2025屆江蘇省如皋市高三上學(xué)期開學(xué)能力測評數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省如皋市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)能力測評數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題的四個選項中，只有一個選項符合題目要求1.復(fù)數(shù)的實部與虛部分別為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以復(fù)數(shù)的實部與虛部分別為.故選：A.2.若和都為基底，則不可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若不是一組基底，則可設(shè)，對于A，若，則，方程組無解，為基底，A錯誤；對于B，若，則，方程組無解，為基底，B錯誤；對于C，若，則，解得：，不是一組基底，C正確；對于D，若，則，方程組無解，為基底，D錯誤.故選：C.3.若，集合，則滿足（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗A．若，即，故，，不滿足元素的互異性，錯誤，不符合題意；B．若，即，故，，不滿足元素的互異性，錯誤，不符合題意；C．若，即，如果，不滿足元素的互異性，不成立，如果，不滿足條件，故選項正確，符合題意；D．至少有元素3，故，故選項錯誤，不符合題意；故選：C.4.已知實數(shù)，則使和最小的實數(shù)分別為的（）A.平均數(shù)；平均數(shù) B.平均數(shù)；中位數(shù)C.中位數(shù)；平均數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差；平均數(shù)〖答案〗C〖解析〗，表示2025個絕對值之和，根據(jù)絕對值的幾何意義知，絕對值的和的最小值表示距離和的最小值，因為2025為奇數(shù)，所以取的中位數(shù)時，有最小值；為關(guān)于的一元二次函數(shù)，故當(dāng)時，有最小值，即為的平均數(shù)時，有最小值.故選：C.5.在等差數(shù)列中，若，則下列說法錯誤的是（）A. B.C.的最大值為 D.滿足的的最大值為〖答案〗D〖解析〗設(shè)等差數(shù)列an的公差為，則，解得：；對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，當(dāng)或時，，C正確；對于D，由得：，又，滿足的的最大值為，D錯誤.故選：D.6.若虛數(shù)滿足，不等常實數(shù)滿足為定值，則下列說法一定錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，因為，故，所以，對于A，假設(shè)成立，不妨令，則代入，整理得為定值，故可成立；對于B，假設(shè)，則，代入，整理得常數(shù)，故不成立；對于C，假設(shè)成立，不妨令，則代入，整理得為定值，故可成立；對于D，假設(shè)成立，不妨令，則代入，整理得為定值，故可成立；故選：B.7.若方程的兩實數(shù)解滿足，則（）A.存在最小值，存在最大值3B.存在最小值，不存在最大值C.不存在最小值，存在最大值3D.不存在最小值，不存在最大值〖答案〗B〖解析〗方程，可化為或，所以或，若，則沒有解或有無數(shù)解，方程至多只有一個根，不滿足要求，若，則沒有解或有無數(shù)解，方程至多只有一個根，不滿足要求，若，則或，且且，所以，，由已知，所以，所以，所以，所以當(dāng)，時，取最小值，最小值為，沒有最大值，故選：B.8.若數(shù)列為正項等比數(shù)列，，數(shù)列為公差為6，首項為1的等差數(shù)列，則數(shù)列前5項和的最小值為（）A. B. C. D.65〖答案〗A〖解析〗因為數(shù)列為公差為6，首項為1的等差數(shù)列，所以若數(shù)列為正項等比數(shù)列，，設(shè)公比為，則，所以數(shù)列前5項和為，設(shè)，求導(dǎo)可得，令，可得，在上為增函數(shù)，又，當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng),，，，所以，當(dāng),,所以則數(shù)列前5項和的最小值為.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的或不選不得分.9.隨機事件滿足，則下列說法正確的是（）A事件互不獨立 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以，又，所以，所以，而，所以，所以事件互不獨立，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，，所以，故D正確.故選：ACD.10.由不重合的兩正四面體和組成六面體分別為上的動點，且.下列說法正確的是（）A.六面體的體積為B.二面角的正切值為C.的最小值為D.