮的情況,否則顯然有.于是,令,則.令,且.故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.由,故.于是.等號在,即時取到.充分性證明:下證:時,,用歸納法證明.①當(dāng)時,已證;②當(dāng)時,易知單調(diào)遞增,則,得證!綜上所述,.19.已知集合,記,,是自然數(shù)集.稱函數(shù),若對于任意,;稱函數(shù)是單調(diào)的,若對于任意,;?稱函數(shù)是次模的,若對于任意,.已知函數(shù)是次模的.(1)判斷是否一定是單調(diào)的,并說明理由;(2)證明:對于任意,,;(3)若是單調(diào)的,是正整數(shù),,記,已知集合滿足.初始集合,然后小明重復(fù)次如下操作:在集合中選取使得最小的元素加入集合,最終得到集合.證明:(1)解:構(gòu)造次模函數(shù),則.因此不一定是單調(diào)的.(2)證明:對任意,因?yàn)?,所以,且,又因?yàn)楹瘮?shù)是次模的,所以,所以.(3)①若,成立,得證.②若,取,則小明的每次操作均滿足,左右兩邊累加得,即,故得證.浙江省“數(shù)海漫游”2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知,則()A.0 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,所?所以,所以,所以.故選:C.2.已知,則的面積是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得,因?yàn)?,所以,可?故選:D.3.記Sn為非零數(shù)列an的前項和,若,則()A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗,則.即.,,.故.故選:B.4.設(shè)點(diǎn)在正四面體的棱AB上,AB與平面所成角為,則()A.4 B.10 C.14 D.20〖答案〗B〖解析〗取的中點(diǎn)的中點(diǎn),連接,過作于,因?yàn)樗拿骟w為正四面體,所以,因?yàn)椋矫?,所以平面,因?yàn)槠矫妫?,因?yàn)?,平面,所以平面,所以(或其補(bǔ)角)為與平面所成角,所以,則,設(shè)正四面體的棱長為2,則,所以,所以為銳角,所以,所以,在中,,則,在中,,則,所以,解得,所以,所以.故選:B.5.已知向量均為單位向量,則的最小值是()A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量均為單位向量,設(shè)向量的夾角為,由,則,所以設(shè),令,則,令,則,所以在單調(diào)遞增,令,則,所以在單調(diào)遞減,所以的最小值為,所以的最小值為.故選:C.6.小明開始了自己的存錢計劃:起初存錢罐中沒有錢,小明在第天早上八點(diǎn)以的概率向存錢罐中存入100元,.若小明在第4天早上七點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自己前3天晚上八點(diǎn)時存錢罐中的余額恰好成等差數(shù)列,則小明在第2天存入了100元概率是()A. B.15 C. D.〖答案〗A〖解析〗余額恰好成等差數(shù)列,即,其中第天存入元的是,故所求概率為.故選:A.7.設(shè)橢圓的弦AB與軸,軸分別交于兩點(diǎn),,若直線AB的斜率,則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示,設(shè),直線,因?yàn)?,所以,所以,即,,所?因?yàn)樵跈E圓上,所以,兩式相減得,即.又因?yàn)椋?,,所以,即,所?故選:C.8.稱平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)為好整點(diǎn),記為集合包含的好整點(diǎn)的個數(shù).若,則正整數(shù)的最小值是()A.1976 B.1977 C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面:由題意,,使得不等式恒成立,注意到,等號成立當(dāng)且僅當(dāng),即,所以正整數(shù)應(yīng)該滿足,另一方面:當(dāng)時,我們證明:成立,證明過程如下:注意到,所以,,記,則,,,即成立,綜合以上兩方面,可知正整數(shù)的最小值是1977.故選:B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.設(shè)雙曲線與直線交于與兩點(diǎn),則可能有()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立方程組,可得,因?yàn)殡p曲線與直線有兩個交點(diǎn),所以,所以,B錯誤;當(dāng)時,,A正確;當(dāng)m>0時,,C正確;當(dāng)或時,,D正確.故選:ACD.10.若無窮數(shù)列由唯一確定,稱遞推公式是專一的.則下列遞推公式中專一的有()A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于選項A:因?yàn)椋傻茫赃f推公式是專一的,故A正確;對于選項B:因?yàn)椋?,可得,即,解得或,所以推公式不是專一的,故B錯誤;對于選項C:因?yàn)?,可得,令,可得,可得,且,可得,即,可知?shù)列是以2為周期的周期函數(shù),且,則,所以遞推公式是專一的,故C正確;對于選項D:因?yàn)?,由可得:,則,由可得,解得或,所以推公式不是專一的,故D錯誤;故選:AC.11.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)滿足,則()A.拿走,這組數(shù)據(jù)的方差變大 B.拿走,這組數(shù)據(jù)的方差變大C.拿走,這組數(shù)據(jù)的方差減小 D.拿走,這組數(shù)據(jù)的方差減小〖答案〗AD〖解析〗熟知對一組數(shù)據(jù),其方差等于各個數(shù)據(jù)的平方的算術(shù)平均值與算術(shù)平均值的平方之差,即.將拿走前后的方差分別記為.對于A,給五個元素同時加上或減去同一個數(shù),不影響方差,所以可以適當(dāng)平移,使得剩下的4個元素:的平均值為0,不妨設(shè),則,,所以.故,所以A正確;對于B,考慮,則,,所以B錯誤;對于C,考慮,則,,所以C錯誤;對于D,由于這組數(shù)據(jù)不全相等,所以,而,所以D正確.故選:AD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.函數(shù)至多有______個零點(diǎn).〖答案〗1〖解析〗當(dāng),令,解得,但,所以只有可能是零點(diǎn),且.當(dāng),令,解得,又,所以只有,即時,可能是零點(diǎn).綜上,當(dāng),至多1個零點(diǎn);當(dāng),至多1個零點(diǎn).即函數(shù)至多1個零點(diǎn).13.已知正方體的棱長為3,取出各棱的兩個三等分點(diǎn),共24個點(diǎn),對于正方體的每個頂點(diǎn),設(shè)這24個點(diǎn)中與距離最小的三個點(diǎn)為,從正方體中切去所有四面體,得到的幾何體的外接球表面積是______.〖答案〗〖解析〗由題意可知,如圖,將正方體切去8個角上的四面體即得所求幾何體,該幾何體的外接球球心即正方體外接球的球心,設(shè)外接球半徑為,球心為.設(shè)四面體高,其中是在平面的投影.已知正方體棱長為3,則,,由,得,解得,,,則,故幾何體的外接球表面積.14.當(dāng),為銳角時,恒有,則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗令,,,令,,則當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減.所以當(dāng)時,有最大值,即,設(shè),,,而,,,,在上單調(diào)遞增,所以,即,,,因此,即,.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)為拋物線與圓在第一象限的交點(diǎn),另一交點(diǎn)為.(1)求;(2)若點(diǎn)在圓上,直線為拋物線的切線,求的周長.解:(1)由題意,,解得.(2)在拋物線與圓的方程中,用替換方程依然成立,這表明這兩個圖象都關(guān)于軸對稱,所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于軸對稱,由,知.直線為拋物線的切線,當(dāng)時,,所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為,則.代入,得或1,故.則的周長為.16.小林有五張卡片,他等概率的在每張卡片上寫下1,2,3,4,5中的某個數(shù)字.(1)求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率;(2)證明:這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5.(1)解:.(2)證明:記為這五張卡片上最大的數(shù)字,則.由,由,所以這
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