2024屆浙江省“數海漫游”高三下學期第二次模擬考試數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省“數海漫游”2024屆高三下學期第二次模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以,所以,所以,所以.故選：C.2.已知，則的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，因為，所以，可得.故選：D.3.記Sn為非零數列an的前項和，若，則（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗，則.即.,，.故.故選：B.4.設點在正四面體的棱AB上，AB與平面所成角為，則（）A.4 B.10 C.14 D.20〖答案〗B〖解析〗取的中點的中點，連接，過作于，因為四面體為正四面體，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，所以（或其補角）為與平面所成角，所以，則，設正四面體的棱長為2，則,所以，所以為銳角，所以，所以，在中，，則，在中，，則，所以，解得，所以,所以.故選：B.5.已知向量均為單位向量，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量均為單位向量，設向量的夾角為，由，則，所以設，令，則，令，則，所以在單調遞增，令，則，所以在單調遞減，所以的最小值為，所以的最小值為.故選：C.6.小明開始了自己的存錢計劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點發(fā)現自己前3天晚上八點時存錢罐中的余額恰好成等差數列，則小明在第2天存入了100元概率是（）A. B.15 C. D.〖答案〗A〖解析〗余額恰好成等差數列，即，其中第天存入元的是，故所求概率為.故選：A.7.設橢圓的弦AB與軸，軸分別交于兩點，，若直線AB的斜率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設，直線，因為，所以，所以，即，，所以.因為在橢圓上，所以，兩式相減得，即.又因為，且，，所以，即，所以.故選：C.8.稱平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為正整數的點為好整點，記為集合包含的好整點的個數．若，則正整數的最小值是（）A.1976 B.1977 C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面：由題意，，使得不等式恒成立，注意到，等號成立當且僅當，即，所以正整數應該滿足，另一方面：當時，我們證明：成立，證明過程如下：注意到，所以，，記，則，，，即成立，綜合以上兩方面，可知正整數的最小值是1977.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設雙曲線與直線交于與兩點，則可能有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立方程組，可得，因為雙曲線與直線有兩個交點，所以，所以，B錯誤；當時，，A正確；當m>0時，，C正確；當或時，，D正確.故選：ACD.10.若無窮數列由唯一確定，稱遞推公式是專一的．則下列遞推公式中專一的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于選項A：因為，可得，所以遞推公式是專一的，故A正確；對于選項B：因為，令，可得，即，解得或，所以推公式不是專一的，故B錯誤；對于選項C：因為，可得，令，可得，可得，且，可得，即，可知數列是以2為周期的周期函數，且，則，所以遞推公式是專一的，故C正確；對于選項D：因為，由可得：，則，由可得，解得或，所以推公式不是專一的，故D錯誤；故選：AC.11.設一組樣本數據滿足，則（）A.拿走，這組數據的方差變大 B.拿走，這組數據的方差變大C.拿走，這組數據的方差減小 D.拿走，這組數據的方差減小〖答案〗AD〖解析〗熟知對一組數據，其方差等于各個數據的平方的算術平均值與算術平均值的平方之差，即.將拿走前后的方差分別記為.對于A，給五個元素同時加上或減去同一個數，不影響方差，所以可以適當平移，使得剩下的4個元素：的平均值為0，不妨設，則，，所以.故，所以A正確；對于B，考慮，則，，所以B錯誤；對于C，考慮，則，，所以C錯誤；對于D，由于這組數據不全相等，所以，而，所以D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數至多有______個零點．〖答案〗1〖解析〗當，令，解得，但，所以只有可能是零點，且.當，令，解得，又，所以只有，即時，可能是零點.綜上，當，至多1個零點；當，至多1個零點．即函數至多1個零點．13.