到的距離平方和的最小值為〖答案〗BD〖解析〗作出示意圖如圖所示：由題意可得在平面的射影是的中心，由正弦定理可得，在中，可得，可得，六面體的體積為，故A錯誤；設(shè)交于，連接，可證，從而為二面角的平面角，由（1）可得，所以，所以，故B正確；由題意可得是的動點，可知，故C錯誤；由，由，所以平面,又平面，所以為到的距離，由（1）可得，設(shè)，由余弦定理可得，易得到的距離距離為，所以到的距離平方和為，所以可得當(dāng)，到的距離最小值為，故D正確.故選：BD.11.已知圓，圓，圓與圓都相切，記點的軌跡為曲線，點在曲線上.下列說法錯誤的是（）A.直線與曲線的交點個數(shù)可以為B.存在使得直線與曲線只有2個交點C.若存在3或6條直線滿足，則的取值范圍為D.若存在4條直線滿足，則的取值范圍為〖答案〗BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知焦點為的拋物線上兩點滿足，則中點的橫坐標(biāo)為__________.〖答案〗〖解析〗因為拋物線，所以，設(shè)，由得，所以，由，，所以，所以中點的橫坐標(biāo)為.13.關(guān)于自然數(shù)的方程的解的個數(shù)為__________.〖答案〗75〖解析〗由得，即，即，是自然數(shù)，則，且，又，，即，方程組的解為，，，，共有21個解；，即，方程組的解為，，，，共有15個解；，即，方程組的解為，，，，共有13個解；，即，方程組的解為，，，，共有9個解；，即，方程組的解為，，，，共有6個解；，即，方程組的解為，，，，共有5個解；，即，方程組的解為，，共有3個解；，即，方程組的解為，共有2個解；，即，方程組的解為，共有1個解；所以關(guān)于自然數(shù)的方程的解的個數(shù)為個.故〖答案〗為：.14.已知半徑為1的球面上有不重合的四點，則和的取值范圍分別為__________和__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)三角形三個內(nèi)角分別為，此時三邊平方和為，當(dāng)且時等號成立，即時取等號，所以又不重合，所以最大取不到零，所以的取值范圍為：.，所以所以當(dāng)同向且模長最大為球的直徑時，即，取得最小值為，但是四點是球面上不重合的四點，所以不能取等號，當(dāng)反向時，取得最大值為，故的取值范圍為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明和證明過程.15.在四棱錐中，，，，平面為中點.（1）求四棱錐的體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取中點，連接，由于為中點，平面，則平面，則，而，則平面，而則，所以四棱錐的體積；（2）由平面，可得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點，方向為正半軸方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，由于，且，令，則，，令，則記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角余弦值為.16.在中，內(nèi)角滿足.（1）求角A的大??；（2）若上有一點滿足，且，求的值.解：（1）因為，所以，即，故由正弦定理得，所以根據(jù)余弦定理有，又，所以（2）由題可設(shè)，由于，故由（1）得，且，所以由正弦定理得，所以，，所以，即，化簡得，即，解得實數(shù)或（舍），所以.17.已知圓交軸于兩點，橢圓以為長軸，橢圓上有一動點，且的最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與分別平分直線與橢圓和圓的交線段，①證明：存在實數(shù)使得恒成立，并求出實數(shù)的值；②求直線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形面積的最大值.（1）解：由，令得，不妨令，則可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)則，，則，而，則，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①證明：顯然直線與垂直，設(shè)直線，直線與橢圓交于，由于直線平分直線與圓的交線段，則有，于是，由于，則所以存在實數(shù)使得恒成立.②解：令，得，則直線與橢圓交線長為，同理可得直線與橢圓的一個交點，則到直線的距離，所以四邊形面積，當(dāng)時，四邊形不存，當(dāng)時，，所以四邊形面積的最大值為，在時取到.18.已知函數(shù).（1）判斷與的大小并證明；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知數(shù)列滿足，證明：.（1）解：，有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.證明：要證，即證，令函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，證畢.