已知正方體的棱長為3，取出各棱的兩個三等分點，共24個點，對于正方體的每個頂點，設這24個點中與距離最小的三個點為，從正方體中切去所有四面體，得到的幾何體的外接球表面積是______．〖答案〗〖解析〗由題意可知，如圖，將正方體切去8個角上的四面體即得所求幾何體，該幾何體的外接球球心即正方體外接球的球心，設外接球半徑為，球心為.設四面體高，其中是在平面的投影.已知正方體棱長為3，則，，由，得，解得，，，則，故幾何體的外接球表面積.14.當，為銳角時，恒有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗令，，，令，，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以當時，有最大值，即，設，，，而，，，，在上單調遞增，所以，即，，，因此，即，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點為拋物線與圓在第一象限的交點，另一交點為.（1）求；（2）若點在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長．解：（1）由題意，，解得．（2）在拋物線與圓的方程中，用替換方程依然成立，這表明這兩個圖象都關于軸對稱，所以它們的交點也關于軸對稱，由，知．直線為拋物線的切線，當時，，所以拋物線在點處的切線斜率為，則．代入，得或1，故．則的周長為．16.小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個數字．（1）求五張卡片上的數字都不相同的概率；（2）證明：這五張卡片上最大的數字最可能是5．（1）解：．（2）證明：記為這五張卡片上最大的數字，則．由，由，所以這五張卡片上最大的數字最可能是5.17.在正四面體中，點分別在棱上（不與頂點重合），且（1）若，證明（2）求的取值范圍．解：（1）設．因為四面體為正四面體，所以，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，又因為，所以．整理得：．又因為，即，代入得，所以.（2）由（1）知，或．設，取中點，則．①若，則，等邊三角形，即，設，則.②若，則，設，則．綜上所述，，故．18.記函數.（1）證明：；（2）記的定義域為．若任意，求的取值范圍．（1）證明：①當時，；②當時，易知，則，得證?。?）解：先考慮，由．記，則．由．令，則，所以在上單調減，則．必要性探路：先考慮時，．只需考慮的情況，否則顯然有．于是，令，則．令，且．故在上單調遞增，在上單調遞減．由，故．于是．等號在，即時取到．充分性證明：下證：時，，用歸納法證明．①當時，已證；②當時，易知單調遞增，則，得證！綜上所述，．19.已知集合，記，，是自然數集.稱函數，若對于任意，；稱函數是單調的，若對于任意，；?稱函數是次模的，若對于任意,.已知函數是次模的．（1）判斷是否一定是單調的，并說明理由；（2）證明：對于任意，，；（3）若是單調的，是正整數，，記，已知集合滿足．初始集合，然后小明重復次如下操作：在集合中選取使得最小的元素加入集合，最終得到集合．證明：（1）解：構造次模函數，則．因此不一定是單調的．（2）證明：對任意，因為，所以，且，又因為函數是次模的，所以，所以.（3）①若，成立，得證.②若，取，則小明的每次操作均滿足，左右兩邊累加得，即，故得證.浙江省“數海漫游”2024屆高三下學期第二次模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以,所以,所以,所以.故選：C.2.已知，則的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，因為，所以，可得.故選：D.3.記Sn為非零數列an的前項和，若，則（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗，則.即.,，.故.故選：B.4.設點在正四面體的棱AB上，AB與平面所成角為，則（）A.4 B.10 C.14 D.20〖答案〗B〖解析〗取的中點的中點，連接，過作于，因為四面體為正四面體，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，所以（或其補角）為與平面所成角，所以，則，設正四面體的棱長為2，則,所以，所以為銳角，所以，所以，在中，，則，在中，，則，所以，解得，所以,所以.故選：B.5.已知向量均為單位向量，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量均為單位向量，設向量的夾角為，由，則，所以設，令，則，令，則，所以在單調遞增，令，則，所以在單調遞減，所以的最小值為，所以的最小值為.故選：C.6.小明開始了自己的存錢計劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點發(fā)現自己前3天晚上八點時存錢罐中的余額恰好成等差數列，則小明在第2天存入了100元概率是（）A. B.15 C. D.