（2）解：若，則，即，，令函數(shù)，由于，則必有，得，下面驗證的充分性：當(dāng)時，，令在上單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時，當(dāng)時，而，則當(dāng)時，當(dāng)時，此時，若，則當(dāng)時，當(dāng)時，則此時不能使恒成立，所以的范圍為；（3）證明：等價于，故要證明的命題等價于，先證明，由（2）可得，即，令，可得，于是，所以證畢；再證明，可以證明，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由（1）可得，則證畢，所以，證畢.19.若數(shù)列只由個1和個0組成，且第一個1之前有偶數(shù)（可為零）個0，此后每兩個相鄰的1之間有奇數(shù)個0，則稱數(shù)列為型布爾數(shù)列.（1）寫出所有的型布爾數(shù)列和所有的型布爾數(shù)列；（2）記型布爾數(shù)列的總個數(shù)為；①證明：，其中且；②令，其中且，證明：.（1）解：型布爾數(shù)列：、、；型布爾數(shù)列：、、；（2）證明：①假設(shè)已知，考慮值，由于每一個情況中每個1之前0的個數(shù)之和為偶數(shù)+奇數(shù)，與的奇偶性相同，所以的情況不能在每一個情況中改變每個1之前0的個數(shù)，否則會與中的某種情況重復(fù)，則的情況只在每一個情況下加入一項0，顯然只能插入于的最后一個1之后，此時情況總數(shù)只有種，所以.②考慮以下計算的方法：先在數(shù)列中放入個1，再在每兩個相鄰的1之間放一個0，此時還剩個0，則以1為隔板放入組2個0構(gòu)成的一組，此時情況的總數(shù)，，則，證畢.江蘇省如皋市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)能力測評數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題的四個選項中，只有一個選項符合題目要求1.復(fù)數(shù)的實部與虛部分別為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以復(fù)數(shù)的實部與虛部分別為.故選：A.2.若和都為基底，則不可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若不是一組基底，則可設(shè)，對于A，若，則，方程組無解，為基底，A錯誤；對于B，若，則，方程組無解，為基底，B錯誤；對于C，若，則，解得：，不是一組基底，C正確；對于D，若，則，方程組無解，為基底，D錯誤.故選：C.3.若，集合，則滿足（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗A．若，即，故，，不滿足元素的互異性，錯誤，不符合題意；B．若，即，故，，不滿足元素的互異性，錯誤，不符合題意；C．若，即，如果，不滿足元素的互異性，不成立，如果，不滿足條件，故選項正確，符合題意；D．至少有元素3，故，故選項錯誤，不符合題意；故選：C.4.已知實數(shù)，則使和最小的實數(shù)分別為的（）A.平均數(shù)；平均數(shù) B.平均數(shù)；中位數(shù)C.中位數(shù)；平均數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差；平均數(shù)〖答案〗C〖解析〗，表示2025個絕對值之和，根據(jù)絕對值的幾何意義知，絕對值的和的最小值表示距離和的最小值，因為2025為奇數(shù)，所以取的中位數(shù)時，有最小值；為關(guān)于的一元二次函數(shù)，故當(dāng)時，有最小值，即為的平均數(shù)時，有最小值.故選：C.5.在等差數(shù)列中，若，則下列說法錯誤的是（）A. B.C.的最大值為 D.滿足的的最大值為〖答案〗D〖解析〗設(shè)等差數(shù)列an的公差為，則，解得：；對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，當(dāng)或時，，C正確；對于D，由得：，又，滿足的的最大值為，D錯誤.故選：D.6.若虛數(shù)滿足，不等常實數(shù)滿足為定值，則下列說法一定錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，因為，故，所以，對于A，假設(shè)成立，不妨令，則代入，整理得為定值，故可成立；對于B，假設(shè)，則，代入，整理得常數(shù)，故不成立；對于C，假設(shè)成立，不妨令，則代入，整理得為定值，故可成立；對于D，假設(shè)成立，不妨令，則代入，整理得為定值，故可成立；故選：B.7.若方程的兩實數(shù)解滿足，則（）A.存在最小值，存在最大值3B.存在最小值，不存在最大值C.不存在最小值，存在最大值3D.不存在最小值，不存在最大值〖答案〗B〖解析〗方程，可化為或，所以或，若，則沒有解或有無數(shù)解，方程至多只有一個根，不滿足要求，若，則沒有解或有無數(shù)解，方程至多只有一個根，不滿足要求，若，則或，且且，所以，，由已知，所以，所以，所以，所以當(dāng)，時，取最小值，最小值為，沒有最大值，故選：B.8.若數(shù)列為正項等比數(shù)列，，數(shù)列為公差為6，首項為1的等差數(shù)列，則數(shù)列前5項和的最小值為（）A. B. C. D.65〖答案〗A〖解析〗因為數(shù)列為公差為6，首項為1的等差數(shù)列，所以若數(shù)列為正項等比數(shù)列，，設(shè)公比為，則，所以數(shù)列前5項和為，設(shè)，求導(dǎo)可得，令，可得，在上為增函數(shù)，又，當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng),，，，所以，當(dāng),,所以則數(shù)列前5項和的最小值為.