〖答案〗A〖解析〗余額恰好成等差數列，即，其中第天存入元的是，故所求概率為.故選：A.7.設橢圓的弦AB與軸，軸分別交于兩點，，若直線AB的斜率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設，直線，因為，所以，所以，即，，所以.因為在橢圓上，所以，兩式相減得，即.又因為，且，，所以，即，所以.故選：C.8.稱平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為正整數的點為好整點，記為集合包含的好整點的個數．若，則正整數的最小值是（）A.1976 B.1977 C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面：由題意，，使得不等式恒成立，注意到，等號成立當且僅當，即，所以正整數應該滿足，另一方面：當時，我們證明：成立，證明過程如下：注意到，所以，，記，則，，，即成立，綜合以上兩方面，可知正整數的最小值是1977.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設雙曲線與直線交于與兩點，則可能有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立方程組，可得，因為雙曲線與直線有兩個交點，所以，所以，B錯誤；當時，，A正確；當m>0時，，C正確；當或時，，D正確.故選：ACD.10.若無窮數列由唯一確定，稱遞推公式是專一的．則下列遞推公式中專一的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于選項A：因為，可得，所以遞推公式是專一的，故A正確；對于選項B：因為，令，可得，即，解得或，所以推公式不是專一的，故B錯誤；對于選項C：因為，可得，令，可得，可得，且，可得，即，可知數列是以2為周期的周期函數，且，則，所以遞推公式是專一的，故C正確；對于選項D：因為，由可得：，則，由可得，解得或，所以推公式不是專一的，故D錯誤；故選：AC.11.設一組樣本數據滿足，則（）A.拿走，這組數據的方差變大 B.拿走，這組數據的方差變大C.拿走，這組數據的方差減小 D.拿走，這組數據的方差減小〖答案〗AD〖解析〗熟知對一組數據，其方差等于各個數據的平方的算術平均值與算術平均值的平方之差，即.將拿走前后的方差分別記為.對于A，給五個元素同時加上或減去同一個數，不影響方差，所以可以適當平移，使得剩下的4個元素：的平均值為0，不妨設，則，，所以.故，所以A正確；對于B，考慮，則，，所以B錯誤；對于C，考慮，則，，所以C錯誤；對于D，由于這組數據不全相等，所以，而，所以D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數至多有______個零點．〖答案〗1〖解析〗當，令，解得，但，所以只有可能是零點，且.當，令，解得，又，所以只有，即時，可能是零點.綜上，當，至多1個零點；當，至多1個零點．即函數至多1個零點．13.已知正方體的棱長為3，取出各棱的兩個三等分點，共24個點，對于正方體的每個頂點，設這24個點中與距離最小的三個點為，從正方體中切去所有四面體，得到的幾何體的外接球表面積是______．〖答案〗〖解析〗由題意可知，如圖，將正方體切去8個角上的四面體即得所求幾何體，該幾何體的外接球球心即正方體外接球的球心，設外接球半徑為，球心為.設四面體高，其中是在平面的投影.已知正方體棱長為3，則，，由，得，解得，，，則，故幾何體的外接球表面積.14.當，為銳角時，恒有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗令，，，令，，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以當時，有最大值，即，設，，，而，，，，在上單調遞增，所以，即，，，因此，即，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點為拋物線與圓在第一象限的交點，另一交點為.（1）求；（2）若點在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長．解：（1）由題意，，解得．（2）在拋物線與圓的方程中，用替換方程依然成立，這表明這兩個圖象都關于軸對稱，所以它們的交點也關于軸對稱，由，知．直線為拋物線的切線，當時，，所以拋物線在點處的切線斜率為，則．代入，得或1，故．則的周長為．16.小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個數字．（1）求五張卡片上的數字都不相同的概率；（2）證明：這五張卡片上最大的數字最可能是5．（1）解：．（2）證明：記為這五張卡片上最大的數字，則．由，由，所以這