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的或不選不得分.9.隨機事件滿足，則下列說法正確的是（）A事件互不獨立 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以，又，所以，所以，而，所以，所以事件互不獨立，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，，所以，故D正確.故選：ACD.10.由不重合的兩正四面體和組成六面體分別為上的動點，且.下列說法正確的是（）A.六面體的體積為B.二面角的正切值為C.的最小值為D.到的距離平方和的最小值為〖答案〗BD〖解析〗作出示意圖如圖所示：由題意可得在平面的射影是的中心，由正弦定理可得，在中，可得，可得，六面體的體積為，故A錯誤；設(shè)交于，連接，可證，從而為二面角的平面角，由（1）可得，所以，所以，故B正確；由題意可得是的動點，可知，故C錯誤；由，由，所以平面,又平面，所以為到的距離，由（1）可得，設(shè)，由余弦定理可得，易得到的距離距離為，所以到的距離平方和為，所以可得當(dāng)，到的距離最小值為，故D正確.故選：BD.11.已知圓，圓，圓與圓都相切，記點的軌跡為曲線，點在曲線上.下列說法錯誤的是（）A.直線與曲線的交點個數(shù)可以為B.存在使得直線與曲線只有2個交點C.若存在3或6條直線滿足，則的取值范圍為D.若存在4條直線滿足，則的取值范圍為〖答案〗BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知焦點為的拋物線上兩點滿足，則中點的橫坐標(biāo)為__________.〖答案〗〖解析〗因為拋物線，所以，設(shè)，由得，所以，由，，所以，所以中點的橫坐標(biāo)為.13.關(guān)于自然數(shù)的方程的解的個數(shù)為__________.〖答案〗75〖解析〗由得，即，即，是自然數(shù)，則，且，又，，即，方程組的解為，，，，共有21個解；，即，方程組的解為，，，，共有15個解；，即，方程組的解為，，，，共有13個解；，即，方程組的解為，，，，共有9個解；，即，方程組的解為，，，，共有6個解；，即，方程組的解為，，，，共有5個解；，即，方程組的解為，，共有3個解；，即，方程組的解為，共有2個解；，即，方程組的解為，共有1個解；所以關(guān)于自然數(shù)的方程的解的個數(shù)為個.故〖答案〗為：.14.已知半徑為1的球面上有不重合的四點，則和的取值范圍分別為__________和__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)三角形三個內(nèi)角分別為，此時三邊平方和為，當(dāng)且時等號成立，即時取等號，所以又不重合，所以最大取不到零，所以的取值范圍為：.，所以所以當(dāng)同向且模長最大為球的直徑時，即，取得最小值為，但是四點是球面上不重合的四點，所以不能取等號，當(dāng)反向時，取得最大值為，故的取值范圍為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明和證明過程.15.在四棱錐中，，，，平面為中點.（1）求四棱錐的體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取中點，連接，由于為中點，平面，則平面，則，而，則平面，而則，所以四棱錐的體積；（2）由平面，可得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點，方向為正半軸方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，由于，且，令，則，，令，則記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角余弦值為.16.在中，內(nèi)角滿足.（1）求角A的大?。唬?）若上有一點滿足，且，求的值.解：（1）因為，所以，即，故由正弦定理得，所以根據(jù)余弦定理有，又，所以（2）由題可設(shè)，由于，故由（1）得，且，所以由正弦定理得，所以，，所以，即，化簡得，即，解得實數(shù)或（舍），所以.17.已知圓交軸于兩點，橢圓以為長軸，橢圓上有一動點，且的最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與分別平分直線與橢圓和圓的交線段，①證明：存在實數(shù)使得恒成立，并求出實數(shù)的值；②求直線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形面積的最大值.（1）解：由，令得，不妨令，則可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)則，，則，而，則，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①證明：顯然直